2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第18讲
《名师一号》高三数学总复习一轮精品课件1.1
第一模块集合与常用逻辑用语第1页共61页考纲要求1 •了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.3•理解集合之间的包含与相等关系，给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.4■理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5•理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6■了解逻辑连结词“或”、"且”、"非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.命题走向纵观近几年各省、市的高考试题知:本模块是必考内容之一, 多以选择题、填空题出现■主要考查集合的简单运算，命题的充分条件、必要条件、充要条件■因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合，还可以出解答题.第_讲集合的概念及简单运算走进高考第一关考点关回归教材1 •集合的概念(1) 集合是数学中的一个不定义的原始概念，像平面几何中的点、线、面一样只可描述•一般地，某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.(2) 根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.⑶符号“e”和 y 表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.2 ■集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法, 它们各有优点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析.3•子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或B2A.⑵如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么, 集合A叫集合B的真子集，记作A B或B A.4.空集(1)空集0是指不含任何元素的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.⑵集合｛0｝不是空集;0曰0｝、0曰0｝、0 ｛0｝三种表示法都是对的.5•有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素, 则A的子集有2"个;非空子集有2^1个;真子集有2九1个.6•集合的运算⑴交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集，记作API B.⑵并集一般地，对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A U B.⑶全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个给定的集合为全集, 通常用U表示、⑷补集如果A是全集U的一个子集，由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CyA.7 ■集合中的常用运算性质(1) A C B,B C A,J!!)A=B;A C B5B C C,贝！|A U C;(2) 0 匚A,若AM0,则0 A;(3) AClA=A,An0=0;(4) A U A=A5A U B=B U A5A U 0=A;(5) AAC U A=0,AUC U A=U;(6) ACIB 匸AvAUB;⑺ C u(AnB)=(C u A)U(C u B);C u(AUB)=(C u A)n(C u B);(8)若A C B5则AnBuAUB,AClB二A，AUB=B.考点训练1 .（2009 •全国卷I）设集合A={4555759}5B={354575859}5全«U=AUB3则集合Cu(AClB)中的元素共有()A. 3个B.4个C.5个D.6个答案:A 解析:依题意得U=A UB={3,4,5,7,8,9},AAB={4,7,9}. .•.Cu（AnB）={3,5,8},故选A.2.(2009 •四川卷)设集合S={x||x|<5},T={x|x2+4x-21 <0},则sm=()A.{x|-7<x<-5}B.{x|3<x<5}C.{x 卜5vxv3}D.{x 卜7vxv5}答案:C解析:S=(-555)5T=(-753)5/.SnT=(-553).3.(2009 •江西卷)已知全集U=AUB中有m个元素,( CuA)U(CuB)中有n个元素•若APIB非空，则ACIB 的元素个数为()A.mn .m+n C.n-m D.m-n答案:D解析:••(CuA)U(CuB)=Cu(AnB),.•.Cu(AnB)有n个元素，故ACIB有个元素.5.(2009•盖甘#)cu wp i a -a H U o +m (p」)-m m 30JL b -b"」二+n s > )3m 3徊39 可**?>a p n Q U ()Ad(二二 Bi:?」)}cduo)}cup-二®竽a"」m.b"」+nh^pnQUCPb&a H b ^n H +=®« n H pmH」••••p n Q H 5解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合，既可以表示为{a, 2 ,1},也可表示为{a25a+b50}5J!!ja2009+b2009= _______ ■°答案"解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐.这时A若能发现0这个特殊元素，和？中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法. "=-1.b由已知得—=0,及aMO,所以b=0,于是a2=*|,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=l应舍去，因而a=i,故a2009+b2009=(_1)2009点评：1 •利用集合中元素的特点，列出方程组求解,但仍然要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征. 2•此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验.