R语言学习系列28-协方差分析
r语言实现随机向量的协方差阵
r语言实现随机向量的协方差阵随机向量的协方差阵是描述多维随机变量之间相关性的重要工具。
在统计学和金融领域中，协方差阵被广泛应用于分析和建模。
在R语言中，我们可以使用cov函数来计算随机向量的协方差阵。
首先，我们需要生成一个随机向量，然后使用cov函数计算其协方差阵。
生成随机向量可以使用rnorm函数，该函数可以生成符合正态分布的随机数。
我们可以指定随机向量的长度和均值、标准差等参数。
下面是一个示例代码，用于生成一个长度为100的随机向量，并计算其协方差阵：```R# 生成随机向量set.seed(123) # 设置随机种子，保证结果可重复x <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # 生成长度为100的随机向量# 计算协方差阵cov_matrix <- cov(x)```在上述代码中，我们通过设置随机种子来保证结果的可重复性。
然后使用rnorm函数生成了一个长度为100的随机向量x，其中均值为0，标准差为1。
接下来，我们使用cov函数计算了x的协方差阵，并将结果保存在cov_matrix变量中。
协方差阵是一个对称矩阵，其中的元素表示对应随机变量之间的协方差。
对角线上的元素表示各个随机变量的方差。
除了使用cov函数，我们还可以使用cor函数来计算随机向量的相关系数阵。
相关系数阵是协方差阵的归一化版本，可以更直观地表示变量之间的相关性。
下面是一个示例代码，用于计算随机向量x的相关系数阵：```R# 计算相关系数阵cor_matrix <- cor(x)```在上述代码中，我们使用cor函数计算了x的相关系数阵，并将结果保存在cor_matrix变量中。
除了单一随机向量的协方差阵，我们还可以计算多个随机向量之间的协方差阵。
在这种情况下，我们需要将多个随机向量合并成一个矩阵，然后使用cov函数计算协方差阵。
下面是一个示例代码，用于计算两个随机向量x和y之间的协方差阵：```R# 生成随机向量set.seed(123) # 设置随机种子，保证结果可重复x <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # 生成长度为100的随机向量xy <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # 生成长度为100的随机向量y# 合并随机向量data <- cbind(x, y)# 计算协方差阵cov_matrix <- cov(data)```在上述代码中，我们首先使用rnorm函数生成了两个长度为100的随机向量x和y。
全网最全R语言中的方差分析汇总
全网最全R语言中的方差分析汇总一文展示R语言中的方差分析常用模型 #2021.9.11 方差分析是一个全新的思路，它采用的是变异分解的思路，将组内组件分开，查看显著性。
变异分解，和数量遗传学的创立也密不可分，比如表型 = 基因+ 环境更进一步：表型 = 加性效应 + 非加性效应 + 环境更更进一步：表型 = 加性效应 + 显性效应 + 上位性效应 + 环境育种值是加性效应的部分杂种优势是显性和上位性效应的部分基因与环境互作是：环境*基因的效应另外还有重复力效应（个体永久环境效应）、母体效应、窝别效应等等，都是使用表型数据剖分的形式进行计算和评估。
很多人分析数据，想看一下显著性与否，显著的话就说明有差异，具体差异是多少，需要进行多重比较。
所以，先要有方差分析，才有显著性，只有显著了，才可以进行多重比较。
先后顺序不能错。
方差分析，还有一定的前提假定。
需要进行检验。
方差分析后，多重比较也有很多方法。
好在，现在的R语言足够友好，各种功能都已经打包好了，直接拿来用就行了。
下面看我的总结：1. 方差分析的假定上面这个思维导图，也可以看出，方差分析有三大假定：正态，独立和齐次，如果不满足，可以使用广义线性模型或者混合线性模型，或者广义线性混合模型去分析。
「本次我们的主题有：」2. 数据来源这里，我们使用的数据来源于R包agridat，它是讲农业相关的论文，书籍中相关的数据收集在了一起，更加符合我们的背景。
包的下载地址：/web/packages/agridat/index.html「包的介绍」「包的安装方式：」install.packages("agridat")3. 单因素方差分析「数据描述：」data(lasrosas.corn)dat <- lasrosas.cornstr(dat)「数据结构：」> str(dat)'data.frame': 3443 obs. of 9 variables:$ year : int 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 199 9 1999 ...$ lat : num -33.1 -33.1 -33.1 -33.1 -33.1 ...$ long : num -63.8 -63.8 -63.8 -63.8 -63.8 ...$ yield: num 72.1 73.8 77.2 76.3 75.5 ...$ nitro: num 132 132 132 132 132 ...$ topo : Factor w/ 4 levels "E","HT","LO",..: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...$ bv : num 163 170 168 177 171 ...$ rep : Factor w/ 3 levels "R1","R2","R3": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ..$ nf : Factor w/ 6 levels "N0","N1","N2",..: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...这里数据有很多列，但是我们要演示单因素方差分析，这里的因素为nf，自变量（Y变量）是yield，想要看一下nf的不同水平是否达到显著性差异。
R语言学习系列27-方差分析报告
22. 方差分析一、方差分析原理1. 方差分析概述方差分析可用来研究多个分组的均值有无差异，其中分组是按影响因素的不同水平值组合进行划分的。
方差分析是对总变异进行分析。
看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。
方差分析，是用来检验两个或两个以上均值间差别显著性（影响观察结果的因素：原因变量（列变量）的个数大于2，或分组变量（行变量）的个数大于1）。
一元时常用F检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks '∧检验）。
方差分析可用于：（1）完全随机设计（单因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、拉丁方设计和正交设计等资料；（2）可对两因素间交互作用差异进行显著性检验；（3）进行方差齐性检验。
要比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。
还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。
所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方（Mean Square）。
文案大全2. 基本思想基本思想是，将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。
根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以各自的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F 检验值，作出统计推断。
方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。
效应项与试验设计或统计分析的目的有关，一般有：主效应（包括各种因素），交互影响项（因素间的多级交互影响），协变量（来自回归的变异项），等等。
