协方差分析(三版)
第五章 协方差分析
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
8
Options…：求描述性统计指标及校正均数多重比较对话框：
2013-4-24
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9
3.结果分析：
2013-4-24
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2013-4-24
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24
由上表可见，校正后的不同品种平均产量差异极显 著（F=90.125, P≈0.000<0.01）,故须进一步检验不同品 种产量间的差异显著性，即进行多重比较。 不同区组间差异不显著（F＝0.382，P＝0.768 > 0.05 ）。
为了提高试验的精确性和灵敏性，除了根据试验目 的而设置的各种不同处理外，其他试验条件应力求一 致，使处理的真实效果能够体现出来。
2013-4-24
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2
分类： 根据资料类型不同：单向分组资料的协方差分析 两向分组资料的协方差分析 根据影响试验指标的未能控制变量（协变量）的多少：
玉米品比试验的每区珠数（x）和产量（y）
2013-4-24
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1.数据输入 定义变量“品种”，并对此变量的类型（Type）选中 String； 命名另外三个变量“区组”、“珠数x”和“产量y”。 用1、2、3、4代表四个区组，小数位（Decimals）依题 意都定义为0. 输入数据
2013-4-24
第七章 协方差分析
有无差别的方法，其目的是把与结果变量（因变量）Y
呈直线关系的自变量X（协变量）化成相等后，检验两
个或多个修正均数间有无差别。
§7 协方差分析
协方差分析的意义
[例7-1 ]为研究镉作业工人暴露于烟尘的年数与肺活量 的关系，按暴露年数将工人分为两组，甲组暴露大于 或等于10年,乙组暴露小于10年，两组年龄未经控制， 问该两组暴露于镉作业的工人肺活量是否相同？
分析：试验用4种肥料分别施10株果树，各组的单株产量 y 既包含了不同肥料所引起的“自身变异”，也包含 了不同的起始干周x所引起的 “协同变异”，因此应 采用协方差分析法将“协同变异”从 y 的总变异中剔 除，获得y的“自身变异”，然后才能正确地检验4种 肥料平均单株产量是否有显著差异。
§7 协方差分析
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
对x和y作方差分析
这里对y进行的F检验是在没有考虑x的影响下进行的, 若x 与y之间没有显著的回归关系,即x对y没有显著影响，对y进
行的F检验结果可以接受； 若x与y之间有显著的回 归关系,即x对y有显著影响, 则需对y矫正后再进行的F检验, 才能获得正确结论。
yij e (xij x ) y i ij
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 建立因变量Y随协变量X变化的线性回归关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再进行各组Y 的修正均数间比较的假设检验
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 计算变量x和y的自由度、平方和与乘积和
§7 协方差分析
协方差分析的意义
协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的 总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差 的绝对值越大，二个变量相互影响越大。
第九章 协方差分析
协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
二、单向分组资料的协方差分析 三、两向分组资料的协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
(riance)是两个变数的互变异数。对于一 个具有N 对(X，Y )的有限总体，其定义为：
1 N cov ( X i X )(Yi Y ) N 1
上式中和的 i=1，2，3，…，k。 其中： SPT xy 1 (T x T y )
kn
1 nk k 1 1 SPt (T xi T yi ) (T x T y ) n 1 nk kn 1 k SPe xy (T xi T yi ) SP SP T t 1 n 1
(4) 如果所得F 为不显著，表明间无显著差异；如
果F 为显著，则必须算出各个，进行多重比较，作
出相应推断。
(四) 相关关系资料的协方差分析
