第一型曲线积分的计算
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§6.4
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念
曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x, y) ，求该物体的质量 m。
y
M1
M2
M i1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分为 n 小 段
ds x (t ) y (t ) z (t ) dt ，
2 2 2
L
f ( x, y, z )ds f [ x(t ), y (t ), z (t )] x2 (t ) y2 (t ) z 2 (t )dt
。
注 (1)第一型曲线积分无方向性, 化成定积分时 应上限大于下限。 (2)因被积函数f(x,y)定义在曲线L上,应将 曲线方程代入被积函数。 (3)f(x,y) 1时， ds表示L的弧长。
2 2 为参数 取 ， ds () ()d
L
f ( x, y )ds f [() cos ,()sin ] 2 () 2 () d 。
(4). 若空间光滑曲线L的 参数方程为
x x(t ) ， y y (t ) ， z z (t ) ( t ) ，则
L
例1 求
L
x ds
L : x 2 y 2 R 2 , y 0.
例2
( x y)ds, L : 连接三点 O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L
9 2 2 2 x y z 例 3 计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds, 其中L : . 2 L x z 1
2 2 2 2 x y z R 例 4 计算 （y 2 z )ds, 其中L : . L x yz 0
例 5（1）设L : x 2 y 2 4，则
x3 1 3 ds ＝ x ds＝0 L x2 y 2 4 L x2 y 2 （2）设L : 1，其周长为a, 2 4 2 2 x y 则 （xy 2 x 2 y 2 )ds ＝4 ( )ds＝4a
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y )ds 存在。
L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线 积分：
f (i ,i , i )si L f ( x, y, z )ds dlim 0
i1 n
。
二、第一型曲线积分的计算法
ds (dx) (dy ) x x( t ) (1) 若曲线L的方程为 , t , 则 y y( t ) 弧微分公式 :
s i (i 1, 2, , n ) ，同时也以 si
表示第 i 小段弧长。
（2）近似
(i , i )si ，
则 mi f (i ,i )si 。
y
M1 M2
M i1
（3）求和
m f ( i , i )si 。
n i 1
(பைடு நூலகம்i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
（4）取极限
1in
令 d max{si } ，则 m lim f ( i , i )si 。
d 0 i 1
o n
x
f (i ,i )si L f ( x, y)ds dlim 0
i1
n
，
其中
f ( x, y ) 称为被积函数，L 称为积分弧段。
注：
2 2
f ( x, y)ds
L
2 2 f ( x(t ), y(t )) x (t ) y (t ) dt
(2) 若曲线L的方程为 y y( x ), a x b, 则
L
f ( x, y)ds
b
a
2 f ( x, y( x)) 1 y dx
x () cos ( ) 给出，则 (3)．若 L 由 方程 () 或 y () sin
L
L
2
4
2 2 求圆柱面 x y 1位于平面z 0上方与z y 例 6 下方那部分的侧面积 A.
当f ( x, y ) 0 时, f ( x, y ) ds 表示以 L 为准线,
L
母线平行于z轴, 高为z f ( x, y )的柱面面积。
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念
曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x, y) ，求该物体的质量 m。
y
M1
M2
M i1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分为 n 小 段
ds x (t ) y (t ) z (t ) dt ，
2 2 2
L
f ( x, y, z )ds f [ x(t ), y (t ), z (t )] x2 (t ) y2 (t ) z 2 (t )dt
。
注 (1)第一型曲线积分无方向性, 化成定积分时 应上限大于下限。 (2)因被积函数f(x,y)定义在曲线L上,应将 曲线方程代入被积函数。 (3)f(x,y) 1时， ds表示L的弧长。
2 2 为参数 取 ， ds () ()d
L
f ( x, y )ds f [() cos ,()sin ] 2 () 2 () d 。
(4). 若空间光滑曲线L的 参数方程为
x x(t ) ， y y (t ) ， z z (t ) ( t ) ，则
L
例1 求
L
x ds
L : x 2 y 2 R 2 , y 0.
例2
( x y)ds, L : 连接三点 O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L
9 2 2 2 x y z 例 3 计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds, 其中L : . 2 L x z 1
2 2 2 2 x y z R 例 4 计算 （y 2 z )ds, 其中L : . L x yz 0
例 5（1）设L : x 2 y 2 4，则
x3 1 3 ds ＝ x ds＝0 L x2 y 2 4 L x2 y 2 （2）设L : 1，其周长为a, 2 4 2 2 x y 则 （xy 2 x 2 y 2 )ds ＝4 ( )ds＝4a
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y )ds 存在。
L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线 积分：
f (i ,i , i )si L f ( x, y, z )ds dlim 0
i1 n
。
二、第一型曲线积分的计算法
ds (dx) (dy ) x x( t ) (1) 若曲线L的方程为 , t , 则 y y( t ) 弧微分公式 :
s i (i 1, 2, , n ) ，同时也以 si
表示第 i 小段弧长。
（2）近似
(i , i )si ，
则 mi f (i ,i )si 。
y
M1 M2
M i1
（3）求和
m f ( i , i )si 。
n i 1
(பைடு நூலகம்i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
（4）取极限
1in
令 d max{si } ，则 m lim f ( i , i )si 。
d 0 i 1
o n
x
f (i ,i )si L f ( x, y)ds dlim 0
i1
n
，
其中
f ( x, y ) 称为被积函数，L 称为积分弧段。
注：
2 2
f ( x, y)ds
L
2 2 f ( x(t ), y(t )) x (t ) y (t ) dt
(2) 若曲线L的方程为 y y( x ), a x b, 则
L
f ( x, y)ds
b
a
2 f ( x, y( x)) 1 y dx
x () cos ( ) 给出，则 (3)．若 L 由 方程 () 或 y () sin
L
L
2
4
2 2 求圆柱面 x y 1位于平面z 0上方与z y 例 6 下方那部分的侧面积 A.
当f ( x, y ) 0 时, f ( x, y ) ds 表示以 L 为准线,
L
母线平行于z轴, 高为z f ( x, y )的柱面面积。