初中几何证明题库：菱形

8．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）

A ． 20°

B ． 25°

C ． 30°

D ． 35°

考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∠AD ∠BC ， ∠∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∠AE=AB=AD ，

在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∠∠ADE=50°， 又∠∠B=80°， ∠∠ADC=80°，

∠∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．

已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则

MC

AM

的值是 .

6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】

A 、3公里

B 、4公里

C 、5公里

D 、6公里

图1

M

E

D

B

C A

图2

M

E

D

B

C

A

7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．

2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．

例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。

∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。

3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=4

3

，则菱形ABCD的面积为

▲ cm2．

例1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’

经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CF

FD

的值为【】

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ，

∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°，

∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。

设CF=x ，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。∴FM=CM+CF=2x+y，

在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=

D F y FM 2x y '==+x =。

∴

CF x FD y ==。故选A 。 例2.如图，菱形ABCD 中，AB=AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200

，③AH+CH=DH，④AD 2

=OD·DH 中，正确的是【 】．

A. ①②④

B. ①②③

C. ②③④

D. ①②③④ 【答案】D 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。

【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。

又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。结论①正确。

∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。

∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。

结论②正确。

如图，在HD上截取HG=AH。

∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。

∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。

又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。

∴A，H，C，D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。

∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。

又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。

∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴AD HD OD AD

。

∴AD 2=OD·DH。结论④正确。

综上所述，正确的是①②③④。故选D。

例5.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．