相关关系资料的协方差分析主要讨论两个互有联系
的总体的相关问题。
[例9.16] 为研究小麦品种经济性状的数量遗传，
随机抽取90个品种，在田间每品种皆种成4个小区 (每小区1行)，共90×4=360个小区，完全随机排列。 得到小穗数(x )和百粒重(y )的方差和协方差分析
ˆ e2( y ) 0.0308
ˆ2( y ) (0.9868 - 0.0308)/4 0.2390
由表9.13中MP 和EMP 的关系得：
cove 0.0369
cov (-1.4322 - 0.0369)/4 -0.3673
︿
︿
因此，小穗数和百粒重的环境相关系数 r 为： e ︿
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)
方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA) 第5章方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)——野外竞争试验Deborah E.GoldbergSamuel M.Scheiner5.1 引言自从达尔文时期，竞争就占据了生态理论的中心，关于竞争的实验在许多来自许多不同环境的多生物种之间开展过(Jackson,1981综述; Connell,1984; Schoener，1984; Hairston，1989; Gurevitch，1992)。
有各种各样的竞争实验，而本章的重点则放在怎样为具体的竞争问题选择适当的实验设计和统计分析。
这类选择取决于所研究问题及系统的许多方面。
对于大多数我们所给出的设计、基本的统计方法、方差分析(ANOVA)和协方差分析(ANCOVA)在实验设计与分析的教科书中也有详尽描述，我们在这里就不像本书其他章节那样提供详细的统计细节。
对于ANOVA的基本介绍见第四章。
虽然我们着重于竞争，但许多观点对其他类型的种间关系实验同样有效，如捕食者—猎物关系或者互惠共生关系。
5.2 关于竞争的生态问题我们可以提出关于竞争的最简单问题莫过于竞争是否在野外存在，要回答这个问题，就必须利用实验处理，使潜在竞争者们的绝对多度可被控制，同时检验处理中存在低多度潜在竞争者时物种是否可能生长的更好。
这类多度处理之间生长的差异即是竞争的量纲(或促进facilitation的量纲如果在较高多度下生长较佳)。
在任何野外竞争调查中，发现是否存在竞争是重要的第一步，但是，就其本身而言，并没有什么意义。
多数关于竞争的重要问题包括竞争强度的比较以及随之而来的实验设计及分析，这比在两种或更多种多度处理间的简单比较更为复杂 (Goldburg 和Barton，1992)。
有一组问题需要比较在不同环境条件下(生境或时间)竞争强度大小。
例如，野外观测结果可能推测出一个物种的分布是由同营养级所有其它物种竞争的总和所决定的假设，检验此假设的野外实验就必须比较中心种(focal sp.)在其多度高的生境和在其多度低或稀少的生境中竞争影响的强度(如 Hairston 1980; Gureritch 1986; Mcgreno 和Chapin 1989)。
第九章(三)协方差分析(Analysis_of_Covariance)
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
总思路
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Yij ( adj) Yij ( X ij X ) u ti eij
协变量修正后的 观测值 去除遗传效应
j 1 n
n
组内总 离差平 方和
i 1 k
k
(Yij bw ( X ij X i ) Yi ) 2
j 1
Yi的回 与回归线的残差平方和 归线 回归平 方和
E yy ( adj)
i 1
(Yij Yi ) bw
2 j 1
n
2
i 1
k
( X ij X i ) 2
2
分组变量离差 =总离差 - 协变量离差 - 随机误差
我们回头看协方差分析的模型
Yij ( adj) Yij ( X ij X ) u ti eij
使用该方法进行分析的前提是每组的回归系数相等，且不为零。回 归系数反映的是协变量对观测值的影响。只有这种影响的作用形 式相同，才能用该模型。 当然，如果回归系数为零的话，用协方 差分析也没有意义了。因此我们在做协方差分析前要做两个假设 检验． １．协变量对因变量的影响对与个组来说都是相同的，即各组回归 系数相等： bw1 bw2 ... bwk ２．这些相等的回归系数不为零： bw 0
i 1
(Yij Y ) 2
j 1
Tyy ( adj)可表示为： Tyy ( adj) Tyy bt Txx Tyy Txy
2 2
Txx
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
协方差分析
协方差协方差分析：（一）协方差分析基本思想通过上述的分析可以看到，不论是单因素方差分析还是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。