当分析和确定了各个效应项S 后，根据原始观察资料可计算出各个离均差平方和SS，再根据相应的自由度df ，由公式MS=SS d/ f ，求出均方MS，最后由相应的均方，求出各个变异项的F 值，F值实际上是两个均方之比值，通常情况下，分母的均方是误差项的均方。
r语言协方差阵相等的检验
r语言协方差阵相等的检验协方差阵是描述随机变量之间线性关系的工具，协方差阵等于两个变量的协方差，是一个对称的矩阵。
在统计分析中，我们常常需要判断两个或多个样本的协方差阵是否相等。
如果协方差阵相等，则说明两个或多个样本之间的线性关系相等，否则说明样本之间的线性关系存在差异。
在R语言中，我们可以使用不同的方法进行协方差阵相等的检验。
下面分步骤阐述R语言协方差阵相等检验的方法。
第一步：安装和加载必要的R包在使用R语言进行协方差阵相等检验之前，我们需要先安装和加载必要的R包，如“psych”、“MVN”等。
安装包：install.packages(“psych”)install.packages(“MVN”)加载包：library(psych)library(MVN)第二步：生成样本数据我们可以使用R语言内置的数据集，如iris数据集，或自己生成数据集。
iris数据集：data(iris)setosa <- iris[1:50,1:4] #第一组数据versicolor <- iris[51:100,1:4] #第二组数据virginica <- iris[101:150,1:4] #第三组数据自己生成数据集：set.seed(123)n <- 100p <- 5x1 <- rnorm(n)x2 <- rnorm(n)x3 <- rnorm(n)x4 <- rnorm(n)x5 <- rnorm(n)y1 <- x1+y2+x3+x4+x5+rnorm(n)y2 <- x1+x2+x3+x4+x5+rnorm(n)data1 <- as.data.frame(cbind(x1,x2,x3,x4,x5))data2 <- as.data.frame(cbind(y1,y2))第三步：样本数据的协方差阵在进行协方差阵相等检验之前，我们需要先计算样本数据的协方差矩阵。
使用R语言的医学统计分析
使用R语言的医学统计分析医学统计分析是医学领域的一项重要工作，它可以在研究中帮助识别有意义的差异，进一步理解医学领域的现象和变量。
R语言是一种经典的统计分析工具，具有强大的计算能力、灵活的语法和丰富的数据可视化能力。
在这篇文章中，我们将探讨如何使用R语言进行医学统计分析，以及如何应用R语言解决医学领域面临的常见问题。
一、R语言的用途R语言是一种自由、开源的计算机语言和计算机环境，主要用于统计分析、数据可视化和数据科学。
在医学领域，R语言可以用于疾病发病率、生存分析、危险比、灵敏度和特异性等方面的研究，帮助医学专业人士发现疾病的病因，预测疾病的发展趋势，实现更好的治疗效果和照顾。
二、数据分析R语言可用于数据分析，例如在医学领域中数据可视化。
这可以使分析人员清晰地看到数据，进而更好地理解数据，数据可视化可以采用折线图，直方图和散点图等。
分析人员可以使用R语言的语法编写代码，使数据可视化成为一项快速和简单的任务。
此外，R语言在医学领域中广泛使用的统计测试包括卡方检验、学生t检验和方差分析等。
这些测试可以对数据集进行假设检验，以确保数据集的均衡和一致性。
三、生存分析生存分析是医学领域的重要研究内容，主要用于研究人口群体在某个时间点后生存的概率。
在生存分析中经常使用的术语包括生存曲线、危险比、KM估计和Cox比例风险模型等。
这些术语应用于各种感兴趣的截止日期，例如死亡、失去追踪、复发和失效等。
四、协方差分析协方差分析是医学领域常见的经典统计分析方法之一。
在此分析法中，研究人员通过移除未协调因素（例如平均值和稳态）来统计变化的趋势。
研究人员通过区分不同的分组对象以及动态、交互和移动性（例如性别、收入和健康状况）来分析协方差。
协方差分析是医学领域中重要的研究工具之一。
五、应用实例以下是R语言应用于医疗分析中的几个实例。
1、癌症数据分析R语言可以用来对癌症病例数据进行分析。
例如，R语言可以使用生存分析方法研究肝癌患者的生存率，并比较化疗对生存率的影响。
赖江山老师讲授R语言课程个人笔记
一、非对称分析（回归）做回归分析的前提条件：方差齐次性、独立、数据满足正态分布如果数据不正态，导致的后果平均值95%置信区间，两边不对称如果方差不等，某一边的标准差、置信区间大，有重叠回归Y定性时，整个式子叫做“分类排序”；X定性又定量时，整个方程叫“协方差分析”二、单因素方差分析（1）验证数据的正态性，零假设：均值相等，一组一组地验证：tapply(df$yield,df$Treat,shapiro.test)，正态分析函数（shapiro.test），当结果P>0.05，则是一种自然分布（2）合并检验正态性：shapiro.test(resid(lm(yield~Treat,df)))（3）方差齐性检验，零假设：方差相等：bartlett.test(yield~Treat,df)（4）方差分析：fit <- aov(yield ~ Treat, df) 【“~”表示回归，aov是单因素方差分析ANOVA函数】（5）小知识：范函数：[summary.] /[plot.]（6）P=1-pf(value组间方差-即组间变异幅度,Df-treat, Df-Residuals)Treat-Meansq/Treat-Value=Residuals-MeansqDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)Treat 4 301.2 75.30 11.18 0.000209 ***Residuals 15 101.0 6.73---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘’ 1（7）多重比较：安装赖老师的写的包（NEwR2），library(NEwR2)，LSD多重比较:Least Significance Difference;多个t检验Install.package(‘agricolae’)（8）（9）结果P值，犯“1类错误，拒接真的原假设”的概率，正常我们说的P=0.05，就是：我们可以接受犯这个错误的概率。
r语言方差分析
r语言方差分析R语言方差分析引言：方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
在统计学中，方差分析是一种常用的多组比较方法，有助于确定不同组之间的差异是否由于抽样误差造成，还是真正存在着系统性的差异。
R语言是一种功能强大的数据分析和统计软件，而且它提供了丰富的统计函数和包，可以用于进行方差分析。
本文将介绍在R语言中如何进行方差分析的步骤和注意事项，以及如何解读分析结果。
一、数据准备在进行方差分析之前，首先需要准备好数据。
数据一般以表格的形式存在，每一列代表一个变量，每一行代表一个观测值。
确保数据的正确性和完整性非常重要。
二、计算总体均值方差分析首先需要计算各个组的均值以及总体的均值。
可以使用R语言中的函数来计算。
例如，使用mean()函数可以计算数据的均值。
下面是一个示例代码：```R# 假设有三个组group1 <- c(10, 12, 15, 18, 20)group2 <- c(8, 10, 12, 14, 16)group3 <- c(6, 7, 8, 9, 10)# 计算各组的均值mean_group1 <- mean(group1)mean_group2 <- mean(group2)mean_group3 <- mean(group3)# 计算总体均值mean_total <- mean(c(group1, group2, group3))# 打印结果print(mean_group1)print(mean_group2)print(mean_group3)print(mean_total)```三、计算组内均方差和组间均方差计算组内均方差和组间均方差是方差分析的核心步骤。
组内均方差反映了组内个体数据之间的离散程度，而组间均方差则表示了不同组间的差异程度。
使用R语言中的函数可以很方便地计算组内均方差和组间均方差。
R语言协方差分析
