王向东数学实验课本(可编辑)2-5

实验五 二元函数的图形【实验目的】1． 了解二元函数图形的制作。

2． 空间曲面等高线的制作。

3． 了解多元函数插值的方法。

4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】画出函数22y x z +=的图形,并画出其等高线。

【实验准备】1．曲线绘图的MATLAB 命令MATLAB 中主要用mesh,surf 命令绘制二元函数图形。

可以用help mesh, help surf 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 画出函数22y x z +=的图形,不妨将区域限制在]3,3[]3,3[),(-⨯-∈y x 。

用MATLAB 作图的程序代码为：>>clear;>>x=-3:0.1:3; %x 的范围为[-3,3] >>y=-3:0.1:3; %y 的范围为[-3,3]>>[X,Y]=meshgrid(x,y); %将向量x,y 指定的区域转化为矩阵X,Y >>Z=sqrt(X.^2+Y.^2); %产生函数值Z >>mesh(X,Y,Z)结果如图5.1。

图5.1是网格线图,如果要画完整的曲面图,只需将上述的MATLAB 代码mesh(X,Y,Z)改为surf(X,Y,Z), 结果如图5.2图5.1 锥面图5.2 锥面要画等高线,需用contour,contour3命令.其中contour为二维等高线, contour3为三维等高线,如画图5.1的三维等高线, MA TLAB代码为：>>clear;>>x=-3:0.1:3;>>y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2);>>contour3(X,Y,Z,10) %画10条等高线>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis') %三个坐标轴的标记>>title('Contour3 of Surface') %标题>>grid on %画网格线结果如图5.3.图5.3 等高线如画图5.1的二维等高线, MATLAB代码为：>>clear; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sqrt(X.^2+Y.^2);>> contour(X,Y,Z,10)>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis')>>title('Contour of Surface') >>grid on结果如图5.4.图5.4 等高线如果要画1=z 的等高线，则用命令>>clear; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sqrt(X.^2+Y.^2); >> contour(X,Y,Z,[1 1])结果如图5.5。

图5.5 等高线练习1中，函数值22y x z +=可简单算出。

在有些情况下，函数值),(y x f z =不能简单算出。

这是因为x 和y 的值可能是非均匀间隔的甚至是随机分布的，也可能使用了不同的坐标系，比如非长方形的网。

出现这些情况时,MATLAB 中的函数griddata 就用来产生经查值后的均匀间隔数据以作图。

练习２ 二次曲面的方程如下d c z b y a x =++222222讨论参数c b a ,,对其形状的影响。

本练习的关键在于如何作出三维曲面图形，特别注意在给定y x ,值求z 时，若有开方运算，一是会出现虚数，二是对实数也有正负两个解。

为了使虚数不出现在绘图中，采用了一种技巧，就是将虚数都换成非数(NaN). MATLAB 代码为：>>a=input('a='); b=input('b='); c=input('c=');>>d=input('d='); N=input('N='); %输入参数，N 为网格线数目 >>xgrid=linspace(-abs(a), abs(a),N); %建立x 网格坐标 >>ygrid=linspace(-abs(b), abs(b),N); %建立y 网格坐标>>[x,y]=meshgrid(xgrid,ygrid); %确定N N ⨯个点的x,y 网格坐标 >>z=c*sqrt(d-y.*y/b^2-x.*x/a^2); u=1; %u=1，表示z 要取正值 >>z1=real(z); %取z 的实部z1>>for k=2:N-1 %一下7行程序的作用是取消z 中含虚数的点 >>for j=2:N-1>>if imag(z(k,j))~=0 z1(k,j)=0; end>>if all(imag(z([k-1:k+1],[j-1:j+1])))~=0 za(k,j)=NaN; end >>end >>end>>surf(x,y,z1), hold on %画空间曲面>>if u==1 z2=-z1; surf(x,y,z2); %u=1时加画负半面>>axis([-abs(a),abs(a), -abs(b), abs(b), -abs(c), abs(c)]); >>end>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') >>hold off运行程序，当20,1,3,4,5=====N d c b a 时的结果见图5.6, 当15,1,3,4,5=====N d c b i a 时的结果见图5.7, 当10,1.0,3,4,5=====N d c i b i a 时的结果见图5.8,图5.6 椭球面图5.7 双曲面图5.8 椭球双曲面练习3列出求空间两任意曲面的交线的程序。