但在许多实际问题中，有些控制因素很难人为控制，但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。
协方差分析例如，在研究农作物产量问题时，如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响，不考虑不同地块等因素而进行方差分析，显然是不全面的。
因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长，而另一些却不利于农作物的生长。
不考虑这些因素进行分析可能会导致：即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响，但分析的结论却可能相反。
再例如，分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。
如果单纯分析饲料的作用，而不考虑生猪各自不同的身体条件（如初始体重不同），那么得出的结论很可能是不准确的。
因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。
（二）协方差分析的原理协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量（可控）对观测变量的作用，从而更加准确地对控制因素进行评价。
协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变动受四个方面的影响：即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响。
方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。
检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引起的均方比。
（三）协方差分析的应用举例为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响，将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料，得到体重增加的数据。
由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响，于是收集生猪喂养前体重的数据，作为自身身体条件的测量指标。
卫生统计学：第十五章 协方差分析
SS修正＋SS组内残差 ＝SS总残差
F
SS修正／修正 SS组内残差／组内残差
MS修正 MS组内残差
第三节 随机区组设计资料的协方差分析
【例13-2】为研究三种饲料对增加大白鼠体重的影 响，有人按随机区组设计将初始体重相近的36只大 白鼠分成12个区组，再将每个区组的3只大白鼠随机 分入A、B、C三种饲料组，但在实验设计时未对大 白鼠的进食量加以限制。三组大白鼠的进食量（X） 和体重增量（Y）的原始数据见表13-6。 问题：现欲推断三组大白鼠体重增量的总体均数是 否有差别，同时要扣除进食量因素的影响。
饲料分组
因变量: 体重增重（kg)
95% 置信区间
饲料分组 A饲料
均值
标准误
94.959a
1.840
下限 91.120
上限 98.798
B饲料
99.501a
1.203
96.991 102.011
C饲料
82.165a
1.964
78.068
86.263
a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 初始重量 (kg) = 19.25.
• 修正均数(adjusted mean) ：假定协变量取值固定 在其总均数时的观察变量Y的均数。
协方差分析的基本思想
Y
协方差分析的基本思想
三、应用协方差分析的条件
• 理论上要求各样本均来自总体方差相等 的正态总体， 各观察值相互独立。
• 各总体因变量与协变量间存在回归关系（ i ≠0），且
各总体回归直线的回归系数
COV (x, y) n11(x x)(y y)
1）样本协方差是总体协方差的估计值。 2）当X和Y相互独立时，COV(X,Y)=0。
协方差分析(三版)
完全随机设计资料的 协方差分析
表13-1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
方法步骤
数据准备
数据分布检验 方差齐性检验
电脑运算
具体步骤
• •
Y ，积和 X jY j 1、计算各组 ，平方和 X 、 均数 X j Y j 及其合计项 2、利用合计项各数据计算校正数C1、C2、C3，以 及总变异的离均差平方和 l XX lYY ，积和 l XY 及自 由度 3、计算各处理组间的离均差平方和，积和及自由 度 4、列出协方差分析计算表填入上述结果，再由总 变异的及减去处理组相应各值，得到组内离均差平 方和及自由度
ˆ )2 ( Y Y
MS
总变异－白鼠间
ˆ )2 l l 2 l ( Y Y YY XY XX
Y
(YY)
Y