R语言协方差分析协方差分析（ANOVA）是一种重要的统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
在R语言中，可以使用内置的函数实现协方差分析。
本文将介绍协方差分析的基本原理、R语言中的相关函数以及实际的案例分析。
一、协方差分析的原理协方差分析的目的是比较两个或多个组之间的均值差异是否显著，从而判断组与组之间是否存在显著差异。
在协方差分析中，主要涉及到三个概念：因变量（dependent variable）、自变量（independent variable）和组（group）。
因变量是我们希望比较的测量指标，而自变量是用来划分不同组的变量。
组是自变量的不同水平，其实际上代表了不同的处理方法或条件。
协方差分析的基本思想是将总变异分解为组内变异和组间变异，然后通过计算组间变异占总变异的比例来判断组与组之间的差异是否显著。
如果组间变异占总变异的比例越大，说明组与组之间的差异越显著。
二、R语言中的协方差分析函数在R语言中，可以使用内置的函数“aov”实现协方差分析。
该函数的完整语法如下所示：aov(formula, data)其中，formula是一个公式对象，用于指定因变量和自变量的关系。
data是一个数据框，包含因变量和自变量的数据。
下面以一个具体的案例来说明如何使用该函数进行协方差分析。
三、案例分析假设我们有一个实验数据，想要比较三个不同药物对患者的治疗效果是否有差异。
我们记录了每个患者接受不同药物治疗后的治疗效果指标（因变量），以及他们所接受的药物种类（自变量）。
现在我们希望分析不同药物对患者治疗效果的影响。
首先，我们需要准备好实验数据。
假设数据保存在一个名为“data”的数据框中，其中含有两列：“treatment”和“effect”。
可以通过以下代码创建一个模拟数据集：```R#创建模拟数据set.seed(123)data <- data.frametreatment = rep(c("A", "B", "C"), each = 20),effect = rnorm(60, mean = c(5, 10, 15), sd = c(1, 2, 3))```然后，我们可以使用“aov”函数进行协方差分析。
r语言计算数值型变量的均值和协差阵
r语言计算数值型变量的均值和协差阵在统计学中，均值和协方差矩阵是两个非常重要的概念。
均值是指一组数据的平均值，而协方差矩阵则是用来描述多个变量之间的关系的。
在R语言中，我们可以使用一些函数来计算数值型变量的均值和协方差矩阵。
我们来看一下如何计算数值型变量的均值。
在R语言中，我们可以使用mean()函数来计算一组数据的均值。
例如，我们有一个向量x，其中包含了一组数值型变量，我们可以使用以下代码来计算它们的均值：```x <- c(1, 2, 3, 4, 5)mean(x)```运行以上代码，我们可以得到输出结果为：```[1] 3```这表示x向量中的数值型变量的均值为3。
接下来，我们来看一下如何计算数值型变量的协方差矩阵。
在R语言中，我们可以使用cov()函数来计算一组数据的协方差矩阵。
例如，我们有两个向量x和y，其中包含了一组数值型变量，我们可以使用以下代码来计算它们的协方差矩阵：```x <- c(1, 2, 3, 4, 5)y <- c(2, 4, 6, 8, 10)cov(x, y)```运行以上代码，我们可以得到输出结果为：```[1] 5 10[2] 10 20```这表示x和y向量中的数值型变量的协方差矩阵为：| | x | y ||---|---|---|| x | 5 | 10 || y | 10 | 20 |协方差矩阵可以用来描述多个变量之间的关系。
例如，在上面的例子中，我们可以看到x和y之间的协方差为10，这表示x和y之间存在正相关关系。
均值和协方差矩阵是统计学中非常重要的概念。
在R语言中，我们可以使用mean()函数和cov()函数来计算数值型变量的均值和协方差矩阵。
这些函数可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而更好地进行数据分析和建模。
R语言进行方差分析
方差分析在试验科学中有重要的地位，今天谈谈如何用R做方差分析前提假设：独立、正态、方差齐次（各水平间）例子：x<-c(25.6,22.2,28.0,29.8,24.4,30.0,29.0,27.5,25.0,27.7,23.0,32.2,28.8,28.0,31.5,25.9,20.6,21.2,22. 0,21.2) 数据集用5个因子水平测量，问是否存在差异光是这样是无法进行分析的，对数据x进行格式转化b<-data.frame(x,a=gl(5,4,20))b得到结果如下（gl指定因子，5是水平，4是重复次数）x a1 25.6 12 22.2 13 28.0 14 29.8 15 24.4 26 30.0 27 29.0 28 27.5 29 25.0 310 27.7 311 23.0 312 32.2 313 28.8 414 28.0 415 31.5 416 25.9 417 20.6 518 21.2 519 22.0 520 21.2 5在进行方差分析之前先对几条假设进行检验，由于随机抽取，假设总体满足独立、正态，考察方差齐次性（用bartlett检验）> bartlett.test(x~a,data=b)Bartlett test of homogeneity of variancesdata: x by aBartlett's K-squared = 7.0966, df = 4, p-value = 0.1309方差齐次性符合下面进行方差分析m1<-aov(x~a,data=b)summary(m1)Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)a 4 132.0 32.99 4.306 0.0162 *Residuals 15 114.9 7.66—Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘’ 1从这个结果看出差别显著接下来考察具体的差异（多重比较），> TukeyHSD(m1)Tukey multiple comparisons of means95% family-wise confidence levelFit: aov(formula = x ~ a, data = b)$adiff lwr upr p adj2-1 1.325 -4.718582 7.3685818 0.95845663-1 0.575 -5.468582 6.6185818 0.99818154-1 2.150 -3.893582 8.1935818 0.80466445-1 -5.150 -11.193582 0.8935818 0.11405373-2 -0.750 -6.793582 5.2935818 0.99491814-2 0.825 -5.218582 6.8685818 0.99269055-2 -6.475 -12.518582 -0.4314182 0.03302404-3 1.575 -4.468582 7.6185818 0.92513375-3 -5.725 -11.768582 0.3185818 0.06751525-4 -7.300 -13.343582 -1.2564182 0.0146983除了5、2和5、4间外，其他之间的差异是不显著的。
R语言实战（五）方差分析与功效分析
R语⾔实战（五）⽅差分析与功效分析本⽂对应《R语⾔实战》第9章：⽅差分析；第10章：功效分析====================================================================⽅差分析：回归分析是通过量化的预测变量来预测量化的响应变量，⽽解释变量⾥含有名义型或有序型因⼦变量时，我们关注的重点通常会从预测转向组别差异的分析，这种分析⽅法就是⽅差分析（ANOVA）。
因变量不只⼀个时，称为多元⽅差分析（MANOVA）。
有协变量时，称为协⽅差分析（ANCOVA）或多元协⽅差分析（MANCOVA）。
