初中试题如何确定圆的条件
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
初中数学知识点精讲精析 确定圆的条件 (2)
5.4 确定圆的条件学习目标1．了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。
了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
2．培养学生观察、分析、概括的能力；培养学生动手作图的准确操作的能力。
知识详解1. 过三点的圆。
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
探索1：作圆，使它经过已知点A由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个。
探索2：作圆，使它经过A，B两点。
要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。
所以只要以线段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。
探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。
作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。
因此符合这样条件的点是唯一的，而半径也是唯一的。
所以这样的圆是唯一的。
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。
2. 三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。
如图，⊙O为△ABC的外接圆，O为△ABC的外心，△ABC是⊙O的内接三角形。
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部。
（2）“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。
以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。
【典型例题】例1. 下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．例2. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内例3. 如图所示．△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小是（）A．56°B．62°C．28°D．32°【答案】B【解析】如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=28°，∴∠OAB=∠OAB=28°，∴∠AOB=124°，∴∠C=62°．【误区警示】易错点1：确定圆的条件1.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．易错点2：勾股定理求半径2.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为（）A．4B．3.25C．3.125D．2.25【答案】C【解析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．【综合提升】针对训练1. 已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8．如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．6＜r＜10B．8＜r＜10C．6＜r≤8D．8＜r≤102. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块3. 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，∠AOC=130°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．100°1.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10．故选A．2.【答案】B【解析】第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．3.【答案】C【解析】在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理，得∠E=65°；∵四边形ABCE内接于⊙O，∴∠ABD=∠E=65°．课外拓展几何学发展简况“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。
圆的前提条件
圆的前提条件
圆是一个几何图形，它有一些前提条件，包括以下几点：
1. 圆心：圆的中心被称为圆心，圆心是确定圆的位置的点。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段被称为半径，半径的长度决定了圆的大小。
3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段被称为直径，直径是圆中最长的线段，并且直径的长度是半径的两倍。
4. 相等的曲率：圆上任意一点的曲率都是相等的，这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的。
5. 闭合曲线：圆是一个闭合的曲线，它没有起点和终点，圆上的任意一点都与其他点相连。
6. 平面图形：圆是一个平面图形，它存在于二维空间中。
这些前提条件是定义一个圆所必需的。
只有满足这些条件，才能确定一个几何图形为圆。
圆的这些特性使得它在数学、几何、物理学等领域中都有广泛的应用。
初中试题如何确定圆的条件
初中试题如何确定圆的条件(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--确定圆的条件学习目标：1.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．3.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．活动过程：活动一：情境创设已知一个破损的齿轮，要求在原齿轮的基础上补一个完整的轮胎。
活动二：新知探究㈠过点作圆1.作圆的关键是什么？2．做一做⑴作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆(在下面作图区域作出图形)⑵作圆，使它经过已知两点A、B．你是如何作的你能作出几个这样的圆其圆心的分布有什么特点与线段AB有什么关系为什么(在下面作图区域作出图形)⑶作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的你能作出几个这样的圆(作出图形)，若三个点在同一条直线上呢？为什么？第⑴题作图区第⑵题作图区第⑶题作图区由上可知，过已知一点可作个圆．过已知两点也可作个圆，过不在同一条直线上的三点可以作个圆，并且只能作个圆．的三个点一个圆．㈡三角形的外接圆有关定义221.由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的，这个三角形叫这个圆的，外接圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的外心2．实践操作：已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，请根据课本125页的作法用直尺和圆规分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？请画图来看看.结论:锐角三角形的外心在三角形的部，直角三角形的外心在，钝角三角形的外心在三角形的部．活动三: 尝试应用1．如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？2.判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）3.钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，活动四：拓展提升经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能什么情况下不能33活动五、课堂小结:请你小结一下今天的收获归纳总结1．探索过一点、两点的圆、不在同一直线上的三点确定一个圆；2．了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念；3．学会过不在同一直线上的三点作圆.44。
九年级数学确定圆的条件
3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A ．a=15，b=12，c=1B ．a=5，b=12，c=12C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=14 3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ）A ．到三边距离相等B ．到三个顶点距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。
初中数学知识点精讲精析 确定圆的条件