ˆ) (Y Y
ˆ Y) (Y
Y
X
残差平方和的分解
2 2 2 ˆ ˆ ˆ (Y Y ) 总 (Y Y ) 修正均数间 (Y Y )组内
总 修正均数间 组内
2 ˆ (Y Y ) 修正均数间 2 ˆ (Y Y )组内
修正均数间 组内
协变量假定均数
随机区组设计的协方差分析
例13-2 为研究A、B、C三种饲料对增加大白鼠体 重的影响，有人按随机区组设计将初始体重 相近的36只大白鼠分成12个区组，再将每个 区组的3只大白鼠随机分入A、B、C三种饲 料组，但在实验设计时未对大白鼠的进食量 加以限制。三组大白鼠的进食量(X)与所增 体重(Y)如下，问扣除进食量因素的影响后 ，三种饲料对增加大白鼠体重有无差别 ？
区组 （大白鼠）
扣除协变量影响： 用线性回归残差平方和表示 扣除区组的影响： 总变异－区组变异＝处理变异＋误差
协方差分析
协方差分析 将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
11
协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数 y1，y2 …，yk的假
设检验前，用线性回归分析方法找出协变 量X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数y1 ，y2 …y，k ，然后用方 差分析比较修正均数间的差别，这就是协 方差分析的基本思想。
32
研究三种饲料对猪的催肥效果
表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）
编号
1
A饲料
X1
Y1
15
85
2
13
83
3
11
65
4
12
76
5
12
80
6
16
91
7
14 84
8
17 90
均值 13.750 81.750
B饲料
X2
Y2
17
97
16
90
18 100
18
95
21 103
22 106
19
4
12
76
5
12
80
6
16
91
7
14
84
8
17 90
均值 13.750 81.750
B饲料
X2
Y2
17
97
16
90
18 100
18
95
21 103
22 106
19
99
18
94
18.625 98.000
第四章协方差分析
第一节 协方差分析的意义
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退 出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合 饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重 相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的 上一张 下一张 主 页 退 出 增重。经研
资料的方 差分析表
各品种处理 组的校正平 均产量
各品种处 理组产量 的校正比 较表
发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪
增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用
统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计
y
第二节 单向分组资料的协方差分析
设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，
每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资料为 具kn对x、y观测值的单向分组资料，其数据 一般模式如表4—1所示。
上一张 下一张 主 页
退 出
表4—1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
【例4.1】 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲 增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔 配方3共四个处理，重复12 次，选择初始条件 尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头 ，完全 随机分为4组进行试验，结果见表4—2，试作 分析。
描述性统 计指标
协方差分析
n j1
xi• x••
2 a xHale Waihona Puke 2• i1 nx•2• an
( 4 3 )
(4 4) (45)
(46) (47)
a n
TXY
xi• x••
i1 j1
yi• y••
a
xi•
yi•
i1
n
x•• y•• an
(4 8)
a n
EYY
yij yi• 2 SYY TYY
的均方做F 检验, FMeG S1 16.6443.08 MeG S2 5.403
F6,6,0.05＝4.82,F＜F0.05,可以认为各组方差具备齐 性,
