回归直线方程—最小二乘法
回归直线方程是否有关的概率
回归直线方程是否有关的概率回归分析是统计学中一种用于探究自变量和因变量之间关系的分析方法。
在回归分析中，我们通常会得到一个回归方程，用来描述自变量和因变量之间的关系。
这个回归方程通常是一个直线方程，也称为直线回归方程。
直线回归方程可以表示为：Y = a + bX，其中Y是因变量，X是自变量，a是截距，b是斜率。
直线回归方程的斜率b表示自变量X每变化一个单位时，因变量Y相对应变化的量。
而直线回归方程的截距a表示当自变量X为0时，因变量Y 的取值。
回归方程的确定通常需要通过最小二乘法来进行。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来确定回归方程的方法。
残差是每个数据点的实际观测值与回归方程预测值之间的差异。
最小二乘法通过调整回归方程的斜率和截距，使得残差的平方和最小，从而得到最佳的回归方程。
在回归直线方程的确定中，我们通常会关注回归方程的拟合程度，即回归方程对数据的拟合程度。
回归方程的拟合程度通常通过R方来衡量，R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对数据的拟合程度越好。
回归直线方程的确定与概率也是密切相关的。
在回归分析中，我们通常会对回归方程的显著性进行检验，以确定回归方程是否能够准确地描述自变量和因变量之间的关系。
回归方程的显著性检验通常是通过t检验或F检验来进行的。
在回归方程的显著性检验中，我们通常会计算回归方程的p值。
p值表示在零假设成立的情况下，观察到的数据或更极端数据的概率。
如果回归方程的p值小于显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝零假设，认为回归方程是显著的，能够准确描述自变量和因变量的关系。
因此，回归直线方程的确定与概率是有关的。
通过回归方程的显著性检验，我们可以确定回归方程的可靠性，从而确定回归方程是否能够准确描述自变量和因变量的关系。
在回归分析中，概率统计的方法能够帮助我们更好地理解回归方程的意义，以及回归方程的确定程度。
最小二乘法公式的多种推导方法
最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。
中学数学教师没有引起足够的重视。
在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。
下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。
给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。
设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。
方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。
普通最小二乘回归法
普通最小二乘回归法第1页普通最小二乘回归法普通最小二乘回归法（Ordinary Least Squares，OLS）是一种统计学方法，它把拟合直线的不确定性归入到残差的不确定性中，使拟合直线尽可能接近数据的偏差。
就是把一组样本数据，用最佳拟合函数来解释它，使参数矩阵的乘积最小化。
普通最小二乘回归法是一种简单的线性回归方法，它假设样本的特征之间没有相互关系，因此忽略了任何影响模型拟合程度的复杂性。
OLS的基本原理是通过最小化残差的平方来最小化总体模型预测的误差平方。
残差指观测值和预测值之间的差值。
普通最小二乘回归的模式是一个线性回归模型，它把数据表示为一个函数，数据拟合的效果要比最大似然法好得多。
普通最小二乘回归的优点1. 简单：能够用少量的步骤完成。
2. 快速：有算法可以用来更快地计算最小二乘回归。
3. 准确：可以更准确地预测数据。
4. 稳定：抗噪声能力较强。
第2页普通最小二乘回归的应用普通最小二乘回归是一种非常有用的数据拟合方法，它有很多应用领域，包括经济学、工程学、生物学、计算机科学、物理学等等。
1. 经济学：普通最小二乘回归经常被用来拟合研究经济问题，比如薪水、物价、汇率等数据。
2. 生物学：普通最小二乘回归可以用来拟合特定基因的表达水平与某种疾病的相关性等。
3. 计算机科学：可以用来判断计算机程序的性能和执行速度。
4. 工程学：用来估算各种物料的力学特性、汽车、飞机的性能等等。
普通最小二乘回归的缺点1. 拟合时关系必须是线性的：普通最小二乘法假定样本的特征之间的关系必须是一元或多元线性关系。
如果关系是非线性的，则模型效果可能不好。
2. 数据需要服从正态分布：最小二乘回归的假设之一就是数据服从正态分布，但在实际应用中常常会出现非正态分布的数据，这时最小二乘回归可能就不再有效了。
3. 方程解受多元共线数据的影响大：多元共线数据会严重影响方程解的收敛性，导致模型无法正确拟合。
“最小二乘法求线性回归方程”教学设计