=-1.变式1：已知X?曰1,0,X｝,求实数X的值.解:由集合中元素的确定性可知X2=1,0或X,由集合中元素的互异性可知x卅,0.若X2=OJI)X=O,此时集合为｛1,0,0｝,不符合集合中元素的互异性，舍去.若x2=1，则x= 土 1 .当X=1时,集合为｛1,0,1 ｝，不符合集合中元素的互异性，舍去；Sx=-1时,集合为｛1,0,-1｝，符合.若x2=x，则X=0或X=1，由上可知,X=0和X=1都不合题意，舍去.综上所述，x=・1.点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题，又要利用它们检验解的正确性，特别是互异性，最易被忽视，在学习中必须加以重视.题型二元素与集合的关系例2已知集合A={x|ax2・3x+2=0}，若A中元素至多有一个，求a 的取值范围.2解:(l)a = OHt原方程为-3x + 2 = 0，x =「符合题意; ' 73 (2)a丰0时，方程ax2 -3x + 2 = 0为关于x的一元二次方程,当A = 9 - 8a 5 0时,即a n細关于x的方程Oax2-3x + 2 = 0无实数根或有两个相等的实数根，9都符合题意.综上所述,a的取值范围为a = 0或a >变式2:设A是数集，满足性质：若a G A,则宀1-a⑴若2 G A,求A;8(2)若a G A,求证:1- —e A.解：(1)由2 e A,则= -1 e A,---- --- = — u A，—-~— = 2 u A，1(1) 2 !_12故A = {2,_1,*}.(2)证明：由a G A知，'G A，1 —a・•・亘一=1- — e A,得证.题型三集合的基本运算例3 设全集为实数集R,M={x||x|<2},N={x|y=lg(1-x)<0},H!)(C R M)AN等于()A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|-2<x<1}答案:A解析:\M={x|-2<x<2},.•，C R M={X|X<-2或X>2},N={X|1-X>0}={X|XV1}. /.(C R M)AN={X|X<-2}.点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时，可利用数轴来表示各不等式的解集，以便于能直观地分析出各集合之间的关系.2变式3: （2009薮徽卷）若集合A 如礬＜。
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例２ 若函数f（x）满足f（x）＋2f（１－x）＝x，则f（x）
的解析式为_______ ．
答案：f xx2
3
解析：∵ｆ（ｘ）＋２ｆ（１－ｘ）＝ｘ
①
∴ｆ（１－ｘ）＋２ｆ（ｘ）＝１－ｘ
②
①－②×２得ｆ（ｘ）＝－ｘ＋ 2 ．
3
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点评: 若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有 其它未知量,如f(-x),f( 1 ),f(1-x)等,此类题型必须根据
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2.函数 函数是特殊的映射,它特殊在A、B两个集合为非空数集.即: 设A、B为非空数集,在某一个对应法则f的作用下,对于集合A 中的任一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.函数的 三要素通常是指定义域、值域、对应法则.在三要素中,定义 域是灵魂,对应法则是核心,值域因定义域及对应法则而确定. 两个函数只有当它们的定义域、值域、对应法则完全相同时, 才称为同一函数.
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求函数的解析式常用的方法有:代入法、换元法、拼凑法、 待定系数法、解方程组的方法及赋值法等.在解题时要根据 题目的特点,因题而异,适当选择不同的方法,同时要注意根 据实际意义(如面积、距离等).求函数的解析式时,要注意实 际问题的定义域的特殊性,写出解析式时,必须注明定义域; 对于分段函数,应分别求出各区间内的函数关系,再组合在一 起,注意各区间的点既不重复,又不遗漏.
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8.了解周期函数的意义,并能利用函数的周期性解决一些问 题. 9.理解函数单调性概念,掌握判断一些简单函数单调性的方 法,能利用函数单调性解决一些问题. 10.了解导数概念的实际背景. 11.理解导数的几何意义. 12.能根据导数定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的 导数.
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第20讲
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
类型三
已知 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，φ>0)的图象，求解析式
解题准备： 给出图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的难点在于 φ 的确定，本质为待定系数法．基本方法是：①“五点法”，运 用“五点”中的一点确定．②图象变换法，即已知图象是由哪个 函数的图象经过变换得到的，通常可由零值点或最值点确定 φ.有
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
解析：当
π f(x)＝sinx＋ 时，按向量 2
π a＝ ，2平移后恰有 4
y＝
π sinx＋ ＋2.故选 4
B.
答案：B
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
5．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝ {x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则M×N所对应的图形的面积为________ ． 解析：如图所示阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝ π·2＝2π.