3·4确定圆的条件1.线段垂直平分线的性质及作法． 线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等．作法：如右图，分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 长为半径画弧，在AB 的两侧找出两交点C 、D ， 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线， 直线CD 上的任一点到A 与B 的距离相等． 2.作圆的关键：由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．3.过一点、两点、三点做圆：（1）要经过已知点A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点A 所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图(1)．(2)已知点A 、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A 、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB 的垂直平分线上．在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A 、B 两点的距离相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A 、B 、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．，就是由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．不在同一直线上的三个点确定一个圆．1.外接圆、内接三角形：作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．这个三角：形叫这个圆的内接三角形．2.外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．外心是三角形三边中垂线的交点1.已知锐角三角形、直角-三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点?【解析】如下图．锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 O 为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．2.如下图，CD 所在的直线垂直平分线段AB ．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?【解析】因为A 、B 两点在圆上，所以圆心必与A 、B 两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．所以圆心在CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．3.如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM=120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 与△ABC 的外接圆交于F,连接FB 、FC,且FC 与AB 交于E.(1)判断△FBC 的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB 、AC 和FA 的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.DEFCMBA【解析】(1)△FBC是等边三角形,由已知得:∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,∴△FBC是等边三角形.(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB.4.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).【解析】(1)在残圆上任取三点A、B、C。
3.5确定圆的条件
5、如图，CD所在的直线垂直平分线段AB， 利用这样的工具，最少使用多少次，就可 以找到圆形工件的圆心？为什么？
6、如图一块残缺的圆形木盖， 现要重新制作一块与原来一样大小 的圆形木盖，你是如何制作的？请 在课本P149 第3题图中操作。
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心, 在圆弧上任取三点,作其 连线段的垂直平分线,其 交点即为圆心.
三角形与圆的位置关系
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角 形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况
A A
●
A
●
O C
O C B
●
O C
B
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
┐
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
练习提高
1、判断题： ①经过三点一定可以作圆。 ②任意一个三角形有且只有一个外接圆。 ③三角形的外心是三角形三边中线的交点。 （×） （√ ） （×）
的 .EF是AC的
垂直平分线 .
（3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离 相等 .
三角形与圆的位置关系
• 因此,三角形的三个顶点确定一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边垂直 平分线的的交点,叫做三角形的外 心.
●
A O C
B
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
北师大版九年级下册
3.5 确 定 圆 的 条 件
情景引入
小明不慎把家里的 圆形玻璃打碎了， 其中四块碎片如图 所示，为了配到与 原来大小一样的圆 形玻璃，小明带到 商店去的一块玻璃 应该是哪一片?
类比引入
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明是数学中一个重要的部分，它涉及到许多基本的数学概念和技巧。
以下是一些与圆有关的计算和证明的解题技巧：
1. 确定圆心和半径：在解决与圆有关的问题时，首先需要确定圆心和半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆周的距离。
知道这些信息可以帮助你找到圆的方程，或者解决与圆有关的问题。
2. 使用圆的性质：了解并利用圆的性质是解决与圆有关问题的关键。
例如，圆的对称性、切线的性质、弦的性质等。
3. 利用勾股定理：勾股定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助你解决与圆有关的问题。
特别是当涉及到弦、切线、半径等时，勾股定理是非常有用的。
4. 使用圆的方程：圆的方程是解决与圆有关问题的另一个重要工具。
通过圆的方程，你可以找到圆心和半径，或者找到与圆有关的特定点的坐标。
5. 利用三角函数：在解决与圆有关的问题时，三角函数是非常有用的工具。
例如，当涉及到角度、弧长等时，三角函数可以帮助你找到解决方案。
6. 利用几何推理：几何推理是解决与圆有关问题的另一个重要技巧。
通过观察和推理，你可以找到解决问题的方法。
7. 练习和反思：最后，要提高解决与圆有关问题的能力，你需要不断地练习和反思。
通过练习，你可以熟悉各种问题类型和解题技巧，而反思则可以帮助你发现自己的弱点并加以改进。
希望这些技巧能帮助你更好地理解和解决与圆有关的问题！。
确定圆的条件(2种题型)-2023年新九年级数学(苏科版)(解析版)
确定圆的条件（2种题型）1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；一．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．二．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．一．确定圆的条件（共5小题）1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等C．过三点可以画一个圆D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2016秋•太仓市校级期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．3．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．4．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；③直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件，难度不大．5．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．二．三角形的外接圆与外心（共20小题）6．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（）A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．7．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝°．【分析】连接BG，由折叠的性质得出BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，由正方形的性质得出AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，证明Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），证出∠ABG＝∠FBG，求出∠GBE ＝∠ABC＝45°，则可得出答案．