两空间曲面方程连立起来，就形成一个空间曲线的方程。

这个曲线能满足两个曲面的方程，因而也就是这两个空间曲面的交线。

显示这两个曲面并不难，用两次mesh语句即可,但要显示其交线，必须先找到各个交点，因为数值计算得到的是离散点，难以找到两个曲面上完全重合的点，本程序采用了设置门限的方法，只要在同一网格点处，两曲面的z之之差小于设定门限，就认为它是交点，门限值设定几次要才能定的好。

下面MA TLAB程序给出两个空间曲面的交线（当然是空间曲线），给出不同的z1,z2方程可绘出不同的空间曲线和其交线。

>>[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); %设定计算和绘图的定义域网格>>z1=x.^2-2*y.^2; %第一个曲面方程>>z2=2*x-3*y; %第二个曲面方程>>mesh(x,y,z1); hold; mesh(x,y,z2); %再一个图上同时画出两个曲面>>r0=(abs(z1-z2)<=0.1); %求两曲面z坐标差小于0.1的网格矩阵>>zz=r0.*z1; yy=r0.*y; xx=r0.*x; %求这些网格上的坐标值，即交线坐标>>plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),yy(r0~=0),'*'); %画出这些点 >>colormap(gray), hold off %不用彩色而用灰度表示曲面执行此程序得出的曲面见图5.9.图5.9 两曲面的交线如果想改表曲面方程，可以在程序中改动第二行和第三行。

但这样的程序还不是通用的，最好程序运行时能向用户提问，允许用户输入曲面方程。

此时就要用到字符串功能和eval 命令。

s1=input(‘输入第一个方程’,’s ’);在原来的z1方程语句处改为z1=eval(s1);类似地输入第二个方程。

此外，应使用户能给出定义域和间隔。

这实现起来比较简单，只要把第一句改为[x,y]=meshgrid(xmin:dx:xmax,ymin:dy:ymax);其中，xmin ，dx ，xmax ，ymin ，dy ，ymax 可由程序给出屏幕提问，让用户用键盘输入。

当然，这样又增加了运行时的麻烦，所以编程时要找一个折衷的选择，要有一定的灵活性又不能太麻烦，应恰到好处。

练习4 用平行界面法讨论由方程222y x z -=构成的马鞍面形状。

我们只需对练习3种的程序作如下修改：定义域网格改为[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10, -10:0.2:10);第一个曲面方程改为z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;第二个曲面（平面）方程改为与z 州正交的水平面，z2=a;为了画z2的曲面图，应使得z2与x,y 有同样的维数，故写为z2=a*ones(size(x));a 可由用户输入,另外用subplot 把曲面和交线分别画在两张图上,并注意把两个分图取成同样比例,便于比较.因为z 的范围增大,必须把两曲面交点处z1和z2的容差放大到1.>>[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10, -10:0.2:10); %设定计算和绘图的定义域网格 >>z1=(x.^2-2*y.^2)+eps; %第一个曲面方程>>a=input('a=(-50<a<50)'); z2=a*ones(size(x)); %第二个曲面方程(平面) >>subplot(1,2,1),mesh(x,y,z1);hold on;mesh(x,y,z2); %分别划出两个曲面 >>v=[-10,10,-10,10,-100,100]; axis(v), grid %确定第一个分图的坐标系 >>colormap(gray), hold off, %取消彩色,改为灰度 >>r0=abs(z1-z2)<=1; %求两曲面z 坐标差小于1的网格>>zz=r0.*z2; yy=r0.*y; xx=r0.*x; %求这些网格上的坐标值，即交线坐标>>subplot(1,2,2),plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'x');%画出交线>>axis(v), grid %使得第二个分图取第一个分图的坐标系执行此程序,并输入a=8,得到的三维图形及交线见图5.10, 当a=-20,得到的三维图形及交线见图5.11,可见从上而下,其横切面交线发生了很大的变化.图5.10 按兴面的水平截面(a=8)图5.11 按兴面的水平截面(a=-20)练习5已经知道曲面上一些点的数据(2,2,80), (3,2,82), (4,2,84), (0,3,79), (2,3,61), (3,3,65), (0,4,84), (1,4,84), (4,4,86), 将这些数据用二元函数插值的方法画出完整的曲面。