画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
类型二
三角函数的图象变换
解题准备：三角函数的图象变换时，要注意平移和伸缩的多 少及方向．(1)平移变换：①沿 x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿 y 轴平移，按“上加下减”法则；(2)伸缩变换：①沿 x 轴伸 1 缩时，横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标 y ω 不变)；②沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原 来的 A 倍(横坐标 x 不变)．
2012年高考第一轮复习(共218页)
2012年高考第一轮复习（共218页）2012年高考第一轮复习之一-------力物体的平衡复习要点1．力的概念及其基本特性2．常见力的产生条件，方向特征及大小确定3．受力分析方法4．力的合成与分解5．平衡概念及平衡条件6．平衡条件的应用方法二、难点剖析1．关于力的基本特性力是物体对物体的作用。
力作用于物体可以使受力物体形状发生改变；可以使受力物体运动状态（速度）发生改变。
影响力的“使物体变形”和“使物体变速”效果的因素有：力的大小、力的方向和力的作用点，我们反影响力的作用效果的上述三个因素称为“力的三要素”。
对于抽象的力概念，通常可以用图示的方法使之形象化：以有向线段表示抽象的力。
在研究与力相关的物理现象时，应该把握住力概念的如下基本特性。
（1）物质性：由于力是物体对物体的作用，所以力概念是不能脱离物体而独立存在的，任意一个力必然与两个物体密切相关，一个是其施力物体，另一个是其受力物体。
把握住力的物质性特征，就可以通过对形象的物体的研究而达到了解抽象的力的概念之目的。
（2）矢量性：作为量化力的概念的物理量，力不仅有大小，而且有方向，在相关的运算中所遵从的是平行四边形定则，也就是说，力是矢量。
把握住力的矢量性特征，就应该在定量研究力时特别注意到力的方向所产生的影响，就能够自觉地运用相应的处理矢量的“几何方法”。
（3）瞬时性：力作用于物体必将产生一定的效果，物理学之所以十分注重对力的概念的研究，从某种意义上说就是由于物理学十分关注力的作用效果。
而所谓的力的瞬时性特征，指的是力与其作用效果是在同一瞬间产生的。
把握住力的瞬时性特性，应可以在对力概念的研究中，把力与其作用效果建立起联系，在通常情况下，了解表现强烈的“力的作用效果”往往要比直接了解抽象的力更为容易。
（4）独立性：力的作用效果是表现在受力物体上的，“形状变化”或“速度变化”。
而对于某一个确定的受力物体而言，它除了受到某个力的作用外，可能还会受到其它力的作用，力的独立性特征指的是某个力的作用效果与其它力是否存在毫无关系，只由该力的三要素来决定。
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第63讲
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
x2＋y2－2y＝8， ∴ 2x＝a，
即 4(y－1)2＝36－a2，
∵y>0，∴4(y－1)2≥0， ∴36－a2≥0，即 a2≤36，－6≤a≤6， 2x a x<0 a<0 6 a<0 又 2x＝a，而 x<0，∴a<0，∴－6≤a<0， ∴a 的取值范围为[－6,0)．
则
1 2 2 a2＝C4 (－z) ＝6×(－ － 2
3 2 i) 2
1 3 ＝6×(－ ＋ i)＝－3＋3 3i. 2 2
答案：B
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类型一
复数的基本概念
解题准备：处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相 关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出 发解决问题．本例考查复数集的分类及复数的几何意义，由于本题所给 的复数已经采用标准的代数形式，因此容易确定其实部与虚部．若不然 ，则应先化为代数形式后再依据概念求解．
解得 m＜－3 或 1＜m＜2， 故当 m＜－3 或 1＜m＜2 时， 对应的点位于复平面的第二象 z
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限．
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m(m－2) (4)由 ＋(m2＋2m－3)＋3＝0， m－1 m(m2＋2m－4) 得 ＝0，解得 m＝0 或 m＝－1± 5. m－1 ∴当 m＝0 或 m＝－1± 5时，点 z 在直线 x＋y＋3＝0 上．
m 的取值范围是－
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
(3)z 对应点在第一象限
m＋1>0 ⇔ 2m＋1>0
《名师一号》高三数学总复习一轮精品课件3.18
5.推理是高考的重要内容.推理主要包括合情推理和演绎推理 ,由于解答高考试题的过程就是推理的过程.因此本部分内容 的考查将会渗透到每一个高考题中,考查推理的基本思想和 方法,既可能在选择题和填空题中出现,也可能在解答题中出 现. 6.证明是数学的基本思维过程,数学问题的解决离不开证明, 对本部分内容的考查也将会渗透到每一个高考题中,考查证 明的基本思想和方法,在选择题和填空题中,考查利用基本的 证明方法如:分析法、综合法、反证法解决问题的意识和能 力,也有可能以解答题的形式出现,考查数学归纳法的应用等.