【解答】解：连接BG，∵将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠＝∠BFE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AB＝BF，∵BG＝BG，∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），∴∠ABG＝∠FBG，∴∠ABG＝∠FBG，∴∠GBE＝∠ABC＝45°，∵四边形GBEO为圆内接四边形，∴∠EBG+∠EOG＝180°，∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．【解答】解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．9．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（）A．三条高的交点B．内心C．外心D．重心【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．即凳子应放在△ABC的外心上．故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，求得∠BAE＝15°，则所对的圆心角等于30°，所以的度数为30°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形与圆、正方形及等边三角形的性质、圆周角定理、弧的度数等知识，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解题的关键．11．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（）A．6B．C．3D．【分析】先根据“等边对等角”得出∠C的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠D的度数，从而得出直径BD的长度，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，∴，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝6，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：．故选：D．【点评】本题主要考查了“等边对等角”，“同弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角为直角”，“在直角三角形中，30°角所对的边为斜边的一半”，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（）A．外心在三角形外B．外心在三角形内C．外心到三角形三边距离相等D．外心到三角形三个顶点距离相等【分析】三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质即可确定．【解答】解：根据三角形外心的定义，可知三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．13．（2023•邗江区校级二模）如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为．【分析】过点A作⊙O的直径AE，连接CE，根据圆周角定理，可证得△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质，可得m＝xy，再由x+y＝6，即可得m＝﹣（x﹣3）2+9，根据二次函数的性质，即可求解．【解答】解：如图：过点A作⊙O的直径AE，连接CE，则AE＝m，∠ACE＝90°，∠ABD＝∠AEC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°，∴△ABD∽△AEC，∴，∴，∴m＝xy，∵x+y＝6，∴y＝6﹣x，∴m＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当x＝3时，m取最大值，最大值为9，故答案为：9．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得到m关于x或y的二次函数关系式是解决本题的关键．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是．【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD＝BC＝×4＝4，∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半径是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．15．（2021秋•海州区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于．【分析】连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，得到∠BCD＝90°，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根据含30°角直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠D＝∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴BD＝2BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2022•亭湖区校级模拟）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝4，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O 重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是．【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC 保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．【解答】解：如图3，连接OG．∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO＝AB＝半径，∴原点O始终在⊙G上．∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝，连接OC，则∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝，∴点C在与x轴夹角为∠AOC如图4，C1C2＝OC2﹣OC1＝4﹣2＝2；如图5，C2C3＝OC2﹣OC3＝；∴总路径为：C1C2+C2C3＝＝，【点评】此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O 是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．【分析】（1）连接EM，DM，根据垂直定义可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，从而可得EM＝BM＝DM＝CM，即可解答；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，根据三角形的高是交于一点的可得AG⊥BC，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAH＝∠BCH＝90°，从而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四边形的判定可得四边形AFCH是平行四边形，从而可得CF＝AH＝6，最后在Rt △BAH【解答】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圆的半径长为5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．222222（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，解得：t＝4或﹣，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝4，∴c＝＝2，∴Rt△ACB外接圆的半径为1．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19．（2022秋•秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8B．4，10，10C．4，8，10D．6，8，10【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【解答】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠OBF＝∠ABC＝30°，∴OB＝＝＝，∴△ABC的外接圆的半径为；B、∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，∵AB＝AC＝10，∴＝，BD＝CD＝BC＝2，∴AE是⊙O的直径，AD＝＝＝4，∴∠ABE＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠EAB，∴△ADB∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴外接圆半径为；C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，解得BD＝，由勾股定理得，AD＝＝，∵AE为圆的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝，则外接圆半径＝，D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圆的半径为5，∴其外接圆半径最小的是A故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为．