高三下学期一模考试数学(理)试卷
河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（理科）命题人： 审题人： 说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（ ）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹； （2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
所以，，，分布列如下
0
1
2
期望……5分
（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容.
……2分
19.（1）因为，面底面，面面，所以面，所以，因为平面面，所以，，所以面，过点做的平行线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，由得，所以……5分
1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．集合 ，则的子集个数为（）
（A）1个（B）（C）4个（D）8个
3．有下列四个说法：
命题“”的否定是“”；
“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
命题“已知，若或，则”的逆命题为真命题；
在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为；
得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以
……6分
（2） ，
所以 ，
，
所以……6分
18.（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以，列联表如图
栏目1
栏目2
合计
家长
25
5
30
学生
15
15
30
合计
40
20
60
，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。……5分
（A）（B）
（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题含解析
2021年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．【解析】：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．【点评】：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）集合A={x|y=x}，B={y|y=logx，x∈R}，则A∩B等于（）2A． R B．∅ C． [0，+∞） D．（0，+∞）【考点】：对数函数的值域与最值；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由A中y=x，得到x≥0，即A=[0，+∞），由B中y=log2x，得到y∈R，即B=R，则A∩B=[0，+∞），故选：C．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y=3与x=1且y=2的条件关系即可．若x=0，y=3时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2，不成立，即充分性不成立．若x=1，y=2时，则x+y=3成立，即必要性成立．即x+y=3是x=1且y=2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，逆否命题的等价性判断x+y=3是x=1，y=2的充分不必要条件是解决本题的关键．4．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解析】：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．（5分）函数y=的一段大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象；函数的单调性与导数的关系．【分析】：根据函数解析式，分析函数的性质，四个选项中与此性质不符的即可排除．【解析】：解：根据函数为奇函数，排除B、C两项；又，所以，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，D不正确．故选：A．【点评】：本题考查识图能力，属中档题．一般采用排除法求解．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B 两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分两类：第一类，A，B只有一个选中，第二类：A，B同时选中，利用加法原理即可得出结论．【解析】：解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种．共有：+=1140（种）．故选：C．【点评】：本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0 B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．x+y＞0【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：可对2x+3y＞2﹣y+3﹣x变形成2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y，所以可想着设f（x）=2x﹣3﹣x，求导之后容易判断出f（x）在R上为增函数，所以便由f（x）＞f（﹣y）得到x+y＞0．【解析】：解：设f（x）=2x﹣3﹣x，f′（x）=2x ln2+3﹣x ln3＞0；∴f（x）在R上单调递增；又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；∴f（x）＞f（﹣y）；∴x＞﹣y；∴x+y＞0．故选：D．【点评】：考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，单调性定义的运用，注意正确求导．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D． 2【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解析】：解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故选：D．【点评】：本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f （x）到直线的距离是解决本题的关键．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．【解析】：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．【点评】：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．【点评】：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13．【考点】：一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：由不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）可得ax2+bx﹣2＞07的解集为（﹣2，﹣），从而求a，b．【解析】：解：不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）；ax2+bx＞2可化为ax2+bx﹣2＞0，故﹣2﹣=﹣；﹣2•（﹣）=，解得a=﹣4，b=﹣9；故a+b=﹣13；故答案为：﹣13．【点评】：本题考查了绝对值不等式的求法及方程与不等式的关系，属于基础题．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量数量积运算及其性质即可得出．【解析】：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．【点评】：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解析】：解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．【解析】：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．【考点】：余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）由已知得BD=2，EA⊥ED，EA=ED=2，AD=2，由勾股定理得BD⊥AD，从而BD⊥平面AED，由此能证明BD⊥AE．（Ⅱ）取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面CDE的法向量和平面CDE的一个法向量，由此能求出平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC=CD=2，∴BD=2，同理EA⊥ED，EA=ED=2，∴AD=2，又∵AB=4，∴由勾股定理得BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE⊂平面ADE，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D（﹣，0，0），C（﹣2，，0），E（0，0，），=（﹣，，0），=（），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得平面CDE的一个法向量为=（1，1，﹣1），又平面ADE的一个法向量为=（0，1，0），设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P（B3）=0.2．设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，可得P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1），P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1），P（ξ=4）=P（A2）P（B2），P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2），P（ξ=6）=P（A3）P（B3）．即可得出分布列及其数学期望．【解析】：解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=1﹣0.4﹣0.5=0.1，P（B1）=0.5，P（B2）=0.3，P （B3）=1﹣0.5﹣0.3=0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）=P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A1）P（B1）=0.4×0.5=0.2，P（ξ=2）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，P（ξ=4）=P（A2）P（B2）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）=0.1×0.2=0.02．