1.(2008·广东卷)设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确
的是( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0
C.b+a>0
D.a2-b2<0
答案:C
解析:方法一:∵a-|b|>0,∴a>|b|, ∴a2>b2,即a2-b2>0, ∴(a+b)(a-b)>0,∵a>|b|≥b. 即a-b>0,∴a+b>0. 方法二:(特殊值法) 令a=1,b=0,排除A、B、D,∴选C.
第十八讲 不等关系与不等式
走进高考第一关 考点关
回归教材 1.不等式的定义 用不等号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数 或代数式的式子叫做不等式. 2.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
3.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)加法性质:a>b⇒a+c>b+c; a>b,c>d⇒a+c>b+d. (4)减法性质:a>b,c<d⇒a-c>b-d. (5)乘法性质 :a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
2012年高考数学总复习一轮《名师一号》课件第1讲集合的概念与运算
• 第一讲 集合的概念与运算
• 回归课本
• 1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性； (2)互异性；(3)无序性．
• 2．元素与集合的关系有属于和不属于两种．
• 考点陪练
• 1.(2010· 浙 江 )设P＝ {x|x<4} ， Q＝ {x|x2<4} ， 则
()
• A．P⊆Q
B．Q⊆P
• C．P⊆∁RQ
D．Q⊆∁RP
• 解析：集合Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.
• 答案：B
• 2．(2010·江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝ {y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )
• (2)若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. • 当a＝0时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝
3，符合题意， • 当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1. • ∴a＝－2不符合题意； • (3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2， • 由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合题意． • 综上可知，实数a的值为0.
• A．不可能有两个元素 • B．至多有一个元素 • C．不可能只有一个元素 • D．必含无数个元素
• 快解：集合M是过点(1,1)的一条直线，集合N是 圆心为(0,1)，半径为1的圆，如图所示，由于直 线的斜率存在，故直线与圆必有两个交点．
• 名师作业·练全能
(2)∵A＝{3,5}，且 B⊆A， 故若 B＝∅，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0； 若 B≠∅，则 a≠0， 由 ax－1＝0，得 x＝1a， ∴1a＝3 或1a＝5，即 a＝13或 a＝15. 故 C＝{0，13，15}．
名师一号高考总复习数学(精选5篇)
名师一号高考总复习数学(精选5篇)名师一号高考总复习数学【篇1】(一)向量代数1.知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件2.要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
(3)熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。
(1)幂级数的概念收敛半径收敛区间(2)幂级数的基本性质(3)将简单的初等函数展开为幂级数2.要求(1)了解幂级数的概念。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。
(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。
名师一号高考总复习数学【篇2】1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1)元素的确定性如：世界上最高的山2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
u 注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1) 列举法：{a,b,c……}2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x?R| x-32} ,{x| x-32}3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合名师一号高考总复习数学【篇3】(一)一阶微分方程1.知识范围(1)微分方程的概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3)一阶线性方程2.要求(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。
《名师一号》高三数学总复习一轮精品课件1.2
(3)原命题为假. 逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q>1.为假. 否命题:若q≤1,则方程x2+2x+q=0没有实根.为假. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0没有实根,则q≤1.为假.
点评: (1)写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是正确 找出原命题的条件和结论; (2)在判断原命题及其逆命题,否命题和逆否命题真假时,要灵 活应用“原命题与逆否命题同真同假;否命题与逆命题同真 同假”.
答案:C
解析 : 要使mx2
ny2
1,即
x2 1
y2 1
1是焦点在y轴上的
mn
1 m
0
椭圆需有
:
1 n
0
m
n
0,故互为充要条件.