【分析】连接OC，OB，OD，根据圆周角定理得到△OCB是等边三角形，根据旋转的性质得到∠COD＝90°，根据勾股定理得到．【解答】解：连接OC，OB，OD，CD，∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴，∵△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，∴∠COD＝90°，根据勾股定理．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（2019秋•新北区校级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD ＝°．【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．22．（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD ＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【分析】（1）ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO ＝∠OBC，于是得到结论；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB与△COB中，，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD与△DBO中，，∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴点O也是△DEF的外心．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（2022秋•惠山区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）利用换元法解方程即可解决问题；（2）利用换元法解方程可得c＝，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可解决问题．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，解得t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，即t2﹣4t﹣5＝0，解得t1＝5，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，∴c＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，代数式求值，高次方程，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．24．（2023•建邺区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D交BC于点E．过点D作DF∥BC，分别交AC于点G，⊙O于点F．（1）求证AC＝DF；（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF ＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可得出平行四边形DBCF，继而得出BC＝DF，又由AC＝BC，即可得答案；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可得出AF＝EF，再证△ACF≌△FDE（SAS），得出CF＝DE＝BD＝3，再证△ABC∽△EBD，得出＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC＝DF，∵AC＝BC，∴AC＝DF；（2）解：连接AE，AF，DE，EF，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠FEC，∵∠FAC＝∠FEC，∴∠FAC＝∠DFE，∵AC＝DF，∴△ACF≌△FDE（SAS），∴CF＝DE，∴DE＝BD＝3，∴∠B＝∠DEB，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∴∠B＝∠CAB＝∠DEB，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴＝，∴BE＝3.6．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为t（t﹣4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，解得：t＝5或﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c＝＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．【答案】A【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【答案】D【分析】根据圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，逐一进行判断即可．【详解】解：A、同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦的弦心距相等，选项说法错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，选项说法错误，不符合题意；D、弦的垂直平分线必经过圆心，选项说法正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，是解题的关键．在平面直角坐标系中，则ABC的外【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．5．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）下列命题中真命题的是（ ）A ．长度相等的弧是等弧B ．相等的圆心角所对的弦相等C ．任意三点确定一个圆D ．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识一一判断即可．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A 中命题是假命题，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B 中命题是假命题，不符合题意；C 、不共线的三点确定一个圆，故C 中命题是假命题，不符合题意；D 、外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及等弧、圆心与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ） A ．8，8，8B ．4，10，10C ．4，8，10D ．6，8，10 【答案】A【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【详解】A 、∵ABC 是等边三角形，设O 是外心，∴4,BF CF AF BC ==⊥，BE 平分ABC ∠，∴1302OBF ABC ∠=∠=︒， ∴cos30BF OB ==︒，∴ABC 的外接圆的半径为，。
初中数学圆的知识点及解题技巧
初中数学圆的知识点及解题技巧初中数学圆的知识点及解题技巧圆是初中数学中比较重要的一个知识点，也是中考、高考中常出现的题型。
在掌握圆的基本定义和性质之后，还需要掌握圆的重要应用，例如圆的切线和割线等。
下面我们来介绍一下初中数学圆的知识点及解题技巧。
一、圆的基本定义圆是一个平面上所有到一个固定点的距离都相等的点构成的图形。
这个固定点叫作圆心，图形中半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，在圆上的点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的基本性质1. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，也是圆上截取的任何弦中最长的一条。
2. 半径相等的圆互相重合，半径不等的圆不能重合。
3. 圆上的弧度等于它所对的圆心角的度数，也就是说，圆上的角都是弧度制的度数。
4. 在同一圆周上的两个弧所对的圆心角相等。
三、圆的常见元素及解题技巧1. 弦和弧弦是连接圆上任意两点的线段，它截取了圆的一段弧。
弧与弦的关系是：它们所对的圆心角相等。
如果弦把一条弧分成了两段，则这条弧就叫做弦所对的弧。
2. 圆心角以圆心为顶点的角叫作圆心角，它所对的弧叫做圆心角所对的弧。
在同一圆周上，圆心角相等的两个弧所对应的圆弧角度相等。
3. 切线和割线切线和割线是圆和直线的关系。
切线是与圆相切的直线，它在切点处与圆的切点的交点垂直于半径。
而割线则是与圆交于两个不同点的直线，它截取了圆的两段弧。
4. 弧长和扇形弧是圆上的一段弯曲的线段，它所对应的圆心角叫做弧度。
弧分为弧度和弧长两个概念，所以我们经常说到“圆心角的弧度制度数”和“弧长”两个概念。
一个扇形是由一个半径和弧组成，它是一个圆的一部分。
解题技巧：1. 确定中心点和半径，计算圆的周长、面积和弧长。
2. 确定圆心角的度数和弧度制，计算弧长。
3. 确定弦或弦所对的角度数，计算该弦所对应的弧长。
4. 利用切线和割线所对应的角度来计算角度或者其所对应的弧度。
5. 利用圆与线段之间的距离公式来计算圆与线段之间的距离。
四、解题策略和技巧1. 熟记圆的基本定义和性质。
初中九年级数学 确定圆的条件 (2)
❖ 确定直线的条件:
●
●
A
B
经过两点只能作一 条直线.