Eξ=0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02=2.5．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．【考点】：数列的求和；数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，从而，由，得2a n=a n+1，n≥2，从而数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，由此能求出a n，S n．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，从而由c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，得到c n=+n•2n﹣2，由此利用分组求和法和裂项求和法求出T n=，由此能求出当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【解析】：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a2，当n=2时，a1+a2=a3=1，∴，由，得a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1，n≥2，=2，n≥2，∵，∴数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，∴a n=，∴．（Ⅱ）由S n=2n﹣2，得b n=log2S n=n﹣2，∵c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn=1+n（n+1）（n+2）•2n﹣2，c n=+n•2n﹣2，∴T n=+1×2﹣1+2×20+3×2+…+n•2n﹣2，令A===，令B=1×2﹣1+2×2+3×21+4×22+…+（n﹣1）•2n﹣12B=1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，﹣B=2﹣1+20+2+22+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1，B=（n﹣1），∴T n=+=，当n＞1时，＜2n+，即＜，∴n2+n﹣12＞0，（n+4）（n﹣3）＞0，n＞3，∴当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n=4．【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法、裂项求和法、构造法的合理运用．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，即可得出极值．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，对a分类讨论：当a=2时，当1＜a＜2时，当a＞2时，即可得出单调性；（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，利用导数研究其单调性即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）=﹣2x+3﹣=．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值=f（1）=2，f（x）极小值==．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）==，当a=2时，f′（x）=≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f（x）在上单调递增．当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）=f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）=，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）=（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P 异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出2•=，b=1，由此能求出椭圆E的方程；（Ⅱ）讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求范围；（Ⅲ）设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣），联立+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出•为定值1．【解析】：解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴2•=，b=1，a2﹣b2=c2，解得a=，∴椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x=1，解得M（1，），N（1，﹣），•=﹣；MN的斜率存在时，设直线MN：y=k（x﹣1），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2+1﹣（x1+x2）]=（1+k2）•（+1﹣）=﹣=﹣∈（﹣1，﹣）．综上可得•的取值范围是（﹣1，﹣]；（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y=k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2=0，∴x C•x D=，∴x D==，设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y=（x﹣），A、D、Q三点共线，则有，∴，∴y′+=，∴=，又∵yD=k（xD﹣），∴==k﹣，将x D=代入，得：=，∴y′=﹣，∴•=（0，﹣k）•（x'，﹣）=1．即•为定值1．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的灵活运用．25525 63B5 掵35794 8BD2 诒Y:O20252 4F1C 伜22399 577F 坿R25610 640A 搊E35433 8A69 詩}x7。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
2019-2020年高三下学期一模考试数学(理)试题含解析
2019-2020年高三下学期一模考试数学（理）试题含解析、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的1•复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）A.B.C.D.【知识点】复数乘除和乘方I 试题解析】----(1+iXl-O 2所以z 的共轭复数为1+i ，即对应点为（1,1 ）。
故答案为：A 【答案】A2.已知集合，集合，则为（ ）A.B.C.D.【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 所以 故答案为：C【答案】C域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39,由此可估计的值约为（）A. B. C. D.【知识点】几何概型积分【试题解析】 表示阴影部分的面积 故答案为：D 【答案】D4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）A.B.C.D.【知识点】直线与圆的位置关系【试题解析】的圆心为（1，0），半径为1. 圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为 较长弧长对的圆心角为故弧长之比为 1:2 . 故答案为：A 【答案】A5.若的展开式中项系数为 20,则的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【知识点】均值定理二项式定理与性质 【试题解析】的通项公式为：令 12-3r=3，所以 r=3 .所以 "'~ J J. - -所以3.已知函数的部分图像如图所示, 向图中的矩形区域随机投出 100粒豆子，记下落入阴影区s 。
因为所以s=。
故答案为：C【答案】C6•下列四个判断：某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是和，某次数学测试平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（125）,（2,3.1）,（4,3.9）,（5,4.4），则回归直线必过点；已知服从正态分布，且，则其中正确的个数有（）A.0个B. 1个C.2个D. 3个【知识点】样本的数据特征变量相关对？：样本的中心点为（3，3. 475）,所以回归直线必过点（3, 3. 475）。
2021年高三下学期第一次模拟数学(理)试题
2021年高三下学期第一次模拟数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么P（AB）＝P（A）P（B）·球的表面积公式S＝球的体积公式V＝其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒（1）若复数(2＋a i)(3＋i) 的实部和虚部相等，则实数a 的值为（A）－1 （B）0（C）1 （D）2（2）不等式＞2 的解集是（A）{ x |＜x＜3 } （B）{ x | x＜或x＞3 }（C）{ x | x＞} （D）{ x | x＜}（3）下列命题中：①x∈R，x2－x＋≥0；②x∈R，x2＋2x＋2＜0；③函数y＝2－x是单调递增函数．真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）等差数列{a n} 的前n项和为，已知，，则的值是（A）24 （B）36（C）48 （D）72（5）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（理）（A）12种（B）18种（C）30种（D）35种（5）若，则的值是（文）（A）（B）－（C）（D）－（6）已知函数f (x) (0≤x≤1) 的图象是一段圆弧（如图所示），若，则（A）＞（B）＝（C）＜（D）与的大小无法判断（7）已知平面，，，直线l，m，点A，在下面四个命题中正确的是（A）若l，m∩＝A，则l与m必为异面直线；（B）若l∥，l∥m，则m∥；（C）若l，m，l∥，m∥，则∥；（D）若⊥，∩＝m，∩＝l，l⊥m，则l⊥．（8）已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为（A）(，（B）(，)（C）(1，3) （D）(－1，＋1时速（km/h ） 001 0020030440 50 60 70 80 俯视图34数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。