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ “最小二乘法求线性回归方程”教学设计最小二乘法求线性回归方程教学设计一．内容和内容解析本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程后，解决好用数学方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式最小二乘法，有助于更好的理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行优劣评价是假设检验的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解最小二乘法思想，比较各种估算方法，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。
最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现。
而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估1 / 10算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞割裂；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
算法学习笔记——最小二乘法的回归方程求解
算法学习笔记——最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最近短暂告别⼤数据，开始进⼊到了算法学习的领域，这时才真的意识到学海⽆涯啊，数学领域充满了⽆限的魅⼒和乐趣，可以说更甚于计算机带给本⼈的乐趣，由于最近正好看到线性代数，因此，今天我们就来好好整理⼀下机器学习领域中的⼀个⾮常重要的算法——最⼩⼆乘法，那么，废话不多说，我们直接开始吧 !1. 最⼩⼆乘法介绍1.1 举例现实⽣活中，我们经常会观察到这样⼀类现象，⽐如说某个男的，情商很⾼，⾝⾼180，家⾥很有钱，有房，有车，是个现充，结果就是他有好⼏个⼥朋友，那么从⼀个观测者的⾓度来看，该男性具备好多个特征(⽐如EQ值较⾼，⾝⾼较⾼，有钱对应的布尔值是True等等)，输出结果就是⼥友的个数；这只是⼀条记录，那么，当我们将观测的样本数扩⼤到很多个时，每个个体作为输⼊，⽽输出就是每个个体的⼥朋友数量；于是在冥冥之中，我们就能感觉到⼀个男性拥有的⼥友数量应该和上述特征之间存在着某种必然的联系。
然后可以这样理解，决定⼀个男性可以交到⼥友数量的因素有很多，那么，在那么多的因素之中，肯定有⼏项因素⽐较重要，有⼏项相对不那么重要，我们暂时将每个因素的重要程度⽤⼀个数值来表⽰，可以近似理解为权重，然后将每个权重和因素的数值相乘相加，最后再加上⼀个常数项，那么这个式⼦就可以理解为⼀个回归⽅程。
1.2 SSE,SST和SSR有了上述的基础，我们就可以做这样⼀件事，预先设定好⼀个⽅程(先简单⼀点，假设该⽅程只有⼀个⾃变量)：y = ax + b，a和b是我们要求出来的；那么，我们可不可以这样理解，每输⼊⼀个x，即能通过这个计算式输出⼀个结果y，如果输出的y和真实的y偏差是最⼩的，那么不就能说明这个⽅程拟合的是最佳的了吗？顺着这个思路，原问题就可以演变成⼀个求解当a和b各为多少时能使得这个偏差值最⼩的求最优化问题了，或者说我们的⽬标就是求使得SSE最⼩的a和b的值。
最小二乘法经验公式
最小二乘法经验公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法，可以用来找到最佳拟合直线或曲线，使得实际观测值与预测值之间的误差最小化。
它广泛应用于各个领域，例如经济学、统计学、工程学等等。
在这篇文章中，我们将详细介绍最小二乘法的核心原理、步骤和应用示例，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一方法。
首先，让我们来了解最小二乘法的核心原理。
最小二乘法的目标是找到一条直线或曲线，使得数据点与拟合线之间的误差平方和最小。
换句话说，最小二乘法在拟合曲线时，会尽量使得实际观测值与拟合值之间的偏差最小化，从而得到更加准确的预测结果。
那么，最小二乘法的具体步骤是什么呢？通常情况下，我们可以按照以下几个步骤进行：1. 收集数据：首先要收集一组相关的数据，通常会包括自变量（即解释变量）和因变量（即要预测的变量）。
这些数据可以通过实验、调查或者从现有数据集中获取。
2. 假设模型：根据收集的数据，我们要假设一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
这个模型可以是一个简单的线性方程，也可以是一个复杂的非线性方程。
3. 拟合曲线：接下来，我们要使用最小二乘法来找到最佳的拟合曲线。
具体做法是，将观测值代入模型中，计算出拟合值，并计算观测值与拟合值的差异，即残差。
我们希望这些残差的平方和最小，即最小化残差。
4. 参数估计：通过最小化残差来计算拟合曲线的参数估计值。
这些参数估计值代表着最佳的拟合曲线，能够最好地描述观测值和预测值之间的关系。
最小二乘法不仅仅是一个理论的计算方法，它还有着广泛的应用。
下面，我们将通过一个实际的应用示例来进一步说明其用处。
假设我们要研究一个产品的销售情况，我们可以收集到与销售相关的数据，如广告投入和销售额。
通过应用最小二乘法，我们可以建立一个拟合曲线，用来预测不同广告投入下的销售额。
这样一来，我们就可以根据实际的广告投入来预测销售额，从而制定更加科学合理的市场推广策略。
除了此例，最小二乘法还可以应用于其他领域，如经济学中的需求分析、金融学中的资产定价、统计学中的回归分析等等。