确定圆的条
件
1.想一想,经过一点可以作几 个圆?经过两点,三点,…,呢？
●
●O
O ● ● ●O OA
●O
●O
●
A
●
O
B
O
●
O
(1)作圆,使它过已知点A.你能作出几个 这 (2样)作的圆圆,?使它过已知点A,B.你能作出几 个这样的圆?
情况
A
A
●O
●O
●O
B
┐
CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角 形斜边中点,钝角三角形的外心位 于三角形外.
三角形与圆的位置关系 练 习 2
P113
1．判断题． （1）经过三个点一定可以作 圆．（ ） （2）任意一个三角形一定有一个外接 圆，并且只有一个外接圆．（ ） （3）任意一个圆一定有一个内接三角 形，并且只有一个内接三角形．（ ） （4）三角形的外心到三角形各顶点的 距离相等. 填空题 1．经过平面上一点可以画 个圆；经 过平面上两点A、B可以作 个圆，这 些圆的圆心在 ． 2．过平面上不在同一直线上的三点可
选择题
1．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角 形 2．下列命题中的假命题是（ ） A．三角形的外心到三角形各顶点的距 离相等
B．三角形的外心到三角形三边的距离 相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的 中垂线上
❖ 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数 个你圆准.备如何(确定圆心,半径) 作圆？
确定圆的条件
课堂练习
A
A
A
B ●O
●O
●O
CB
CB C
(图一)
(图二) (图三)
当△ABC是锐角三角形时，外心O在 △ABC的内部；
当△ABC是直角三角形时，外心O在 Rt△ABC的斜边上；
当△ABC是钝角三角形时，外心O在 △ABC的外部．
2.3 确定圆的条件
课堂练习
选择题：
（1）三角形的外心具有的性质是（
（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距 离 相等 ．
2.3 确定圆的条件
探索
2．如果三点 A、B、C 在同一
条直线上，能否作圆？
A
B
C
如果三点 A、B、C 在同一条直线定圆的条件
总结
结论 不在同一条直线上的三点确定一个圆．
2.3 确定圆的条件
活动一
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
垂直平分线EF，交MN
M
C 于点O；
3．连接OB．
4．以O为圆心，OB
为半径作圆．
⊙O就是所求作的圆．
2.3 确定圆的条件
想一想
1．三角形有多少个外接圆? 2．三角形的外心如何确定？它到 三角形三个顶点的距离有何关系? 3．圆有几个内接三角形?