2021-2022年高三下学期三月一模考试数学(理)试题含答案
2021-2022年高三下学期三月一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x=≥==+，则等于（）A． B． C． D．2、设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（）A． B． C． D．3、如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．34、已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（）5、某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）A．90% B．95% C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表：6、下列结论中正确的是（）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则； ④等差数列的前n 项和为，若，则A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7、如图，在中，点在AC 上，23,33,5,sin 3AB BD BC BD ABC ⊥==∠=，则的长为（ ） A ． B ．4 C ． D ．58、某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．9、已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P 到轴距离为，P 到的距离为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10、对于实数定义运算“”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、的解集是12、运行右面的程序框图，如果输入的的值在区间内， 那么输出的的取值范围是13、若变量满足约束条件203260x y x y y k +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，且的最小值为4，则14、对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式：12334567810910111213141521⎡⎡⎡++=⎣⎣⎣⎡⎡⎤⎡⎤⎡++++=⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎡⎡⎡⎡⎤++++++=⎣⎣⎣⎣⎦15、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心，以AB 为半径的圆弧上一点， 若(0)AC xDE y AP xy =+≠，则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则；②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧的中点；③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧的三等分点，则； ④若点E 与B 重合，点P 为上任一点，则动点的轨迹为双曲线的一部分。
高三数学下学期一模考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期高三年级一模考试数学〔理科〕试卷 第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 1.全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，那么RAB =〔〕A.{1,1}- B.{0,1} C.{0,1,5}D.}1,0,1{- 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合B,再求RAB 得解.【详解】由题得B={x|x≥2或者x≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<，所以{0,1}RA B =.应选：B【点睛】此题主要考察集合的交集和补集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.假设复数z 满足(1i)|1|z +=+，那么在复平面内z 的一共轭复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z和z,再求出在复平面内z的一共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iz ii i-===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的一共轭复数对应的点为〔1,1〕，在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模和复数的除法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3.某单位一共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A.25B.35C.2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组一共有人,这六人中抽取两人的根本领件一共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，根本领件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，应选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2021年第一季度五GDP情况图，那么以下陈述中不正确的选项是〔〕A.2021年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是.B.与去年同期相比，2021年第一季度的GDP总量实现了增长.C.去年同期的GDP总量不超过4000亿元.D.2021年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个.【答案】D 【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，根据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有均第一；均第四，一共2个.故D 错误. 应选D.点睛：此题考察条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点,直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点,那么||||1PQ PF +的最小值为()A.1B.25+C.45+D.122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+d ≥〔d 为点2F 到渐近线0x -=的1=〕，即1PF PQ +的最小值为122+；应选D.点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔合理转化到另一个焦点间的间隔. 6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐〕二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB 〔〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】 以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，那么(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成〔锐)二面角为6π， 2||1cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tan AB AMB BM ∴∠== 3AMB π∴∠=．【点睛】此题考察角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．7.函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如下列图，那么a ω可取〔〕 A.2πB.πC.2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Zπϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，应选B ．点睛：此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围． 8.九章算术中描绘的“羡除〞是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，那么该羡除的体积为〔〕 A.20B.24C.28D.32【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为： 由三视图可得：,4,2,6EFBC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的间隔为4d =，,AD BC 间的间隔为3.如以下列图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,FAGHB E IDCJ--为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，那么棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形. 又()114123632F AGHBE IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=；1243122FGH EIJV -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.应选A.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规那么几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,那么c b b c +的最大值是〔〕A.8B.6C. D.4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高〞容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时获得最大值4，应选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵敏转化边和角之间的关系，利用根本不等式或者函数方法求最值.