⑷ 检验回归线是否平行 i＝ ：在⑵中已经计算
出 组 内 剩 余 平 方 和 SSeG 和 用 公 共 回 归 系 数 b* 计 算得到的误差平方和SSe,SSeG完全是由随机因素 造成的：三条回归线用同一b*计算出的误差平 方和SSe,包括由于随机误差及回归系数两种变差 所产生的平方和,因而回归系数平方和,
SSe＝EYY－E2XY／EXX a n－1 －1 SS’e＝SYY－S2XY／SXX an－2
MSe＝SSe／ a n －1 －1
SS’e －SSe
a－1
SS’e －SSe ／ a －1
在协方差分析表中,除列入检验假设所需要 的处理效应平方和之外,还列入了全部平方和及 交叉乘积和,协方差分析的结果,不论零假设是否
a
SXX
i1
n j1
xij x••
2
a
i1
n j1
xi2j
x•2• an
a n
SXY
xij x••
i1 j1
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估计误差
F (Y Yˆ )2 MS
总变异
35 508150.076 187349.144 75783.356
饲料间
2 383620.127 135607.964 48297.627
白鼠间 误差
11 87586.703 36638.307 19089.116 22 36943.246 15102.873 8399.613
342.9 56.5
356.9 76.0
198.2
9.2
12
12
272.23 37.10
B组
X2
260.3 271.1 214.7 300.1 269.7 307.5 278.9 256.2 240.8 340.7 356.3 199.2
12
Y2
32.0 47.1 36.7 65.0 39.0 37.9 51.5 26.7 41.0 61.3 102.1 8.1
协方差分析的基本步骤
➢1.确定协变量（即未加以控制或难以控制 的因素）
➢2.检验条件是否满足 ➢3.建立因变量Y随协变量X变化的线性回归
关系 ➢4.利用回归关系把协变量X化为相等后再进
行各组Y的修正均数间比较的假设检验
完全随机设计资料的 协方差分析
表13-1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
28
11.2
9.5
10.7
9.3
9.4
7.8
29
9.6
8.2
10.4
8.7
8.3
6.6
30
8.0
7.2
9.4
8.7
9.2
7.2
若不考虑初始糖化血红蛋白X对Y的影响
H0：μ1=μ2=μ3 H1：μ1、μ2、μ3不等或不全相等
α=0.05
结论：三种治疗组降糖化血红蛋白的效果不同。
如何在扣除或均衡这些不可控制因素的影 响后比较多组均数间的差别，应用协方差分 析。
A饲料
*
Y A 37.10 0.4088(272.23 346.42) 67.43
B饲料
*
Y B 45.70 0.4088(274.62 346.42) 75.05
C饲料
*
Y C 118.74 0.4088(492.40 346.42) 59.06
➢ 6、以修正均数及组内的估计误差平方和分别除以 相应的自由度得到修正均数及组内估计误差均方， 求F值
➢ 7、查F界值表得P值，做出统计推断
➢ 8、多重比较的q检验
例13-1
药物治疗是人为可控制的定性因素，称定性变量 初始糖化血红蛋白是难以控制的定量因素，称协变 量X 3月后的糖化血红蛋白是实验观察指标，称应变量Y
21 2225.36 105.97
饲料+误差 24 420563.373 150710.837 56697.240
23 2689.31
修正均数
2 463.95 231.98 2.19
总变异－白鼠间
(Y
Yˆ )2
l YY
l
2 XY
l XX
(Y Yˆ )2修正均数 (Y Yˆ )2饲料误差 (Y Yˆ )2误差
三组大白鼠的进食量(X, g)与增重(Y, g)
区组
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
nj
j
(Y j )
A组
X1
Y1
256.9 27.0
271.6 41.7
210.2 25.0
300.1 52.0
262.2 14.5
304.4 48.8
272.4 48.0
248.2
9.5
242.8 37.0
表13-3 三组患者治疗前后的糖化血红蛋白含量（％）
第一组
第二组
第三组
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
1
10.8
9.4
10.4
9.2
9.8
7.6
2
11.6
9.7
9.7
9.0
11.2
7.9
3
10.6
8.7
9.9
8.9
10.7
9.0
4
9.0
7.2
9.8
8.6
9.6
7.8
5
11.2
10.0
11.1
9.9
10.1
第十三章 协方差分析
协方差分析的意义
➢对试验进行统计控制 ➢对协方差组分进行估计