2.3 确定圆的条件
想一想
1．三角形有一个外接圆． 2．三角形的外心是三边垂直平分线的 交点，它到三角形三个顶点的距离相等． 3．圆有无数个内接三角形．
初中数学 九年级(上册)
2.3 确定圆的条件
2.3 确定圆的条件
请你想办法
考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆 形瓷器碎片，你能帮助考古学家画出这个碎片所在 的整圆，以便于进行深入的研究吗？
考点13 确定圆的条件(解析版)
2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点13确定圆的条件【知识点梳理】确定圆的条件1.经过一个已知点能作无数个圆2.经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；3.不在同一直线上的三个点确定一个圆.4.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．①C．①D．①【答案】A【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据三角形外接圆的圆心的确定方法知第①块可确定半径的大小．【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点睛】考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．2．已知O的半径为6cm，点P在O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】①①O的半径为6cm，点P在①O上，①OP=6cm．故选：C．【点睛】考查了点与圆的位置关系：设①O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外①d＞r；点P在圆上①d=r；点P在圆内①d＜r．3．O的直径为10cm，圆心O到点A的距离为6cm，则点A与O的位置关系是（）A．点A在O外B．点A在O上C．点A在O内D．无法确定【答案】A，点在圆上，d＜r，点在【分析】由点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r圆内，可得答案．【详解】解：O的直径为10cm，∴O的半径为5cm，圆心O到点A的距离为6cm，而6＞5，∴点A在O外，故选：.A=，【点睛】考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r 点在圆上，d＜r，点在圆内，是解题的关键．4．在ABC中，①C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与①A的位置关系是（）A．在①A外B．在①A上C．在①A内D．不能确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．【详解】解：由勾股定理得：3,AC===①AC=半径=3，①点C与①A的位置关系是：点C在①A上，故选：B．【点睛】考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外5．下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；①三角形有且只有一个外接圆；①平分弦的直径垂直于弦；①过三点有且只有一个圆．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.【详解】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；①在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；①三角形有且只有一个外接圆，故正确；①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；①过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；故是真命题的是①，故选：A.【点睛】考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.6．如图，在等边①ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为①ABC内一点，且①BPD ＝90°，则线段PE的最小值为（）A．2B．2C．4D．8【答案】C【分析】以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EF①AB于点F，在Rt①AEF中，①A＝60°，AE＝6，①AF＝3，EF＝在Rt①OEF中，EF＝OF＝5，①OE＝①PE＝4，即线段PE的最小值为4，故选：C．【点睛】考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．7．已知①ABC的外接圆①O，那么点O是①ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【答案】C【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.【详解】已知①O是①ABC的外接圆，那么点O一定是①ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.8．下列说法正确的是（）A．经过三个点一定可以作一个圆B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧D．任意一个三角形有且只有一个外接圆【答案】D【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】①经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆，①A错误，①在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较，①B错误，①当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆，①C错误，①任意一个三角形有且只有一个外接圆，①D正确．故选D．【点睛】考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；①在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；①以点O为圆心，OA为半径作O；①分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；正确的操作步骤是（）A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①【答案】B【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，①这块玻璃镜的圆心是①ABC三边垂直平分线的交点，①正确的操作步骤是①①①①故选：B．【点睛】考查垂径定理的应用．10．下列语句中，正确的是A．同一平面上三点确定一个圆B．菱形的四个顶点在同一个圆上C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D．三角形的外心到三角形三边的距离相等【答案】C【分析】根据确定圆的条件，三角形的外心的定义，以及圆内接四边形的对角互补的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A选项：同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故选项A错误；B选项：菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故选项B错误；C选项：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，是外心定义，故选项C正确；D选项：三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故选项D错误；故选C.