在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设12>0x x ，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔〕A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】 先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍， 所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π.应选：D【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，那么ABC ∆的边长是〔〕A.8B.10C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】 设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||2MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan θ=,所以直线AB 的方程为1)y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，.应选：C ．【点睛】此题考察抛物线的方程与性质，考察抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．假设存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，那么实数a 的取值范围为〔〕A.⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B.)+∞C.)+∞D.,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先构造函数()()212Tx f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()Tx 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()Tx 在R 上单调递减.因为存在()()0112x xf x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12x hx g x x e a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()hx 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=， 所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a>，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()hx 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得a ≥，所以a 的取值范围为,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，应选D. 【点睛】此题主要考察函数与方程的综合问题，难度较大.第二卷〔一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】【分析】先画出可行域，利用目的函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕： 由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A 〔12,12〕，由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3zx y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】此题考察了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义．110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，那么2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0==．考点：三角函数的化简求值．()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间间隔，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数； ②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，那么“曲率〞(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间的“曲率〞(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，假设·(,)1t A B ϕ<恒成立，那么实数t 的取值范围是(,1)-∞【答案】①③ 【解析】 试题分析：因当时，，曲率为0，是常数,故①是正确的；又因当时,,故(,)A B k k A B ABϕ-=,所以②是错误的；因，故,所以(,)A B k k A B ABϕ-=,故③正确成立；因,故(,)A B k k A B ABϕ-=,所以,所以④是错误的.故应填①③。
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江西省新余市第一中学高三下学期一模考试数学试题含解析
2025届江西省新余市第一中学高三下学期一模考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t =2．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为A ．1322i -B ．3122i +C ．1322i +D ．3122i - 3．函数()cos 22x x x f x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤5．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅6．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.367．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 8．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56π B ．34π C ．23π D ．2π 9．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e-=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ） A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -10．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92-D ．92+11．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．11312．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A ．55 B ．53 C ．255 D ．35二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省乐山市普通高中2022届高三毕业班下学期第一次高考调查研究考试(一模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前四川省乐山市普通高中2022届高三毕业班下学期第一次高考调查研究考试(一模)数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z•i＝1+i，则＝（）A．2 B．C．D．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：∵z•i＝1+i，∴＝，∴，∴．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A ∩B＝（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝[﹣1，3]，则A∩B＝{1，2，3}．故选：B．3．（5分）已知向量＝（1，），＝（﹣，），则||＝（）A．B．C．4 D．8【分析】根据题意，求出向量﹣2的坐标，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（1，），＝（﹣，），则﹣2＝（1+，﹣1），则有|﹣2|＝＝2，故选：A．4．（5分）桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程．在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式F c＝，，：其中F c，S c，I c一分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；c一承台底面处水平土的地基系数；h c一c一承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度．在设计某一桥梁时，已知I c＝2.0＝300，则S c＝（）×108，ccA．3.8×108B．2.4×106C．2.0×106D．1.2×108【分析】先由得到h c＝200，再由，即可求解．【解答】解：由题意可得，2.0×108＝，解得h c＝200，．。
高三数学下学期一模考试试卷理含解析试题