• 为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条 件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽 量一致，这叫试验控制。但在有些情况下，即使作出很 大努力也难以使试验控制达到预期目的。
• 统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种修 正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准
确。若 y 的变异主要由x的不同造成(处理没有显著
效应)，则各修正后的y 间将没有显著差异(但原y
间的差异可能是显著的)。若 y的变异除掉x不同的
影响外， 尚存在不同处理的显著效应，则可期望各
y间 将有显著差异 (但原y间差异可能是不显著的)。 此外，修正后的 y 和原y的大小次序也常不一致。
所以， 处理平均数的回归修正和修正平均数的显著 性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更 真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析 结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协 方差分析(analysis of covariance)。
(Y Yˆ)修2 正均数间
(Y
修正均数间
Yˆ)组2 内
MS修正均数间 MS组内
F
组内
组1
( X 0，Y 1 )
Y ( X 1，Y 1 )
(X2，Y2 )
(X0，Y2 )
组2
Y2 Y1 Y2 Y1
X1
X0
X2
二、应用条件
1.各组协变量X与因变量Y的关系是线性的， 即各样本回归系数b本身有统计学意义。
其实质是从Y的总离均差平方和 (Y Y)2 中
扣除协变量X对Y的回归平方和 (Y Y)2 ，
对残差平方和
(Y
Y)2
作进一步分解后再进
行方差分析。
Y
Y
(YY)
(Y Yˆ )
(Yˆ Y)
Y
X
残差平方和的分解
(Y Yˆ)总2 (Y Yˆ)修2 正均数间 (Y Yˆ)组2 内
总 修正均数间 组内
12
492.40 118.74
随机区组设计资料方差分析的变异分解
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
总变异＝处理间变异+区组间变异+误差
随机区组设计资料协方差分析的变异 分解与此相同
反应变量Y (增重)均数
处理因素 （饲料）
协变量
区组
（进食量） （大白鼠）
扣除协变量影响： 用线性回归残差平方和表示
• 例13-1 为研究某降血糖药物的有效性及其 合用盐酸二甲双胍片的有效性，选择收治 90名2型糖尿病患者，并采用随机对照试验 ，分为三个治疗组，第一组为该降糖药组 ，第二组为盐酸二甲双胍片组，第三组为 该降糖药+盐酸二甲双胍片组，每组30名患 者，治疗3个月，主要有效性指标为糖化血 红蛋白。测得每个患者入组前（X）和3个 月后（Y）的糖化血红蛋白含量（％）, 试分析三种治疗降糖化血红蛋白的效果是 否不同。
（3）组间离均差平方和、积和及自由度
4．计算总的、组内及修正均数的估计误差平方和、 自由度
5．列协方差分析表，查F界值表，P＜0.01，拒 绝H0，接受H1，可以认为在扣除初始糖化血红蛋
白因素的影响后，三组患者的总体降糖均数有差 别。
6．计算公共回归系数bc及各组修正均数
bc
组 内l XY 组 内l XX
2.各样本回归系数b间的差别无统计学意义， 即各回归直线平行。
3.各组残差呈正态分布。 4.各协变量均数间的差别不能太大，否则有
的修正均数在回归直线的外推延长线上。
➢要求：在进行协方差分析前，应先进行方 差齐性检验和回归系数的检验。
➢注意问题：如果不满足以上条件，建议进 行变量变换，符合上述条件后，再进行协方 差分析。
Y
* j
Yj
bc ( X
j
X)
7．修正均数间差别进行两两比较 – q 检验
*
*
Y A YB
q
S Y2 X n0
1
(a
组间l XX 1)组内l
XX
SPSS软件计算
1.建立数据文件 2.绘制散点图与建立直线回归方程 3.回归直线平行性假定的检验
初始X与各组无交互作用可认为 各组回归直线平行，即初始X对糖化血 红蛋白的影响在各组间是相同的。 4.修正均数的计算与假设检验
3.结论:
F=2.19<F0.05(2,21)=3.47 P>0.05 按=0.05水准不拒绝H0，还不能认为扣 除进食量因素的影响后，三种饲料对增 加大白鼠体重有差别。
4.计算公共回归系数与修正均数
bC
误 差l XY 误 差l XX
15102.873 36943.246
0.4088*ຫໍສະໝຸດ Y j Y j bC ( X j X )
协方差分析步骤
1．H0：各总体糖化血红蛋白的修正均数相等 H1：各总体糖化血红蛋白的修正均数不全相等 α= 0.05
2．列表并计算初步结果
协方差分析计算表模式
离均差平方和及积和
估计误差
变异来源 ν
F
lXX
lXY
lYY
ν (Y Y )2 MS
总变异
组间变异