回归分析的基本原理及应用
回归分析的基本原理及应用概述回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并通过建立模型来预测未来的结果。
在本文中，我们将介绍回归分析的基本原理，并探讨其在实际应用中的具体作用。
回归分析的基本原理回归分析基于以下两个基本原理：1.线性关系：回归分析假设自变量与因变量之间存在线性关系。
换句话说，自变量的变化对因变量的影响可以通过一个线性方程来描述。
2.最小二乘法：回归分析使用最小二乘法来估计回归方程中的参数。
最小二乘法试图找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
回归分析的应用场景回归分析在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•经济学：回归分析用于研究经济中的因果关系和预测经济趋势。
例如，通过分析历史数据，可以建立一个经济模型来预测未来的通货膨胀率。
•市场营销：回归分析可以用于研究消费者行为和市场需求。
例如，可以通过回归分析来确定哪些因素会影响产品销量，并制定相应的营销策略。
•医学研究：回归分析在医学研究中起着重要的作用。
例如，通过回归分析可以研究不同因素对疾病发生率的影响，并预测患病风险。
•社会科学：回归分析可帮助社会科学研究人们的行为和社会影响因素。
例如，可以通过回归分析来确定教育水平与收入之间的关系。
回归分析的步骤进行回归分析通常需要以下几个步骤：1.收集数据：首先需要收集相关的数据，包括自变量和因变量的取值。
2.建立回归模型：根据数据的特点和研究的目的，选择适当的回归模型。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数值。
这个过程目的是找到一条最能拟合数据点的直线。
4.评估模型：通过分析回归模型的拟合优度和参数的显著性，评估模型的有效性。
5.预测分析：利用建立好的回归模型进行预测分析。
通过输入新的自变量值，可以预测对应的因变量值。
回归分析的局限性回归分析虽然在许多领域中有广泛应用，但也存在一些局限性：•线性假设：回归分析假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最小二乘法OLS和线性回归
1
本章要点
最小二乘法的基本原理和计算方法
经典线性回归模型的基本假定
BLUE统计量的性质 t检验和置信区间检验的原理及步骤 多变量模型的回归系数的F检验 预测的类型及评判预测的标准 好模型具有的特征
2
第一节
最小二乘法的基本属性
一、有关回归的基本介绍
金融、经济变量之间的关系，大体上可以分 为两种：
（1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)，其中Y的 值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确定的。 （2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ，这里Y的 值不能由Xi（i=1,2….p）精确的唯一确定。
3
图2-1 货币供应量和GDP散点图
注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到 的是总体因变量的期望值
17
于是方程（2.7）可以写为：
ˆ ˆ ˆ yt xt ut
和残差项（
（2.9）
总体y值被分解为两部分：模型拟合值（
ˆ u t ）。
ˆ y）
18
3.线性关系 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数， 比如，y= x。 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个线 性函数，它可以不是变量x的线性函数。 2 比如，y= x 就是一个线性回归模型， 但 y x 则不是。
(一) 方法介绍
本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）;
最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应该 使各点到直线的距离的和最小，也可表述为距 离的平方和最小。
假定根据这一原理得到的α、β估计值为 、 ， ˆ yt 。 xt ˆ ˆ ˆ 则直线可表示为
232回归直线方程—最小二乘法-PPT精品文档
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27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
散 y 0 . 5 7 7 x 0 . 4 8 点 图
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
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年 龄 脂 肪
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？Fra bibliotek方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