1 m
1 n
2.(2009·四川卷)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是 “a-c>b-d”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)原命题为假命题. 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点,则b24ac<0,是假命题. 否命题:若二次函数y=ax2+bx+c中b2-4ac≥0,则该二次函数的 图象与x轴没有公共点,是假命题. 逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点, 则b2-4ac≥0,是假命题.
4.(2009·山东卷)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内 的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第17讲
－1＜cosθ＜0， 或 －1＜sinθ＜0.
∴θ 为第一或第三象限角．
第28页
高考总复习（ 高考总复习（文、理）
[点评]
运用正弦、余弦、正切函数在各象限的函数值符号法则，
确定所给函数的函数值符号或通过函数值符号确定角变量的取值范围．
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
类型四
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
[点评]
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度表
示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前应将圆 心角用弧度表示．
高考总复习（ 高考总复习（文、理）
【典例3】
解答下列问题：
(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号； (2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)＞0，试指出θ所在象限． [分析] 显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论，其中还
应注意cosθ、sinθ本身的取值限制．
三角函数的定义
解题准备：角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的正 半轴重合， P(x， y)为角 α 终边上的一点， 且|OP|＝r(r>0)， 则有 sinα y x y ＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)． r r x
【典例 1】 已知 β 的终边在直线 y＝ 3x 上，用三角函数定 义求 sinβ 和 cotβ 的值．
sin2α＞0，若 2α 在第三象限，则 cos2α＜0 α π α α α kπ，kπ＋ .若 在第三象限，则 sin ＜0，cos ＜0. 又 ∈ 2 4 2 2 2
答案：B
第16页高考总复习（ 高考 Nhomakorabea复习（文、理）
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第12讲
解题准备：1.图象信息的选择题可全面地考查考生的数学素质和能
力，是近几年高考命题的热点，解决此类问题的关键是细致分析图象所
过的特殊点、特殊位置、从左到右图象变化的趋势及对称性、渐近性、 奇偶性、周期性等，快速搜寻有价值的信息，通过再加工，从而使问题
得以解决．
2．解决与函数图象有关的问题应注意数形结合思想的运用，“形 ”提供了直观性，“数”提供了准确性，数形结合才完美．
第20页
高考总复习（文、理）
ห้องสมุดไป่ตู้ 【典例2】
(1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图：
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(
)
A
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B
C
D
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x－1 (2)(2009· 广州)已知函数 f(x)＝ (a＞0 且 a≠1)， 在同一坐标系 a 中，y＝f 1(x)与 y＝a |x 1|的图象只可能是下图中的(
，D.
[答案] C
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类型三
函数图象的对称性
解题准备：函数 f(a± x)本身具有一定的抽象性，且它常与函数的 周期性、奇偶性等性质综合在一起考查，是历年高考、竞赛的热点问 题． 由本题可以总结得出如下结论： 若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(b－x)， a＋b 则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称；函数 y＝f(x＋a)与 y＝f(b－ 2 b－a x)的图象关于直线 x＝ 对称． 2
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高考总复习（文、理）
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⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图
象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第4讲
① 存 在 x1≠x2 ， 使 f(x1)≠f(x2) ； ② 对 任 意 的 x ， y∈R ， 有 f(x ＋ y) ＝ f(x)·f(y)． (1)求f(0)； (2)证明对任意的x∈R，f(x)>0恒成立．
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快解：(1)∵f(0＋0)＝f(0)·f(0)，∴f(0)＝0 或 f(0)＝1.若 f(0)＝0，则 存在 x≠0，使对任意的 x∈R 有 f(x＋0)＝f(x)·f(0)＝0，即 f(x)＝0，与 条件矛盾，∴f(0)＝1.