2021—2021学年度第二学期南开区高三年级模拟考试〔一〕数学试卷〔理工类〕考前须知：1.答第I卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.参考公式：椎体的体积公式，其中表示椎体的底面积，表示椎体的高一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合，，那么〔〕.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解出集合,再根据集合的交集运算得到结果.【详解】集合，，根据集合的交集的运算得到.故答案为：A.【点睛】这个题考察了集合的交集运算，属于根底题.2.设变量，满足约束条件，那么目的函数的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据不等式组画出可行域，再结合图像得到目的函数的最值.【详解】首先根据不等式组画出可行域，可行域如下列图阴影局部：目的函数化为：，根据图像得到目的函数在点B处获得最大值，令,代入得到最大值为：-1.故答案为：B.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目的函数的几何意义，将目的函数进展变形；常见的类型有截距型〔型〕、斜率型〔型〕和间隔型〔型〕；(3)确定最优解：根据目的函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目的函数即可求出最大值或者最小值.3.执行如下图的程序框图，假设输入的a的值是3，那么输出的i=〔〕.A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，N，i的值，当M＞N时退出循环，输出i 的值即可．【详解】模拟执行程序框图，可得:a＝3，M＝100，N＝1，i＝1满足条件M＞N，M＝103，N＝3，i＝2满足条件M＞N，M＝106，N＝9，i＝3满足条件M＞N，M＝109，N＝27，i＝4满足条件M＞N，M＝112，N＝81，i＝5满足条件M＞N，M＝115，N＝243，i＝6不满足条件M＞N，退出循环，输出i的值是6．故答案为：C．【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i的值是解题的关键，是根底题．4.设，，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进展判断即可．【详解】解：假设a＝0，b＝1，满足a＜b，但〔a﹣b〕a2＜0不成立，假设“〔a﹣b〕a2＜0，那么a＜b且a≠0，那么a＜b成立，故“a＜b〞是“〔a﹣b〕a2＜0”的必要不充分条件，应选：B．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进展判断即可．5.函数为增函数的区间是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进展转化求解即可．【详解】,求的递增区间，等价于求的递减区间，由得得当k＝0时，，即函数的递减区间为，那么函数的单调递增区间为.应选：C．【点睛】此题主要考察三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决此题的关键．根据y=sin t和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.6.函数是奇函数，且在内是增函数，，那么不等式的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】易判断f〔x〕在〔-∞，0〕上的单调性及f〔x〕图象所过特殊点，作出f〔x〕的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f〔x〕在R上是奇函数，且f〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上也是增函数，由f〔-3〕＝0，得f〔﹣3〕＝﹣f〔3〕＝0，即f〔3〕＝0，作出f〔x〕的草图，如下图：由图象，得解得0＜x＜3或者﹣3＜x＜0，∴xf〔x〕＜0的解集为：〔﹣3，0〕∪〔0，3〕，应选：D．【点睛】此题考察函数奇偶性、单调性的综合应用，考察数形结合思想，灵敏作出函数的草图是解题关键．7.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，假设为线段的中点，且〔为坐标原点〕，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点，∴，那么为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴，即.∴双曲线的离心率为应选C.点睛：此题考察了椭圆和双曲线的定义和性质，考察了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．8.如图，在中，，，为上一点，且满足，假设的面积为，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，由三角形的面积为，可得，由，，三点一共线可知，以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如下图的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。
优质解析：河北省衡水中学2023届高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设命题甲:2210ax ax ++>地解集是实数集R ；命题乙:01a <<,则命题甲是命题乙成立地（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C 考点:必要不充分条件地判定.2.设,a b R ∈且0b ≠,若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数,则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b=【解析】A【解析】试卷分析:由题意得()30312223332233333()()()(3)(3)a bi C a C a bi C a bi C bi a ab a b b i +=+++=-+-,所以2330a b b -=,即223b a =,故选A.考点:复数概念及二项式定理地应用.3.等差数列{}n a 中,2n na a 是一个与n 无关地常数,则该常数地可能值地集合为（ ）A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】B【解析】试卷分析:由题意得,因为数列{}n a 是等差数列,所以设数列{}n a 地通项公式为1(1)n a a n d =+-,则21(21)n a a n d =+-,所以121(1)(21)n n a a n d a a n d +-=+-,因为2n na a 是一个与n 无关地常数,所以10a d -=或0d =,所以2n na a 可能是1或12,故选B.考点:等差数列地通项公式.4.ABC ∆中三边上地高依次为111,,13511,则ABC ∆为（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样地三角形【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,根据三角形地面积相等11113511a b c ⨯=⨯=⨯,所以可设13,5,11a b c ===,由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯,即(,)2A ππ∈,所以三角形为钝角三角形,故选C.考点:余弦定理地应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数,其导函数为()'f x ,且满足()()'20xf x f x +>,则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+地解集为（ ）A ．{}|2011x x >- B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<- D ．{}|20110x x -<<【解析】C考点:函数单调性地应用及导数地运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=地右焦点,P 是C 上一点,()2,1A -,当APF ∆周长最小时,其面积为（ ）A ．4B ．8C ．【解析】A考点:椭圆地定义地应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2--【解析】C【解析】试卷分析:由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+,所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-,故选C.考点:二项式定理地应用.8.如下图所示是一几何体地三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为2,侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且1AB BC ==,则异面直线PB 与CD 所成角地正切值是（ ）A ．1BCD ．12【解析】C考点:空间几何体地三视图及异面直线所成角地计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角地求法、以及空间几何体地三视图等知识地应用,着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想地应用,属于基础题,本题地解答中线将三视图转化为空间几何体,取AD 地中点E ,连接,,BE PE CE ,将CD 平移到BE ,根据异面直线所成角地定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角,在直角三角形PBE ∆中,即可求解角地正切值.9.某学校课题组为了研究学生地数学成绩和物理成绩之间地关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示:若数学成绩90分（含90分）以上为优秀,物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生地学生成绩与物理成绩有关系（ ）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95%参考数据公式:①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 地值地计算公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】B考点:独立性检验地应用.10.在一个棱长为4地正方体内,你认为最多放入地直径为1地球地个数为（ ）A ．64B ．65C ．66D ．67【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,底层可以16个,然后在底层每4个球之间放一个,第二层能放9个,依次类推,分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个,一共可放置1691691666++++=个,故选C.考点:空间几何体地机构特征.11.定义:分子为1且分母为正整数地分数成为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同地单位分数之和.如:1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++,依次类推可得:11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++,其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤,则21x y x +++地最小值为（ ）A ．232 B ．52 C ．87 D ．