#基本格式aov(formula, data = dataframe)基本表达式符号参考回归中的表格研究设计的表达式下表中，⼩写字母表⽰定量变量，⼤写字母表⽰组别因⼦，Subject是对被试者独有的标识变量设计表达式单因素ANOVA y ~ A含单个协变量的单因素ANCOVA y ~ x + A双因素ANOVA y ~ A * B含两个协变量的ANCOVA y ~ x1 + x2 + A*B随机化区组y ~ B + A （B是区组因⼦）单因素组内ANOVA y ~ A + Error(Subject/A)含单个组内因⼦（W）和单个组间因⼦（B）的重复测量ANOVA y ~ B * W + Error(Subject/W)表达式中的各项顺序：有两种情况会造成影响：（1）因⼦不⽌⼀个，并且是⾮平衡设计；（2）存在协变量。
出现任意⼀种情况时，等式右边的变量都与其他每个变量相关，此时我们⽆法清晰地划分它们对因变量的影响。
例如，对于双因素⽅差分析，若不同处理⽅式中的观测数不同，那么模型y ~ A * B与模型y ~ B * A的结果不同R默认类型1（序贯型）⽅法计算ANOVA效应。
第⼀个模型可以这样写：y ~ A + B + A : BR中的ANOVA表的结果将评价：1. A对y的影响2. 控制A时，B对y的影响3. 控制A和B的主效应时，A与B的交互效应顺序很重要当⾃变量与其他⾃变量或者协变量相关时，没有明确的⽅法可以评价⾃变量对因变量的贡献。
R语言-方差分析
R语⾔-⽅差分析⽅差分析指的是不同变量之间互相影响从⽽导致结果的变化1.单因素⽅差分析: 案例:50名患者接受降低胆固醇治疗的药物,其中三种治疗条件使⽤药物相同(20mg⼀天⼀次,10mg⼀天两次,5mg⼀天四次),剩下的两种⽅式是(drugE和drugD),代表候选药物 哪种药物治疗降低胆固醇的最多?1 library(multcomp)2 attach(cholesterol)3# 1.各组样本⼤⼩4 table(trt)5# 2.各组均值6 aggregate(response,by=list(trt),FUN=mean)7# 3.各组标准差8 aggregate(response,by=list(trt),FUN=sd)9# 4.检验组间差异10 fit <- aov(response ~ trt)11 summary(fit)12 library(gplots)13# 5.绘制各组均值和置信区间14 plotmeans(response ~ trt,xlab = 'Treatment',ylab = 'Response',main='MeanPlot\nwith 95% CI')15 detach(cholesterol) 结论: 1.均值显⽰drugE降低胆固醇最多,1time降低胆固醇最少. 2.说明不同疗法之间的差异很⼤ 多重⽐较药品和服药次数1 library(multcomp)2 par(mar=c(5,4,6,2))3 tuk <- glht(fit,linfct=mcp(trt='Tukey'))4 plot(cld(tuk,level=.05),col='lightgrey') 结论:每天复⽤4次和使⽤drugE的时候治疗胆固醇效果最好 评估检验的假设条件1 library(car)2 qqPlot(lm(response ~ trt,data=cholesterol),simulate=T,main='Q-Q Plot',labels=F)3 bartlett.test(response ~ trt,data=cholesterol)4# 检测离群点5 outlierTest(fit) 结论:数据落在95%置信区间的范围内,说明数据点满⾜正态性假设 2.单因素协⽅差分析 案例:怀孕的⼩⿏被分为4各⼩组,每个⼩组接受不同剂量的药物剂量(0.5,50,500)产下⼩⿏体重为因变量,怀孕时间为协变量1 data(litter,package = 'multcomp')2 attach(litter)3 table(dose)4 aggregate(weight,by=list(dose),FUN=mean)5 fit2 <- aov(weight ~ gesttime + dose)6 summary(fit2)7 library(effects)8# 取出协变量计算调整的均值9 effect('dose',fit2)10 contrast <- rbind('no drug vs drug' = c(3,-1,-1,-1))11 summary(glht(fit2,linfct=mcp(dose=contrast)))12 library(HH)13 ancovaplot(weight ~ gesttime + dose,data=litter) 结论:0剂量产仔20个,500剂量产仔17个 0剂量的体重在32左右,500剂量在30左右 怀孕时间和体重相关 ⽤药剂量和体重相关 结论:⼩⿏的体重和怀孕时间成正⽐和剂量成反⽐3.双因素⽅差分析 案例:随机分配60只豚⿏,分别采⽤两种喂⾷⽅法(橙汁或者维C),各种喂⾷⽅法中含有抗坏⾎酸3钟含量(0.5,1,2) 每种处理组合都分配10只豚⿏,⽛齿长度为因变量1 attach(ToothGrowth)2 table(supp,dose)3 aggregate(len,by=list(supp,dose),FUN=mean)4 aggregate(len,by=list(supp,dose),FUN=sd)5# 将dose转换为因⼦变量,这样就不是⼀个协变量6 dose <- factor(dose)7 fit3 <- aov(len ~ supp*dose)8 summary(fit3)9 detach(ToothGrowth) 结论:主效应的对豚⿏⽛齿影响很⼤ 结论:在0.5~1mg的区间中维C的豚⿏的⽛齿长度超过使⽤橙汁的⼩⿏,在1~2的区间内同理,当超过2mg时,两者对豚⿏⽛齿的影响相同4.重复测量⽅差 案例:在⼀定浓度的CO2的环境中⽐较寒带植物和⾮寒带植物的光合作⽤率进⾏⽐较1 CO2$conc <- factor(CO2$conc)2 w1b1 <- subset(CO2,Treatment == 'chilled')3 fit4 <- aov(uptake ~ conc*Type + Error(Plant/(conc)),w1b1)4 summary(fit4)5 par(las=2)6 par(mar=c(10,4,4,2))7 with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type='b',col=c('red','blue'),pch=c(16,18),8 main='Interaction plot for plant type and concentration'))9 boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c('gold','green'),10 main = 'Chilled Quebec and Mississippi Plants',11 ylab="Carbon dioxide uptake rate (umol/m^2 sec)") 结论:魁北克的植物⽐密西西⽐州的⼆氧化碳的吸收率⾼,随着CO2的浓度体⾼,效果越明显5.多元⽅差分析 案例:研究美国⾷物中的卡路⾥,脂肪,糖分是否会因货架的不同⽽不同1 library(MASS)2 attach(UScereal)3 shelf <- factor(shelf)4 y <- cbind(calories,fat,sugars)5 aggregate(y,by=list(shelf),FUN=mean)6 cov(y)7 fit5 <- manova(y ~ shelf)8 summary(fit5)9 summary.aov(fit5) 找出离群点1 center <- colMeans(y)2 n <- nrow(y)3 p <- ncol(y)4 cov <- cov(y)5 d <- mahalanobis(y,center,cov)6 coord <- qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d,7 main="QQ Plot Assessing Multivariate Normality",8 ylab="Mahalanobis D2")9 abline(a=0,b=1)10 identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) 结论:在不同的货架上的⾕物营养成分不同,有两个产品不符合多元正态分布1 library(rrcov)2# 稳健多元⽅差分析3 Wilks.test(y,shelf,method='mcd') 结论:稳健检测对离群点和违反MANOVA不敏感,证明了在不同货架的⾕物营养成分不同的结论。