最小二乘法的斜率误差
最小二乘法的斜率误差
最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，通常用于线性回归问题，其中我们试图找到一条直线，以最小化观测数据点与拟合直线之间的误差的平方和。
在这个背景下，斜率误差指的是拟合直线的斜率参数估计的误差。
具体来说，最小二乘法的目标是找到一条直线的方程y = mx + b，其中m 表示斜率，b 表示截距，使得观测数据点(x_i, y_i) 到拟合直线的距离（垂直距离）的平方和最小。
这个距离可以表示为：
误差= Σ(y_i - (mx_i + b))^2
其中Σ表示对所有数据点求和。
斜率m 的估计值通过最小化上述误差来确定。
斜率估计值m 的误差通常使用标准误差来表示。
标准误差是m 估计值的标准偏差，它表示m 估计值与真实斜率之间的偏差。
标准误差可以使用下面的公式来计算：
标准误差= sqrt(Σ(y_i - (mx_i + b))^2 / (n - 2))
其中n 是数据点的数量。
标准误差越小，表示拟合直线越好地拟合了数据，而标准误差越大，表示拟合直线与数据之间的误差较大。
在实际应用中，标准误差可以用来评估回归模型的质量，帮助确定模型是否对数据进行了良好的拟合。
较小的标准误差通常表示较好的拟合，而较大的标准误差可能表示拟合质量较差。
最小二乘法确定回归方程是指各观察点距直线纵向距离平方和最小
最小二乘法确定回归方程是指各观察点距直线纵向距离平方和最小在回归分析中，我们经常面临的问题是如何根据一组自变量和因变量的观测数据，找到一个最佳的回归方程，以最好地拟合这些数据。
最小二乘法就是一种常用的方法，通过最小化误差的平方和来选择最佳的回归方程。
具体来说，最小二乘法的目标是寻找一条直线，使得各观测点到直线的纵向距离平方和最小。
假设有一组自变量 x_i 和相应的因变量 y_i (i = 1, 2, ..., n)，我们希望找到一条回归直线 y = a + bx，使得观测数据的残差最小。
残差是观测点的实际值 y_i 与回归方程预测值 a + bx_i 之间的差异，可以表示为 e_i = y_i - (a + bx_i)。
最小二乘法的目标是最小化所有残差的平方和，即最小化S = Σ(e_i^2)。
为了找到最小二乘法的解，我们需要计算回归系数a和b的估计值。
首先，我们需要计算自变量和因变量的均值，即x̄和ȳ。
然后，我们可以使用以下公式来估计回归系数:b=Σ((x_i-x̄)(y_i-ȳ))/Σ((x_i-x̄)^2)a=ȳ-b*x̄其中，Σ表示求和符号，x_i和y_i分别表示观测数据中的第i对数据，x̄和ȳ是自变量和因变量的均值。
通过计算回归系数 a 和 b 的估计值，我们就可以建立回归方程 y = a + bx。
这条回归直线将极小化观测点到直线纵向距离的平方和，也就是最小二乘法的目标函数 S。
在实际应用中，最小二乘法的结果需要通过一些统计指标来评估拟合程度和方程的可信度。
常见的统计指标包括残差平方和、回归平方和、判定系数和标准误差等。
总之，最小二乘法是一种通过最小化观测点到回归直线的纵向距离平方和来确定回归方程的方法。
它是回归分析中常用的优化技术，广泛应用于数据拟合和模型建立任务中。
通过最小二乘法，我们可以找到最佳的回归方程，使得观测数据的误差最小化。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告1. 引言最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于求解线性回归问题。
本实验旨在通过使用最小二乘法，从一组给定的数据点中拟合出一条最优的直线。
本报告将详细介绍实验的步骤和思路。
2. 实验步骤2.1 数据收集首先，我们需要收集一组数据点作为实验的输入。
可以通过实地调查、采集历史数据或利用模拟工具生成数据集。
为了简化实验过程，我们假设已经收集到了一组包含 x 和 y 坐标的数据点，分别表示自变量和因变量。
2.2 数据可视化在进行最小二乘法拟合之前，我们先对数据进行可视化分析。
使用数据可视化工具（如Matplotlib），绘制出数据点的散点图。
这有助于我们直观地观察数据的分布特征，并初步判断是否适用线性回归模型。
2.3 参数计算最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
为了实现这个目标，我们需要计算直线的参数。
设直线的方程为 y = ax + b，其中 a 和 b 是待求的参数。
为了求解这两个参数，我们需要利用数据集中的 x 和 y 坐标。
首先，我们计算x 的均值（记作 x_mean）和 y 的均值（记作 y_mean）。
然后，计算 x 与 x_mean的差值（记作 dx）和 y 与 y_mean 的差值（记作 dy）。
接下来，我们计算直线的斜率 a，使用以下公式：a = sum(dx * dy) / sum(dx^2)最后，计算直线的截距 b，使用以下公式：b = y_mean - a * x_mean2.4 拟合直线通过上述步骤，我们得到了直线的斜率 a 和截距 b 的值。
现在，我们将利用这些参数将直线绘制在散点图上，以观察拟合效果。
使用绘图工具，绘制出散点图和拟合的直线。
直线应当通过散点的中心，并尽可能贴近这些点。