【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件，掌握三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件是解题的关键.11．如图①，若BC是Rt①ABC和Rt①DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图①，①ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图①中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．12．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径所在的直线；①经过三点可以确定一个圆；①弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；①平分弦的直径垂直于弦；①三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据对称轴的概念、过三点的圆、弧、弦、圆心角的关系定理、三角形的外心的概念、垂径定理判断即可．【详解】解：圆的对称轴是直径所在的直线，①正确；经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，①错误；在同圆或等圆中弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，①错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，①正确；故选B．【点睛】考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题13．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____【答案】（﹣2，﹣1）【分析】根据外心的定义作图即可．【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．①点A的坐标为（﹣3，2），①点O的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键．14．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．【答案】5个【分析】连接AB、BC，然后分别作AC、AB的垂直平分线，进而可作①ABC的外接圆，然后根据图形可求解．【详解】如解图，连接AB、BC，先作AC，AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA 为半径作圆．格点与圆相交的有8个点．除A，B，C三点外，还有5个点．故答案为5个．【点睛】考查圆的作图，熟练掌握圆的尺规作图是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系x O y中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么①ABC的外接圆的圆心坐标为____．【答案】(5，5)【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．【详解】①B(0，3)，C(3，0)，①在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，①A(0，7)，B(0，3)，①点E纵坐标为5，①由图可得，E(5，5)．故答案为：(5，5)．【点睛】考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．16．如图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋转翼的一端与点D重合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端则与点C重合。
初三数学圆的解题技巧 一般都采用待定系数法
初三数学圆的解题技巧
一、确定圆心位置
确定圆心的位置是解题的第一步，通常根据题目给出的条件，通过分析、推理和计算来确定圆心的位置。
二、确定半径长度
确定半径的长度也是解题的重要步骤之一。
通常可以通过题目给出的条件或者利用已知的圆心和圆上一点的距离来计算半径的长度。
三、使用待定系数法
在解题过程中，我们常常需要设立一些未知数来解决问题，这就是待定系数法。
在解决圆的题目时，我们可以通过设立未知数来表示一些未知的量，然后通过已知条件建立方程来求解这些未知数。
四、应用切线的性质
切线性质是解决圆的题目时的一个重要知识点。
在解题过程中，我们可以通过分析切线的性质，结合已知条件来解决问题。
例如，切线与半径垂直的性质可以用来证明某些几何关系或者求解某些未知量。
五、熟练掌握圆的基础性质
熟练掌握圆的基础性质是解决圆的题目的基础。
在解题过程中，我们需要根据圆的基础性质来分析问题、推导结论。
例如，圆的对称性、圆的周长和面积的
计算公式等都是解题时常用的知识点。
综上所述，初三数学圆的解题技巧包括确定圆心位置、确定半径长度、使用待定系数法、应用切线的性质和熟练掌握圆的基础性质等方面。
通过不断练习和总结，我们可以提高自己的解题能力，更好地掌握圆的解题技巧。
初中数学知识点精讲精析 确定圆的条件
第四节确定圆的条件要点精讲一、确定圆的条件过一个点可以作无数个圆；过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂直平分线上；过在同一条直线上的三个点不能作圆；过不在同一直线上的三个点可确定一个圆.二、三角形的外接圆及外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意：1.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；2.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部.三、圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆的内接平行四边形是矩形；圆的内接梯形是等腰梯形.相关链接与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆.典型分析1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=700，则∠BOD=（）A. 350B. 700C. 1100D. 1400【答案】D【解析】根据圆的内接四边形外角等于内对角求出∠A=∠DCE=70°，再根据同弧所对圆心角等于圆周角一半的圆周角定理，可求∠BOD=2∠A=140°.故选D.中考案例1.（2012内蒙古包头）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A.相交B.外切C.外离D.内含【答案】B.【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米.∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切.故选B.针对训练1.已知AB=10cm，以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5cm的点共有（）A.无数个B.1个C.2个D.4个2.已知半径为4的圆O与直线l没有公共点，那么圆心O到直线l的距离d满足（）A.d=4B.d＞4C.d＜4D.d≤43.