r语言求数据均值、标准差、方差、变异系数
使用R语言求取数据均值、标准差、方差、变异系数一、引言在数据分析中，我们经常需要计算数据的统计描述，包括均值、标准差、方差和变异系数。
这些统计量可以帮助我们对数据集的基本特性有所了解。
R语言是一种广泛用于统计分析的编程语言，它提供了一些内置函数，可以方便地计算出这些统计量。
本文将详细介绍如何使用R语言来计算数据的均值、标准差、方差和变异系数。
二、均值均值是数据集中所有数值的和除以数值的个数。
在R语言中，我们可以使用mean()函数来计算均值。
例如，如果我们有一个名为data的向量，我们可以使用以下代码来计算其均值：data <- c(1, 2, 3, 4, 5)mean_data <- mean(data)print(mean_data)三、标准差标准差是数据偏离均值的程度，它是每个数值与均值之差的平方的平均值的平方根。
在R语言中，我们可以使用sd()函数来计算标准差。
例如，如果我们有一个名为data的向量，我们可以使用以下代码来计算其标准差：data <- c(1, 2, 3, 4, 5)std_data <- sd(data)print(std_data)四、方差方差是每个数值与均值之差的平方的平均值。
在R语言中，我们可以使用var()函数来计算方差。
例如，如果我们有一个名为data的向量，我们可以使用以下代码来计算其方差：data <- c(1, 2, 3, 4, 5)var_data <- var(data)print(var_data)五、变异系数变异系数是标准差除以均值的结果，它可以用来衡量数据的离散程度相对于其平均水平的大小。
在R语言中，我们可以使用cv()函数来计算变异系数。
例如，如果我们有一个名为data的向量，我们可以使用以下代码来计算其变异系数：data <- c(1, 2, 3, 4, 5)cv_data <- cv(data)print(cv_data)六、总结以上就是使用R语言计算数据均值、标准差、方差和变异系数的方法。
R语言验证及协方差的计算公式
R语⾔验证及协⽅差的计算公式
协⽅差的计算公式及R语⾔进⾏验证
⾸先附上协⽅差公式：
来设5个样本点：（3,9），（2,7），（4,12），（5,15），（6,17）
⽤R绘制出散点图，⼤概是这样：
要求这5个点的协⽅差，⾸先样本点为5个，n=5，X依次取3,2,4,5,6，Y依次取9,7,12,15,17。
X的均值为4，带⼊公式可得：
不难计算出结果为6.5
现在⽤R语⾔进⾏验证：
已知R语⾔⾥边协⽅差函数为cov(x,y)
我们分别⽤cov()函数和上述公式来进⾏仿真结果，代码如下：
a <- c(3,2,4,5,6)
b <- c(9,7,12,15,17)
COV=0
EX=mean(a)
EY=mean(b)
for(j in 1:5){
COV <- COV+(a[j]-EX)*(b[j]-EY)/4
}
COV
cov(a,b)
输出结果如下：
> COV
[1] 6.5
> cov(a,b)
[1] 6.5
由此可得，计算公式得出的结果完全正确
到此这篇关于R语⾔验证及协⽅差的计算公式的⽂章就介绍到这了,更多相关R语⾔协⽅差计算内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
R语言基础-数据分析及常见数据分析方法
R语⾔基础-数据分析及常见数据分析⽅法R表达式中常⽤的符号残差（Residuals）残差是真实值与预测值之间的差，五个分位的值越⼩模型越精确系数项与截距项（Coefficients & Intercept）和P值指标残差标准误（Residual standard error）残差的标准误差，越⼩越好R⽅判定系数模型拟合的质量判定指标，取值在0-1之间，值越⼤越好Multiple R-squared: 0.991 表⽰该模型能解释99.1%的数据。
F统计量（F-statistic）说明模型是否显著，值越⼩越好，说明模型越显著判断模型是否适合的⼀般规则先看F统计量是否⼩于0.05，如果⼩于0.05，再看R⽅判定系数。
*线性回归（解决⼀元多次）回归（regression），通常指那些⽤⼀个或多个预测变量，也称⾃变量或解释变量来预测响应变量，也称为因变量、校标变量或结果变量的⽅法。
1.回归分析类型2.普通最⼩⼆乘法使⽤women内置数据集得出体重与⾝⾼之间的关系使⽤plot(fit)绘制出四幅图（残差拟合图、正态QQ图、⽅差假设指标图、残差影响图）使⽤ par(mfrow = c(2,2)) 可以将四幅图显⽰在⼀个窗⼝中线性拟合常⽤函数*多元线性回归⼀、变量是相互独⽴的情况将state.x77数据集转化为数据框得出结果意为在控制⼈⼝数量，收⼊，霜冻天数不变的情况下，⽂盲率上升1%，谋杀率就会上升4.14%⼆、变量不相互独⽴的情况使⽤mtcar内置数据框，选取每加仑汽油⾏驶的⾥程数与马⼒、车重的关系说明每加仑汽油⾏驶的⾥程数与汽车马⼒的关系依赖车重的不同⽽不同三、为解决因⼦数量较多⽆法确定最佳模型是可使⽤逐步回归法或者全⼦集回归法逐步回归法全⼦集回归法*回归诊断⼀、满⾜OLS模型（最⼩⼆乘法）统计假设1.正态性对于固定的⾃变量值，因变量值成正态分布。
2.独⽴性因变量之间相互独⽴3.线性因变量与⾃变量之间为线性相关4.同⽅差性因变量的⽅差不随⾃变量的⽔平不同⽽变化。
R语言实现计算两个向量的协方差、标准差、皮尔逊相关系数
sum_sdb <- 0 for(i in 1:length(b)){
sum_sdb = sum_sdb + (b[i] - mean(b)) * (b[i] - mean(b)) } sd_b = sqrt(sum_sdb / (length(b) -1)) ## 求向量b的标准差 sd_b sd(b)
网络错误421请刷新页面重试持续报错请尝试更换浏览器或网络环境
R语 言 实 现 计 算 两 个 向 量 的 协 方 差 、 标 准 差 、 皮 尔 逊 相 关 系 数
1、协方差
协方差：两个向量每一项与各自平均数只差 的对应项乘积之和的平均数。
方差：每一项与平均数只差 的平方的平均数。
标准差： 方差开平方
cor_ab <- cov_ab / (sd_a or_ab
cor(a, b)
## 验证结果
sum_sda <- 0 for(i in 1:length(a)){
sum_sda = sum_sda + (a[i] - mean(a)) * (a[i] - mean(a)) } sd_a = sqrt(sum_sda / (length(a) -1)) ## 求向量a的标准差 sd_a sd(a)
皮尔逊相关系数：两个向量的协方差 除以 两个向量的标准差的乘积。
a <- c(1, 3, 7, 8) b <- c(12, 15, 16, 18)
sum_cov = 0 for (i in 1:length(a)) {
sum_cov = sum_cov + (a[i] - mean(a)) * (b[i] - mean(b)) } cov_ab <- sum_cov/(length(a) -1 ) ## 求协方差 cov_ab cov(a, b) ## 验证结构
r语言均值方差计算检验
r语言均值方差计算检验在R语言中，可以使用以下函数计算均值和方差，并进行检验：1. 均值计算：- 使用`mean()`函数计算一组数据的均值。
例如，`mean(data)`可以计算名为`data`的数据向量的均值。
2. 方差计算：- 使用`var()`函数计算一组数据的方差。
例如，`var(data)`可以计算名为`data`的数据向量的方差。
3. 均值检验：- 使用`t.test()`函数进行均值检验。
例如，`t.test(data, mu = expected_mean)`可以对名为`data`的数据向量进行均值检验，其中`expected_mean`是预期的均值。