通过观察可视化结果，我们可以初步评估拟合的效果。
2.5 评估拟合效果为了定量评估拟合的效果，我们需要引入误差指标。
最常用的误差指标是均方误差（Mean Squared Error，简称MSE），定义如下：MSE = sum((y - (ax + b))^2) / n其中，y 是实际的因变量值，(ax + b) 是拟合直线给出的因变量值，n 是数据点的数量。
最小二乘法求b的两个公式
最小二乘法求b的两个公式数学问题一直以来都是人类追求的重点，而在数学中，最小二乘法是一种经典而重要的方法，可广泛应用于统计和计算机科学等领域，特别是在回归分析中。
在这种方法中，我们通常要用到两个公式来求 b，下面我们将分别介绍这两个公式。
最小二乘法的定义最小二乘法是一种寻找一条直线的方法，该直线的方程为 y = bx + a，使得所有数据点到这条直线的距离之和最小。
所谓所有数据点，指的是给定数据集中的所有点，距离是指点到直线的垂直距离。
在该方法中，b 定义为直线的斜率，a 定义为直线的截距。
公式一最小二乘法的第一个公式是这样定义的：b = (NΣxy - ΣxΣy) / (NΣx² - (Σx)²)其中，x 和 y 是我们要拟合的数据集，Σ 表示求和符号，N 是数据集的长度。
这个公式的用途是计算最小二乘法拟合直线的斜率 b。
可以看到，斜率b 受数据集的 x 值和 y 值影响，同时也受到数据集长度 N 的影响。
更具体而言，当数据点越多、数据值偏离越大时，b 的结果越显著。
公式二最小二乘法的第二个公式是这样定义的：b = Σ(x - ̄x)(y - ̄y) / Σ(x - ̄x)²其中，x 和 y 是要拟合的数据集， ̄x和 ̄y分别是 x 和 y 的平均值。
这个公式的作用是通过计算每个数据点和平均值的偏差来计算斜率 b。
这个公式的一个重要特点是不需要计算数据集的长度 N，因此使用该公式可以避免一些繁琐的计算。
不过需要注意的是，当数据点数量较少时，公式二的结果有时会比公式一的结果更加不稳定，也就是误差会更大。
最小二乘法的应用及局限性最小二乘法被广泛地应用于数据分析、建模和预测，因为它是一种简单而有效的方法，能够帮助我们从数据中获取重要的信息。
然而，最小二乘法也有其局限性。
首先，最小二乘法要求数据点服从线性分布，即要求数据点之间存在线性关系。
如果数据点间的关系是非线性的，则最小二乘法的拟合结果可能不准确。
线性回归最小二乘法公式
线性回归最小二乘法公式线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习中的回归分析方法，旨在通过拟合一个线性方程来预测因变量与自变量之间的关系。
最小二乘法是一种最常用的线性回归方法，它寻找一条直线，使所有数据点到这条直线的距离之和最小。
假设有n个数据点，表示为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x为自变量，y为因变量。
线性回归的目标是找到一条直线y = mx + b，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
最小二乘法的基本思想是，通过对每个数据点的误差的平方求和，来定义一个损失函数，然后通过最小化这个损失函数来确定最优的拟合直线。
步骤如下：1. 建立线性模型：y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
2. 用该模型预测因变量y的值：y_hat = mx + b。
3. 计算每个数据点的误差：e = y - y_hat。
4.将所有数据点的误差的平方求和，得到损失函数：L=Σe^25.最小化损失函数：通过对m和b的偏导数求零，得到以下两个式子：∂L/∂m = -2Σx(y - (mx + b)) = 0∂L/∂b = -2Σ(y - (mx + b)) = 06.解以上两个方程，得到最优的斜率m和截距b：m = (nΣxy - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2)b=(Σy-mΣx)/n7. 使用得到的最优斜率m和截距b，构建出最优的线性模型：y =mx + b。
最小二乘法可以通过解析解或者数值方法求解。
解析解适用于数据量较小的情况，它通过直接求解最优化的数学公式来得到结果。
而数值方法适用于数据量较大，无法直接求解的情况，通过迭代方法逐步逼近最优解。
最小二乘法有几个关键的假设：1.线性关系假设：认为自变量x和因变量y之间存在线性关系。
2.去噪假设：数据点的误差e服从均值为0的正态分布，即误差项是一个很小的随机值。
3.独立性假设：各个数据点之间是相互独立的，彼此之间没有相关性。
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年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点 作直线 ps：使直线 两侧 的点的 个数基本相 同。
法二
法三
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的距离。
最小二乘法的公式的探索过程如下：
1.设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