343【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,13,4520m n ==⨯=,则21111x y y x x +++=+++,因为1,1x m y n ≤≤≤≤,所以1,13y x ==时,21111x y y x x +++=+++有最小值,此时最小值为87,故选C.考点:归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理地应用,对于归纳推理是根据事物地前几项具备地规律,通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律,是一种特殊到一般地推理模式,同时着重考查了学生分析问题和解答问题地能力以及推理、计算能力,属于中档试卷,本题地解答中,根据式子地结构规律,得到,m n 地值是解答地关键.12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =地图像在4x π=-处相切,设()2x g x e bx a =++,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m （ ）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +【解析】D考点:利用导数研究曲线在某点地切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数地运用:求切线方程和判断函数地单调性,着重考查了函数地单调性地判定及应用、不等式地恒成问题地转化为函数地最值问题,属于中档试卷,通知考查了推理、运算能力和转化地数学思想方法地运用,本题地解答中根据题意先求得,a b 地值,得出函数()g x 地解析式,再判断函数()g x 地单调性与最值,把不等式地恒成转化为函数地最值问题,即可求解m 地取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每题5分,满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-地图像在点()()1,1A f 处地切线与直线320x y ++=垂直,执行如图所示地程序框图,输出地k 值是 .【解析】6考点:程序框图地计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中,已知点()0,1A 和点()3,4B -,若点C 在AOB ∠地平分线上,且2OC = ,则OC = .【解析】(【解析】试卷分析:由题意得,1,2OA OB == ,设OC 与AB 交于(,)D x y 点,则:1:5AD BD =,即D 分有向线段AB 所成地比为15,所以110(3)14)1355,11221155x y +-⨯+⨯==-==++,即13(,)22D -,因为2OC = ,所以2(OD OC OD=⨯= ,即点C地坐标为(.考点:向量地运算.15.如图,将平面直角坐标系中地纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后,构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中,点(),P x y 地坐标定义如下:过点P 作两坐标轴地平分线,分别交两轴于,M N 两点,则M 在Ox 轴上表示地数为x ,N 在Oy 轴上表示地数为y .那么以原点O 为圆心地单位圆在此斜坐标系下地方程为 .【解析】2210x y xy ++-=考点:圆地一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关地新定义地运算问题,对于新定义试卷,要紧紧围绕新定义,根据新定义作出合理地运算与变换,同时着重考查了转化与化归地思想方法地应用,属于中档试卷,本题地解答中,设出(,)P x y 在直角坐标下地坐标为11(,)P x y ',建立两个点之间地变换关系,代入单位圆地方程,即可曲解轨迹方程,其中正确得到两点之间地变换关系是解答地关键.16.已知ABC ∆地面积为S ,内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,且2sin C A 成等比数列,2213,218322b a c ac =≤+≤,地最小值为 .【解析】34考点:等比数列地应用；余弦定理及三角形地面积公式；导数地应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列地通项公式,余弦定理及三角形地面积公式、导数地综合应用,试卷有一点地难度,属于难题,着重考查了学生地推理、运算能力及转化与化归思想方法地应用,本题地解答中根据题设条件先得出c a =,在利用三角恒等变换和三角形地面积公式表示成三角形地面积,进而得到a 地取值范围,,利用导数研究其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知,12a =,且1234,3,2S S S 成等差数列.（1）求数列{}n a 地通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅,求数列{}n b 地前n 项和n T .【解析】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点:等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图,四边形PCBM 是直角梯形,90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==,又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥,直线AM 与直线PC 所成地角为60︒.（1）求证:PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --地余弦值；（3）求点B 到平面MAC 地距离.【解析】（1）证明见解析；（2；（3.（2）在平面ABC 内,过点C 作BC 地垂线,并建立空间直角坐标系,如下图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,22P z CP z AM z z ⎫⎛⎫∴==--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭cos 60cos AM CP AM CP AM CP ⋅︒=〈⋅==⋅0z>131,122z AM ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭考点:直线与平面垂直地判定与证明；空间中二面角地求解；点到平面地距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人地选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页地界面上打出广告:高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同地瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择（各种口味地高级口香糖均超过3瓶,且各种口味地瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应地口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶,请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢地草莓味口香糖瓶数ξ地分布列,并计算其数学期望和方差.【解析】（1）120种；（2）分布列见解析,38,2164.【解析】试卷分析:（1）若8种口味均不一样,有38C种,若其中两瓶口味一样,有1187C C种,若三瓶口味一样,有8种,由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8Bξ ,由此能求出小王喜欢地草莓口香糖瓶数ξ地分布列、数学期望和方差.试卷解析:（1）若三瓶口味均不一样,有3856C =若其中两瓶口味不一样,有118756C C =,若三瓶口味一样,有8种,所以小王共有56+56+8=120种选择方式考点:排列组合地应用；离散型随机变量地期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其短轴地下端点在抛物线24x y =地准线上.（1）求椭圆1C 地方程；（2）设O 为坐标原点,M 是直线:2l x =上地动点,F 为椭圆地右焦点,过点F 作OM 地垂线与以OM 为直径地圆2C 相交于,P Q 两点,与椭圆1C 相交于,A B 两点,如下图所示.①若PQ =求圆2C 地方程；②设2C 与四边形OAMB 地面积分别为12,S S ,若12S S λ=,求λ地取值范围.【解析】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,⎫+∞⎪⎪⎭.试卷解析:（1） 椭圆短轴下端点在抛物线24x y =地准线上,1b ∴=c e a === ,a ∴=所以椭圆1C 地方程为2212x y +=（2）①由（1）,知()1,0F ,设()2,M t ,则2C 地圆心坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭2C 地方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,当0t =时,PQ 所在直线方程为1x =,此时2PQ =,与题意不符,不成立,0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠,即()2200x ty t +-=≠又圆2C地半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()22211444t +⨯=+解得242t t =⇒=±∴圆2C 地方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++==,即0t =时取等号又0,t λ≠∴>,当0t =时,直线PQ 地方程为1x =2AB OM ==,212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,12S S λ∴===综上,λ≥,所以实数λ地取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎭.考点:椭圆地标准方程及其简单地几何性质；直线与圆锥曲线地位置关系地应用.【方法点晴】本题主要考查了圆地方程、椭圆地标准方程及其简单地几何性质、直线与圆锥曲线地位置关系地应用,着重考查了地参数地取值范围地求解及分类讨论地数学与思想方法地应用及推理、运算能力,属于中档试卷,解答时要认真审题,注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式地灵活应用,同时熟记基本地公式是解答此类问题地基础.21.（本小题满分12分）设a 为实数,函数()()211xf x x e a x -=--.（1）当1a =时,求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上地最大值；（2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x xx <时,总有()()'211x g x f x λ≤,求实数λ地值（()'f x 为()f x 地导函数）.