给出下列四个判断：（1）线段是轴对称图形，它只有一条对称轴；（2）各边相等的圆外切多边形是正多方形；（3）一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；（4）已知方程ax2+bx+c=0中，a、b、c是实数，且b2-4ac＞0，那么这个方程有两个不相等的实数根.其中不正确的判断有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，已知O的半径OA长为5，弦AB长为8，C是AB的中点，则OC的长为（）A.3B.6C.9D.105.如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=（）A.150°B.135°C.115°D.120°6.我们知道，五星红旗上有五颗五角星，每一颗五角星有五个相等的锐角（如图），每个锐角等于（）A.30°B.36°C.45°D.60°7.高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于（）A.11°B.17°C.21D.25°8.已知下列命题：①相交的两圆的公共弦垂直平分连心线；②正多边形的中心是它的对称中心；③平分弦的直径垂直于弦；④不在同一直线上的三个点确定一个圆.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案1.【答案】C【解析】以AB为直径作圆，那么到AB的距离等于5cm的点在两条与AB平行到AB的距离为5的直线上，而这两条直线与圆的交点只有两个.故选C.2.【答案】B【解析】∵圆O与直线l没有公共点，∴直线l与⊙O相离.∴d＞4.故选B.3.【答案】D【解析】（1）线段有两条对称轴，即：线段的垂直平分线，线段所在的直线，故（1）错误；（2）圆外切菱形各边相等，但菱形不是正多边形，故（2）错误；（3）根据题意，所给条件为“SSA”，不能判断三角形全等，不能确定为平行四边形，故（3）错误；（4）先确定a≠0，才能用一元二次方程的判别式，故（4）错误；不正确的判断有四个，故选D.4.【答案】A【解析】由垂径定理得OC⊥AB，根据勾股定理得OC=3.故选A.5.【答案】D【解析】△ABC是正三角形，∴∠ACB=60°，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°.故选D.6.【答案】B【解析】因为正五边形的中心角为360÷5=72°，所以每个锐角等于72÷2=36°.故选B.7.【答案】C【解析】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等, 360°÷17≈21°.故选C.8.【答案】A【解析】①应是相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，错误；②奇数边的正多边形不是中心对称图形，谈何对称中心，错误；③此弦不能是直径.错误；④这是确定圆的定理，正确.故选A.扩展知识外接圆的作图方法即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）以线段为例，可以看作是三角形一边.分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线.。
确定圆的条件
小结与归纳
◆用数量关系判断点和圆的位置关系。 ◆不在同一直线上的三点确定一个圆。 ◆求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、 等腰三角形的外接圆半径。 ◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。
小结：
课后日记： 今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
点
能
A
作经
无过
数一 个个
你怎样画这个圆? 圆 已
知
经过两个已知点A、B能 确定一个圆吗?
经过两个已知点 A、B能作无数个圆
经过两个已
知点A、B所作的
圆的圆心在怎样的
A
B 一条直线上?
它们的圆心都在线段AB 的中垂线上。
确定圆的条件
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
②若∠ACB=60°，AB=6cm， ∠ABC, ∠BAC 均为锐角，问半径至少多少时，可以遮住这个洞？
③若∠ACB=120°，AB=7cm，问半径 至少多少时，可以遮住这个洞？
典型例题
如图，已知等边三角形ABC中，边长为 6cm，求它的外接圆半径。
A
E O
B
C
D
1、如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，C90
A
A
A
●O
●O
●O
B
┐
CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
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确定圆的条件
学习目标：
1.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
3.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
活动过程：
活动一：情境创设
已知一个破损的齿轮，要求在原齿轮的基础上补一个完整的轮胎。
活动二：新知探究
㈠过点作圆
1.作圆的关键是什么
2．做一做
⑴作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆(在下面作图区域作出图形)
⑵作圆，使它经过已知两点A、B．你是如何作的你能作出几个这样的圆其圆心的分布有什么特点与线段AB有什么关系为什么(在下面作图区域作出图形)
⑶作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的你能作出几个这样的圆(作出图形)，若三个点在同一条直线上呢为什么
第⑴题作图区第⑵题作图区第⑶题作图区由上可知，过已知一点可作个圆．过已知两点也可作个圆，过不在同一条直线上的三点可以作个圆，并且只能作个圆．
的三个点一个圆．
㈡三角形的外接圆有关定义
1.由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的，这个三角形叫这个圆的，外接圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的外
心
2．实践操作：已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，请根据课本125页的作法用直尺和圆规分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点请画图来看看.
结论:锐角三角形的外心在三角形的部，直角三角形的外心在，钝角三角形的外心在三角形的部．
活动三: 尝试应用
1．如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心
2.判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）
3.钝角三角形的外心在三角形（）
（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.填空：（1）是⊙O的_________三角形；
（2）⊙O是的_________圆，
活动四：拓展提升
经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能什么情况下不能
活动五、课堂小结:请你小结一下今天的收获
归纳总结
1．探索过一点、两点的圆、不在同一直线上的三点确定一个圆；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念；
3．学会过不在同一直线上的三点作圆.。