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5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念 、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简 单的实际问题．
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考情分析 函数与导数是近年来高考的重头戏，题型既有灵活多变的客观性 函数与导数是近年来高考的重头戏， 试题，又有具有一定能力要求的主观性试题， 试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，分值约占整个试卷的一半 纵观各省市的高考试卷，对函数的主干知识、 ．纵观各省市的高考试卷，对函数的主干知识、函数知识的综合应用以 及函数与方程思想等数学思想方法的考查， 及函数与方程思想等数学思想方法的考查，仍然是今年高考的重点内容 之一．函数试题的设计往往围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象 之一．函数试题的设计往往围绕几个基本初等函数和函数的性质、 应用等方面进行，考查函数知识与方程、数列、不等式、立体几何( 、 应用等方面进行 ， 考查函数知识与方程 、 数列 、 不等式 、 立体几何 今年高考的一个亮点)、解析几何等内容的综合问题， 今年高考的一个亮点 、 解析几何等内容的综合问题 ， 考查函数知识综 合应用，在考查函数知识的同时，加强对函数方程、分类讨论、 合应用，在考查函数知识的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结 合、等价转化等数学思想方法的考查． 等价转化等数学思想方法的考查．
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1＋sinα cosα 证法四：∵ － cosα 1－sinα cos2α－(1＋sinα)(1－sinα) ＝ cosα(1－sinα) cos2α－(1－sin2α) cos2α－cos2α ＝ ＝ ＝0， cosα(1－sinα) cosα(1－sinα) 1＋sinα cosα ∴ ＝ . cosα 1－sinα
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类型三
利用诱导公式化简求值
解题准备：三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供 了有利的方法及依据，在做题过程中，应熟练掌握“奇变偶不变，符号 看象限”的原则．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的基本步骤是： 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ 0°～360°的角的三角函数→锐角三角函数
3cos(－α)＝－ 2
cos(π＋β)，且 0＜α＜π，0＜β＜π，求 α 和 β 的值．
[解析] 已知条件可转化为 ① ②
sinα＝ 2sinβ 3cosα＝ 2cosβ
由① 2＋② 2，得 sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2 即 sin2α＋3(1－sin2α)＝2 1 ∴sin α＝ 2
第十八讲 同角三角函数基本关系与诱导公式
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回归课本 1.同角三角函数关系式是由三角函数的定义推导出来的，各 恒等式“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义． 2．同角三角函数关系式 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 倒数关系 tanα·cotα＝1 sinα 商数关系 tanα＝ cosα
1－cos4α－sin4α 化简 . 1－cos6α－sin6α
【典例 1】
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[解析]
由于表达式中涉及到的函数都是同一个角 α 的三角
函数，故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简，又注意到 次数比较高，故考虑到降次． (sin2α＋cos2α)2－cos4α－sin4α 原式＝ (sin2α＋cos2α)3－cos6α－sin6α 2cos2α·sin2α 2 ＝ ＝ . 3cos2α·sin2α(cos2α＋sin2α) 3
解题准备：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角 函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小 正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式．
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【典例 4】
已知 sin(3π－α)＝
3π ＋β 和 2cos 2
(2)当 k＝2n(n∈Z)时， sin[(2n＋1)π＋θ]cos[(2n＋1)π－θ] 原式＝ sin(2nπ－θ)cos(2nπ＋θ) (－sinθ)(－cosθ) ＝ ＝－1. (－sinθ)cosθ 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
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sin[(2n＋2)π＋θ]cos[(2n＋2)π－θ] 原式＝ sin(2nπ＋π－θ)cos(2nπ＋π＋θ) ＝ sinθcosθ ＝－1. sinθ(－cosθ)
总之对任意 k∈Z，原式＝－1.