2.设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待 定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到
Yi=bxi+a（i=1，2，…，n） y 3.它与实际收集得到的yi之间偏差是
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
最 小 二 乘 法
求回归方程的关键
——如何使用数学方法来刻画“从整体上看，
各点到此直线的距离最小”。
假设两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1, y1),(x2, y2),...... (xn, yn)
这样通过求此式的最小值而得到回 归直线的方法，即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小
的方法叫做最小二乘法.
根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出
n
n
xi x yi y
xi yi nx y
b i1 n
2
xi x
i 1 n
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算xi 与 yi 的乘积,再
求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
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年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
xi 2
2
nx
i 1
i 1
a y bx
n
Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n
Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n
(xi x)( yi y)
b 1 n
( xi x)2
1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
Q y1 bx1 a2 y2 bx2 a2 yn bxn a2
yi bxi a
(x1,y1)
(xi，yi) (xn，yn)
(x2，y2)
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/15
Q y1 bx1 a2 y2 bx2 a2 yn bxn a2
思考：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中你体会 到了什么？ y 0.577x 0.48
存在样本 点不在直线上
x=27时，y=15.099% x=37时，y=20.901%
可利用回归方程 预测不同年龄段 的体内脂肪含量 的百分比。
（2012山东临沂二模，20,12）假设关于某设备的使 用年限x和所有支出的维修费用y（万元），有如下 表的统计资料：
（xi ，yi ）
yi-Yi
yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）
（x1，y1）
这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。
（x2，y2）
(x1 ,y1)
(xi ,yi)
(x2 ,y2)
yi-(bxi+a)
因此用 表示各点到直线y=bx+a的“整体距离”
散
回
点 图
归 直
线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线
求出回归直线的方程
我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量
那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点 作直线 ps：使直线 两侧 的点的 个数基本相 同。
根据最小二乘法公式，
利用计算机可以求出
其回归直线方程
回
归
散
y 0.577x 0.48 点
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
法二
法三
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
由于绝对值使得计算不方便，在实际应用 中人们更喜欢用
Q y1 bx1 a2 y2 bx2 a2 yn bxn a2
yi bxi a
(x1,y1)
(xi，yi) (xn，yn)
(x2，y2)
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即
点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
使用年 限x
2
3
4
5
6
维修费 用y
2.23Biblioteka 85.56.57.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求： （1）线性回归直线方程 （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？