4. 方差检验：- 使用`var.test()`函数进行方差检验。
例如，`var.test(data1, data2)`可以对名为`data1`和`data2`的数据向量进行方差检验。
下面是一个示例，演示如何在R语言中进行均值和方差的计算和检验：```R# 创建一个示例数据向量data <- c(1, 2, 3, 4, 5)# 计算均值mean_value <- mean(data)print(mean_value) # 输出均值# 计算方差var_value <- var(data)print(var_value) # 输出方差# 进行均值检验t_test_result <- t.test(data, mu = 3)print(t_test_result) # 输出均值检验结果# 进行方差检验var_test_result <- var.test(data1, data2)print(var_test_result) # 输出方差检验结果```请根据你的具体需求对上述示例代码进行修改和调整。
r语言多元正态分布的协方差矩阵
文章标题：深度解析R语言中多元正态分布的协方差矩阵在R语言中，多元正态分布的协方差矩阵是一个十分重要的概念。
它不仅是统计学中常见的概念，也是数据分析和机器学习领域中必须掌握的知识点。
本文将从多元正态分布的基本概念入手，逐步深入探讨协方差矩阵在R语言中的应用和计算方法，以及如何利用R语言进行多元正态分布的建模和分析。
1. 多元正态分布的基本概念多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。
在统计学和概率论中，多元正态分布是一种重要的概率分布，它具有许多重要的性质和应用。
在R语言中，我们经常需要对多元正态分布进行建模和分析，因此对其基本概念和特性有深入的理解至关重要。
2. R语言中的协方差矩阵在R语言中，协方差矩阵是描述多元正态分布中随机变量之间关联关系的重要工具。
通过计算多元随机变量之间的协方差矩阵，我们可以揭示它们之间的线性相关性和方差的比较情况。
在R语言中，我们可以使用cov()函数和cor()函数来计算和分析多元随机变量的协方差矩阵，从而为多元正态分布模型的建立和评估提供有力的支持。
3. 如何在R语言中计算和应用协方差矩阵为了更好地应用协方差矩阵，我们可以通过案例分析和实际数据进行演示。
在R语言中，我们可以利用已有的数据集或者通过模拟数据来计算和分析协方差矩阵。
通过编写R代码和使用相应的包，我们可以轻松实现对多元正态分布的协方差矩阵进行计算和应用，从而更好地理解和展示多元随机变量之间的关联关系。
4. 个人观点和理解作为一名数据分析师，我深刻理解多元正态分布的协方差矩阵对于数据建模和分析的重要性。
在实际工作中，我经常需要利用R语言进行多元正态分布的建模和分析，因此深入理解和熟练运用协方差矩阵是至关重要的。
通过不断学习和实践，我逐渐掌握了在R语言中操作协方差矩阵的技巧，从而能够更好地应用于实际工作中，为数据分析和建模提供可靠的支持。
总结与回顾通过本文的深度解析，我们全面理解了R语言中多元正态分布的协方差矩阵的重要性和应用方法。
R语言--史上最全方差分析
R语⾔--史上最全⽅差分析单因素rm(list = ls())install.packages('multcomp')library(multcomp)data('cholesterol')head(cholesterol)data <- cholesterol#正态性分析####shapiro.test(cholesterol$response) #data#观测值#不满⾜正态性#1.当偏态分布时，且偏态分布不严重时，仍可以使⽤⽅差分析，应当报告偏度、峰度fBasics::basicStats(x)#2.使⽤⾮参数检验Kruskal-Waliis检验kruskal.test()#⽅差齐性检验####bartlett.test(response~trt,data=cholesterol) #观测值~分组library(car)leveneTest(response ~ trt,data=cholesterol, center=mean)#观测值~分组#center=mean为原始levene,median更稳健#不满⾜⽅差齐性#####1.应先处理异常值#2.使⽤Welch's anova⽅法，两两⽐较使⽤Game-Howell⽅法(尤其各组例数不同)oneway.test(x~g,data=,var.equal = F)#Game-Howell⽅法:http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/src/tukey.R#单因素⽅差分析anova <- with(cholesterol,aov(response ~ trt))summary(anova)ORanova <- oneway.test(response ~ trt , cholesterol, var.equal = T)anova####描述统计by(cholesterol$response,cholesterol[,"trt"],summary)aggregate(cholesterol$response,by=list(cholesterol$trt),FUN=sd)fBasics::basicStats(x)#⾃定义函数mystats <- function(x,na.omit=FALSE){ #⼀个函数返回x的多个描述性统计量if (na.omit)x <- x[!is.na(x)]m <- mean(x)n <- length(x)s <- sd(x)return(c(n=n,mean=m,stdev=s))}dstats <- function(x)sapply(x, mystats)options(digits = 3)by(data[2],data$trt,dstats)#data$response 和 data[,2]数据均为横向显⽰，⽽data[2]则为纵向by(mtcars[1],mtcars$am,dstats)#画图,建议⽤graphpad prism画install.packages('gplots')library(gplots)attach(cholesterol)plotmeans(response ~ trt)detach(cholesterol)##单因素⽅差分析与单因素线性回归的关系anolm <-lm(response ~trt ,data = cholesterol) #trt为有4个哑变量，把1time当做referencesummary(anolm) #F值相等两因素rm(list = ls())data("ToothGrowth")head(ToothGrowth)table(ToothGrowth$supp,ToothGrowth$dose) #查看各组例数#各组均数标准差aggregate(ToothGrowth$len,by=list(ToothGrowth$supp,ToothGrowth$dose),mean) aggregate(ToothGrowth$len,by=list(ToothGrowth$supp,ToothGrowth$dose),sd)#双因素⽅差分析twoanova <- aov(len ~ supp*dose,data = ToothGrowth)#+只有主效应| ：只有交互效应|*都有summary(twoanova)#画图interaction.plot(ToothGrowth$dose,ToothGrowth$supp,ToothGrowth$len,type='o',col=c('red','blue'))两两⽐较rm(list = ls())data("airquality")head(airquality)#两两⽐较#两两⽐较⽅法很多，具体的选择看个⼈#最后的个⼈⼩结(仅代表个⼈观点): 如果各组例数相等,建议⾸选Tukey法;#如果例数不等,建议⾸选Scheffe法(如果⽐较组数不多,如3组,Bonferroni法也可以作为⾸选);#如果要分别⽐较每个试验组与对照组,建议采⽤Dunnett法;model <- aov(Temp~as.factor(Month),data=airquality)summary(model)##TukeyTukeyHSD(model)plot(TukeyHSD(model))#除了横跨虚线的均有统计学意义##LSD医学常⽤install.packages("agricolae")library(agricolae)out <- LSD.test(y = model, trt = "as.factor(Month)", p.adj = "none" )#多重⽐较，不矫正P值,==t检验#p.adj="bonferroni"out$groups # 查看每个组的label,group不⼀样即有差别，plot(out) # 可视化展⽰##如果例数不等,建议⾸选Scheffe法library(agricolae)out <-scheffe.test (y = model,trt = "as.factor(Month)")out$groupplot(out)##如果要分别⽐较每个试验组与对照组,建议采⽤Dunnett法library(multcomp)out <- glht(model1,linfct = mcp('as.factor(Month)' = 'Dunnett'), #mcp可以是不同的⽅法alternative = 'two.side')summary(out)协⽅差rm(list = ls())library(multcomp)data(litter)head(litter)###协⽅差分析指的是某⼀变量A影响了⾃变量对响应变量的效应，变量A被称作协变量#前提要求：协变量为连续性变量 | 响应变量正态且⽅差齐|协变量对响应变量的影响呈线性关系#正态和⽅差齐table(litter$dose)aggregate(litter$weight,by=list(litter$dose),FUN=mean)aggregate(litter$weight,by=list(litter$dose),FUN=sd)shapiro.test(litter$weight)bartlett.test(litter$weight~litter$dose)library(car)leveneTest(weight ~ dose, data=litter)qqPlot(lm(weight ~ gesttime + dose,data=litter),simulate = T,labels=F)#协变量对响应变量的线性关系可以通过交互项的显著性判断interaction <- aov(weight ~ dose * gesttime, data = litter)summary(interaction)#交互项不显著#协⽅差分析#必须为响应变量 ~ 协⽅差 + 控制因素ancova <- aov(weight ~ gesttime +dose, data = litter)summary(ancova)#gesttime显著，说明对响应变量产⽣了影响#查看调整后的均值install.packages('effects')library(effects)effect('dose',ancova)#两两⽐较K <- rbind(contrMat(table(litter$dose), "Tukey"))#根据‘Tukey’⾃动⽣成⼀个矩阵#Tukey为两两⽐较，有6种情况；Dunnet则是实验组与对照组⽐较，为3种（3⾏）mc1 <- glht(ancova, linfct = mcp(dose = K),#根据K矩阵计算，K可⾃定义alternative = "less")summary(mc1)#⾃定义两两⽐较K <- rbind('5-500'=c(0,1,0,-1),'0-500'=c(1,0,0,-1))mc2 <- glht(ancova, linfct = mcp(dose = K), alternative = "less")summary(mc2)###根据不同⽅法调整Psummary(mc1, test = univariate())summary(mc2, test = adjusted("bonferroni"))##协变量对响应变量的线性关系可以通过交互项的显著性判断---之可视化判断####data1 <- subset(litter,dose==0)data2 <- subset(litter,dose==5)data3 <- subset(litter,dose==50)data4 <- subset(litter,dose==500)par(mfrow=c(2,2))plot(data1$gesttime,data1$weight,main = dose0)abline(lm(weight~gesttime,data=data1))plot(data2$gesttime,data2$weight,main = dose5)abline(lm(weight~gesttime,data=data2))plot(data3$gesttime,data3$weight,main = dose50)abline(lm(weight~gesttime,data=data3))plot(data4$gesttime,data4$weight,main = dose500)abline(lm(weight~gesttime,data=data4))多元⽅差#⽇照时间对农作物的糖分、维⽣素、脂肪含量#课外阅读量对学⽣语⽂、数学、历史成绩的影响#⼩学⽣每⽇VC摄⼊与其⾝⾼、胸围、BMI的影响#多元⽅差分析应⽤条件和要求：#多元⽅差分析指的是响应变量不⽌⼀个，且存在⾼度线性相关#对某个概念需要多个维度去进⾏描述，否则难以反应对象真实情况#要求⾃变量为分类变量rm(list = ls())library(MASS)data("UScereal")head(UScereal)#货架对各层营养含量的影响y <- with(UScereal, cbind(calories,fat,sugars))mav <- manova(y ~ shelf, data=UScereal)#两控制变量，3响应变量#mav <- manova(y ~ shelf + control +shelf*control, data=UScereal)summary(mav)##更多前提假设参考#https:///a/213290294_489312重复测量。
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23. 协方差分析一、基本原理1. 基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。
如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。
这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。
例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。
检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。
协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。
协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。
前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。
协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。
当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协方差分析。
2. 协方差分析需要满足的条件（1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。
否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设；（3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。