【解析】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.试卷解析:（1）当1a =时,()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee -----=--=,令()212x h x x x e -=--,则()'122x h x x e -=--显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ,在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内,总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数,又()10h =∴ 当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x >,()'0f x ∴>,此时()f x 单调递增；当()1,2x ∈时,()0h x <()'0f x ∴<,此时()f x 单调递减；()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内地极大值也即最大值是()11f =①当10x =,11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立,R λ∈；②当()10,1x ∈时,1111210x x eeλ---+≤恒成立,111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x xx e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内地减函数,当()0,1x ∈,()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++③()1,0x ∈-∞时,1111210x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+由②,当(),0x ∈-∞,()()201e k x k e >=+,即21e e λ≤+考点:利用导数研究函数地极值；利用导数研究函数地单调性；利用导数求闭区间上函数地最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数地单调性,函数地极值问题,取闭区间上地最值问题,着重考查了分类讨论地数学思想和转化与化归地思想方法,是一道综合试卷,试卷有一定地难度,本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦,对任意地()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时,②当1(0,1)x ∈时,③1(,1)x ∈-∞时地情况是解解答地难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图,ABC ∆内接于直径为BC 地圆O ,过点A 作圆O 地切线交CB 地延长线于点,P BAC ∠地平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ,若210PA PB ==.（1）求证:2AC AB =；（2）求AD DE ⋅地值.【解析】（1）证明见解析；（2）50.（2）由切割线定理,得2,20PA PB PC PC =⋅∴=,又5,15PB BC ==又AD 是BAC ∠地平分线,2AC CD AB DB∴==由相交弦定理,得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.考点:圆地切割线定理；相似三角形地应用.23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 地方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上地点P 对应地参数为,2t Q π=为2C 上地动点,求PQ 地中点M 到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离地最小值.【解析】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2.试卷解析:（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=1C 为圆心是()4,3-,半径是1地圆,2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴,长半轴长是8,短半轴长是3地椭圆.（2）当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++⎪⎝⎭3C 地普通方程为270x y --=,M 到3C 地距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时,d .考点:圆地参数方程；点到直线地距离公式；直线地参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时,求函数()f x 地最大值；（2）解关于x 地不等式()0f x ≥.【解析】（1）2；（2）当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试卷解析:（1）当3a =时,()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =,函数()f x 取得最大值2.（2）由()0f x ≥,得21x a x -≥-两边平方,得()()2241x a x -≥-即()2232440x a x a +-+-≤得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点:绝对值不等式地求解.。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三下学期第一次模拟考试数学理试题 含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则满足的集合有（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）8 个 （2）若复数是纯虚数，则实数等于（A ） （B ）2（C ） （D ）－2（3）已知为等差数列，其前n 项和为，若，，则公差d 等于（A ）1 （B ） （C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）定义在R 上的函数既是奇函数又是周期函数， 若的最小正周期是，且当时， ，则的值为（A ） （B ） （C ） （D ）（6）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间 几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是（A ） （B ） （C ） （D ） （7）下列叙述中，正确的个数是①命题p ：“”的否定形式为：“”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若，则O 是△ABC 的垂心；③“M ＞N ”是“”的充分不必要条件；④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）有以下四种变换方式： ①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．22 2 正视图 侧视图 俯视图 （第6题）其中能将函数的图象变为函数的图象是（）（A）①和④（B）①和③（C）②和④（D）②和③（9）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（A）144 （B）120 （C）108 （D）72（10）已知函数（k∈R），若函数有三个零点，则实数k的取值范围是（A）k≤2（B）－1＜k＜0 （C）－2≤k＜－1 （D）k≤－2（11）已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A 在抛物线上且，则△AFK的面积为（A）4 （B）8 （C）16 （D）32（12）已知，，且.现给出如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论的序号是( )（A）①③⑤（B）①④⑥（C）②③⑤（D）②④⑥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三数学下学期一模考试试题 理含解析 试题 2
2021届高三数学下学期一模考试试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，那么复数z 在复平面内对应点的坐标为〔 〕A. 〔2，﹣2〕B. 〔﹣2，2〕C. 〔2，2〕D. 〔﹣2，﹣2〕【答案】D 【解析】 【分析】把z 1＝﹣1﹣i 代到z 1z ＝4变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z 得答案。
【详解】解：由z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，得z ()()()1414422111i i z i i i -+====-+-----+， ∴22z i =--．那么复数z 在复平面内对应点的坐标为〔﹣2，﹣2〕． 应选：D ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lgx }，B ＝{x |﹣7＜2+3x ＜5}，那么∁U 〔A ∪B 〕＝〔 〕A. {x |0＜x ＜1}B. {x |x ≤0或者x ≥1}C. {x |x ≤﹣3}D. {x |x ＞﹣3}【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进展并集、补集的运算即可． 【详解】解：A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |﹣3＜x ＜1}； ∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}； ∴∁U 〔A ∪B 〕＝{x |x ≤﹣3}． 应选：C ．【点睛】考察描绘法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．3.α∈〔22ππ-，〕，tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，那么sinα＝〔 〕B.D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得tanα，再由同角三角函数根本关系式结合角的范围求解．【详解】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin 〔76°﹣46°〕＝sin30°12=， 且α∈〔22ππ-，〕，∴α∈〔0，2π〕， 联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα=． 应选：A ．【点睛】此题考察三角函数的化简求值，考察同角三角函数根本关系式及两角差的正弦，是根底题．f 〔x〕=的图象大致为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进展求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足()()22x xx -x 2x 1(x)2x 1f x f x e e e e x --+-+-==-=-++，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当y FE AE =-22时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ，应选：C ．【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题。