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[点评]
(1)掌握诱导公式，关键掌握函数名及符号，口诀“奇变
偶不变，符号看象限”． (2)k是奇数还是偶数，直接影响到用哪组诱导公式．
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类型四
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
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3．诱导公式产生的背景：将角的范围扩展到实数集，又给予三角 函数的定义后，由于在0°～90°间的角的三角函数值可以通过查表的 方式求得，因此需要用公式将任意角转化为0°～90°间的角． 设0°≤α≤90°，那么90°～180°间的角用α写成180°－α或90° ＋α，180°～270°间的夹角用α写成180°＋α或270°－α，270°～ 360°间的角用α写成360°－α或270°＋α，以上写成的这些角的终边与 α的终边可能不同，但它们的同名三角函数值只是符号上的差异，这给 我们解决问题带来了许多方便．
左边 ③比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”． 右边 ④分析法，从被证的等式出发，逐步地探求使等式成立的充 分条件，一直到已知条件或显然成立的结论为止，就可以判断原 等式成立．
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【典例 2】
1＋sinα cosα 求证： ＝ . cosα 1－sinα
2
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2 sinα＝± 2
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2 ∵0＜α＜π∴sinα＝ 2 π 3π ∴α＝ 或 4 4 π 3π 把 α＝ ，α＝ 分别代入②，得 4 4 3 cosβ＝ 2 3 cosβ＝－ 2
π 5π 又 0＜β＜π∴β＝ 或 β＝ 6 6 π π 3π 5π 因此 α＝ ，β＝ 或 α＝ ，β＝ . 4 6 4 6
答案：C
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类型一
利用同角三角函数的基本关系式化简、求值
解题准备：所谓化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能 的简单，也就是使项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可 能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
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cosα(1＋sinα) cosα 证法五：左边＝ ＝ 1－sinα (1－sinα)(1＋sinα) cosα(1＋sinα) 1＋sinα ＝ ＝ ＝右边． cosα 1－sin2α 证法六：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α， 1＋sinα cosα ∴ ＝ . cosα 1－sinα
第19页
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cos2α 证法三：左边＝ ， cosα(1－sinα) (1＋sinα)(1－sinα) 1－sin2α ＝ 右边＝ cosα(1－sinα) cosα(1－sinα) cos 2α ＝ ， cosα(1－sinα) ∴左边＝右边，∴等式成立．
第20页
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类型二
利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式
解题准备：三角恒等式的证明方法灵活多样，可总结如下： ①从一边开始直接推证等于另一边，一般地，如果所证等式一边 比较繁而另一边比较简时，多采用此法即由繁到简． ②左右归一法，即将所证恒等式左、右两边同时推导变形，直接 推得左右两边等于同一个式子．
答案：A
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79 4．cos－ π的值为( 6
) 3 C．－ 2 3 D. 2
1 A．－ 2
1 B. 2
79 79 π π 解析：cos－ π＝cos π＝cos13π＋ ＝－cos ＝－ 6 6 6 6
3 ，故 2
选 C.
答案：C
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5．(2011·天津十二区县重点学校联考)下列各选项中，与 cos2008°最接近的数是(
3 A. 2 2 B. 2
)
3 C．－ 2 2 D．－ 2
解析：cos2008°＝cos(360°×6－152°)＝cos152°， 3 故 cos2008°≈cos150°＝－ . 2
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考点陪练 5 1.α 是第四象限角，tanα＝－ ，则 sinα＝( 12 A. 1 5 B．－ 1 5 C. 5 13 D．－ 5 13 )
sinα 5 解析：由 tanα＝ ＝－ ，sin2α＋cos2α＝1，及 α 是第四象 12 cosα
sinα＝－ 5 ， 13 限角，解得 12 cosα＝ . 13
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【典例 3】
求值：(1)sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1；
sin[(k＋1)π＋θ]cos[(k＋1)π－θ] (2) (k∈Z)． sin(kπ－θ)cos(kπ＋θ)
第25页
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[解析] ＝2.
(1)原式＝sin2α－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋ cos2α＋1
第14页
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[点评]
利用同角三角函数的基本关系式化简三角表达式除从正面
直接利用公式外，还要特别注意公式的逆用以及变形应用，常用到的两 个技巧为：一是“1”的代换：平方关系的代换即1＝sin2α＋cos2α；倒数 关系的代换即1＝tanα·cotα；二是“弦切互化”：把三角表达式中的弦 函数化为切函数或者把切函数化为弦函数，究竟用哪种变化，由具体问 题决定．
答案：C
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cot(α－4π)·cos(α＋π)·sin2(α－3π) 3．化简 的结果是( tan(π＋α)·cos3(－α－π) A．1 B．0 C．－1 1 D. 2
)
cotα(－cosα)(－sinα) 2 cotα 2 解析：原式＝ ＝ tan α＝1. tanα tanα(－cosα)3
第15页
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tanα 探究：已知 ＝－1，求下列各式的值： tanα－6 (1)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α； 2cosα－3sinα (2) . 3cosα＋4sinα
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