二、协方差理论1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。
注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。
用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为(adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++就可以对y ij (adj)做方差分析了。
关键问题是求出回归系数β.2. 总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差，（1）计算总离差平方和时，记11()()k nxy ij ij i j T x x y y ===--∑∑211()k nxx ij i j T x x ===-∑∑ 总离差平方和：211()k nyy ij i j T y y ===-∑∑最终要检验分组自变量对因变量有无显著作用。
原假设H 0：无显著作用。
假设检验是在H 0为真条件下进行，可认为t i =0，则()ij T ij ij y u x x βε=+-+按最小二乘法原理线性回归可得到β的估计值ˆxy T xxT T β= 记修正的总离差平方和（残差平方和）为T yy(adj)，则22(adj)ˆT xy yy yy xx yy xx T T T T T T β=-=-，自由度为n -2注：2ˆT xx T β为回归平方和，若ˆ0Tβ=（回归线为水平线），表示协变量x 对y 无作用，用方差分析就可以解决了。
（2）计算组内离差平方和时，记11()()k nxy ij i ij i i j E x x y y ===--∑∑211()k nxx ij i i j E x x ===-∑∑组内总离差平方和：211()k nyy ij i i j E y y ===-∑∑根据协方差分析的基本假设：各组内回归系数相等（做协方差分析时需要检验这一点），得到组内回归系数βw 的估计值ˆxy w xxE E β= 记修正的组内总离差平方和（组内残差平方和）为E yy(adj), 则22(adj)ˆxy yy yy w xx yy xx E E E E E E β=-=-， 自由度为n -k -1其中，2ˆw xx E β为组内回归平方和，当1ˆˆw wkββ==时，组内总离差平方和认为完全是由随机因素引起的，E yy(adj)就是随机为误差。
这里的ˆw β是1ˆˆ,,w wkββ的加权平均值。
（3）计算分组变量离差平方和B yy(adj)，它反映的是各个水平之间的差异。
2(adj)(adj)(adj)(adj)ˆT yy yy yy yy xx yy B T E T T E β=-=--即，分组变量离差=总离差-协变量离差-随机误差。
于是，就可以进行组间无差异检验了：(adj)(adj)/1/1yy yy B k F E n k -=--3. 因此，在做协方差分析前，需要依次做两个假设检验：（1）协变量对因变量的影响对与各组来说都是相同的，即各组回归系数相等：1ˆˆˆ:w wk wβββ===; 步骤： ① 先按回归系数相等和不相等分别表示模型()ij i w ij ij y u t x x βε=++-+()ij i wi ij ij y u t x x βε=++-+并计算出误差平方和2(adj)yy yy w xx E E E β=-211i kyy wi xx i S E E β==-∑ 其中，1i k yy yy i E E ==∑. ② 计算F 值(adj)11/1/2yy E S k F S n k --=-若F 值小于临界值F α，则说明各组回归系数无显著差异（相等）。
（2）这些相等的回归系数ˆ0wβ≠. 即采用一元线性回归的显著性检验，2(adj)/1=//(1)w xx yy E F E n k β=--回归平方和/自由度残差平方和自由度 2222/(1)(/)/(1)xy xxxy yy xy xx yy xx xy E E E n k E E E n k E E E --==----4. 协方差分析的步骤（1）检验数据是否满足假设条件：正态分布性、方差齐性、各分组通过协变量预测因变量的回归斜率相同；（2）检验效应因子的显著性；（3）估计校正的组均值；（4）检验校正的组均值之间的差异。
三、R语言实现协方差分析要求数据满足：正态性、方差齐性、各分组通过协变量预测因变量的回归斜率相同。
R语言用aov()函数进行协方差分析，基本格式为：aov(formula, data, ...)其中，data为数据框；formula为协方差公式形式，形如y~x+A, x为连续型协变量，A 为组别因子。
例1研究分别接受了3种不同的教学方法的3组学生，在数学成绩上是否有显著差异，数据文件“ex28_cov.Rdata”。
先不考虑数学入学成绩，只以“教学方法”为分组变量，“后测成绩”为因变量进行单因素方差分析：setwd("E:/办公资料/R语言/R语言学习系列/codes")load("ex28_cov.Rdata")head(scores)before after teach1 39 68 12 38 63 13 51 65 14 56 68 15 74 74 16 40 60 1attach(scores)table(teach) #各组的样本数teach1 2 330 32 33aggregate(after, by=list(teach), mean) #各组均值 Group.1 x1 1 62.883332 2 72.671883 3 65.06061shapiro.test(after) #正态性检验Shapiro-Wilk normality testdata: afterW = 0.99105, p-value = 0.7772bartlett.test(after~teach,data=scores) #方差齐性检验Bartlett test of homogeneity of variancesdata: after by teachBartlett's K-squared = 0.69854, df = 2, p-value = 0.7052fit.aov<-aov(after~teach,data=scores)summary(fit.aov)Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)teach 2 1662 830.8 10.44 8.23e-05 ***Residuals 92 7325 79.6---Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1说明：单因素方差分析的p值=8.23e-05, 远小于0.05, 表明，两种教学方法有非常显著的差异。
但是，后测成绩肯定会受到前测成绩（连续型）的影响，假定前测成绩与教学方法（即组别，是控制变量）不存在交互影响。
因此，将后测成绩作为因变量；教学方法作为控制变量；前测成绩作为协变量进行协方差分析。
回归斜率相同检验，即前测成绩与后测成绩的回归线是否平行：scores1<-subset(scores,teach==1)scores2<-subset(scores,teach==2)scores3<-subset(scores,teach==3)par(mfrow=c(1,3))plot(scores1$before,scores1$after,xlab="before",ylab= "after",main="teach=1")abline(lm(after~before,data=scores1))plot(scores2$before,scores2$after,xlab="before",ylab= "after",main="teach=2")abline(lm(after~before,data=scores2))plot(scores3$before,scores3$after,xlab="before",ylab=" after",main="teach=3")abline(lm(after~before,data=scores3))可见两组的直线趋势的斜率比较接近（平行），基本符合协方差假定。