2021年高三数学下学期一模考试试题 理
2021年高三数学下学期一模考试试题 理（满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：(5′×12=60′)1.已知A=｛x|x≥k｝，B=｛x|<1｝，若AB 则实数k 的取值范围为（ ） A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.复数的共轭复数=（ ） A.2+ B.2- C.1+2 D.1-23.设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x ∈[0,2]时， f(x)=ex1，则f(xx)+f(-xx)=（ ） A.1-e B.e-1 C.-1-e D.e+14.在锐角三角形ABC 中，BC=1， B=2A ，则的值为（ ） A.6 B.4 C.2 D.25.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为xx ， 则输出的值为（ ） A.3 B.5 C.6 D.96.a=b 是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ） A.5 B.4 C.3 D.18.设Sn 为等差数列｛an ｝的前n 项和，给出四个结论： (1)a2+a8≠a10 (2)Sn=an2+bn(a≠0)(3)若m,n,p,q ∈N+，则am+an=ap+aq 的充要条件是m+n=p+q (4)若S6=S11，则a9=0其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x 与双曲线的 一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 A.+1 B.+1 C.+ D.10.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b 的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 11.若二项式()6的展开式中的常数项为m ，则=（ ） A. B.- C. D.-12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f´(x)，a=，b=， 则a 与b 的大小关系为（ ）xa =1=i b a =1+=i i xb ≠ab -=11i1 3 356 57 11 11 79 18 22 18 9— — — — — — —A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定第Ⅱ卷（共90分） 二．填空题：(5′×4=20′)13.一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为14.某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中 至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为 15.已知满足条件的动点(x,y)所在的区域D 为一直角三角形区域， 则区域D 的面积为16.已知函数f(x)对一切实数a 、b 满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛an ｝的通项an=(n ∈N+)，则数列{an}的前n 项和= 三.解答题: （12′×5+10′=70′）17.已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+)+sin2(x+)(0<φ<)的图象经过点(,1) (1)求f(x).(2)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，a=，S △ABC=2，角C 为锐角且 f()=，求C 边长18.某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，m ，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
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高三下学期一模考试数学（理）试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设全集U=R，集合则集合=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A . 8；
B . 18；
C . 26；
D . 80.
6. （2分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2018·佛山模拟) 已知分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右
支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . 2
D .
8. （2分）(2017·大同模拟) 函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（）
A . 函数f（x）的最小正周期为
B . 函数f（x）的图象关于点对称
C . 函数f（x）在区间上是增函数
D . 由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
9. （2分）(2017·孝义模拟) 定义： =ad﹣bc，如=1×4﹣2×3=﹣2．当x∈R时，≥k恒成立，则实数k的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣3]
B . （﹣∞，﹣3）
C . （﹣3，+∞）
D . [﹣3，+∞）
10. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C1所成角为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 直线（为参数）被圆所截得的弦长为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）当时，，那么a的取值范围是（）
A .
B .
C . （1,4）
D . (2,4 )
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·抚顺期末) 关于平面向量，有下列四个命题：
①若．
② =（1，1）， =（2，x），若与平行，则x=2．
③非零向量和满足| |=| |=| |，则与的夹角为60°．
④点A（1，3），B（4，﹣1），与向量同方向的单位向量为（）．
其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）
14. （1分） (2016高二上·自贡期中) 直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于________．
15. （1分） (2018高二上·六安月考) 若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是 ________.
16. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最小值为________．
三、解答题 (共7题；共75分)
17. （10分）(2016·江西模拟) 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且．
（1）求角C的值；
（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．
18. （15分） (2019高二上·上海月考) 设正数列的前n项和为，其满足：
（1）试求的值；
（2）利用：当时，证明：数列为等差数列；
（3）求数列的通项公式。
19. （15分）如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．
20. （15分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S.
（1）
设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y1-x2y1|；
（2）
设l1:y=kx,C(,), S=,求k 的值。
（3）
设l1:l2的斜率之积为m,求m的值，使得无论l1与 l2如何变动，面积S保持不变。
21. （5分）(2019·龙岩模拟) 已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
22. （10分）已知曲线C1的参数方程式（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点
A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
23. （5分） (2016高一上·济南期中) 已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且f（x）＞﹣x的解集为{x|1＜x＜2}，方程f（x）+2a=0有两相等实根，求f（x）的解析式．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、答案：略
2-1、
3-1、答案：略
4-1、答案：略
6-1、答案：略
7-1、
8-1、答案：略
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、答案：略
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共75分)
17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略
23-1、
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