2020届北京市东城区高三一模考试数学试题
2020年北京东城区高三一模数学试卷
2020年北京东城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 （其中是虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）．A. B. C. D.4.设函数，则（ ）．A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数5.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与直线及的相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．A.B.C.D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则（ ）．A.B.C.D.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）．A.天B.天C.天D.天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是，，，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数 .12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．正主视图侧左视图俯视图14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（）、图（）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）（2）求证：．求直线和平面所成角的正弦值．17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，， ，，，求的面积．（1）（2）（3）18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：甲公司某员工乙公司某员工每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元．根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数．为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望．根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．【答案】解析:∵，，∴．故选项正确．解析:∵，∴．故选．解析:抛物线的准线方程为：，与轴的交点的坐标为，故选B．解析:（1）（2）20.已知椭圆的右焦点为．求点的坐标和椭圆的离心率；直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．（1）（2）（3）21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．当时，写出数列的前五项．若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值．求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．C1.A2.B3.A4.∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴．故选．解析:要使曲线为焦点在轴上的椭圆，则，∴，即且，∴“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：．解析:根据题意，分步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法，个三口之家共有种排法；②将个整体元素进行排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为．故选．解析:因为与即平行，且与的距离为，所以圆的半径．B 5.C 6.A 7.又因为圆心在直线上，且与，均垂直，所以由，解得交点坐标为，联立，解得交点坐标为，所以圆心坐标为的做点，所以圆方程为．故选．解析:设正项等比数列的公比为，由可得：，∵，∴，又与的等差中项为，∴，，，，∵，∴．∴．综上所述，答案选择．解析:荷叶覆盖水面面积与生长时间的函数关系式为．当时，长满水面，所以生长天时，布满水面一半．故选．解析:设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，D 8.C 9.C 10.集合，，中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选．11.解析:∵向量，不平行，向量与平行，∴，∴，解得实数．故答案为：．12.解析:根据题意，角的终边按逆时针旋转后经过点，则，，即①，②，联立①②，解得．（1）解析:由主视图可知，四棱锥的高为，底面是长为，宽为的长方形．故四棱锥的体积为．故答案为：．解析:①若抛物线方程为，则，四个点，，，，故抛物线过和抛物线方程为．②若抛物线方程为，则，∵，，，，∴抛物线过和抛物线方程为．综上所述，抛物线方程为或．解析:∵观影人数时，∴时，为成本，即，∴②中减低成本（表现为利润亏损减少），③中成本不变，∴②③正确．解析:∵，，分别为，的中点，∴，∵是的中点，∴，∴，13.或14.②③15.（1）证明见解析（2）16.（2）又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴．设为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线和平面所成角的正弦值是．解析:若选①．∴．又在中，∴，而，．∴，．见解析，面积为17.．而，．∴．若选②．∴．又．∴．又．∴．∴，．而．∴．若选③．∴，．又．∴．而，．∴，．，（1）（2）（3）而．∴．面积为．解析:甲公司员工在这天投递快件数的平均数为：，由表可知，众数为．设为乙公司每天投递件数，所得劳务费记为，则当时，元，当时，，∴的可能取值为，，，，，，，，，，∴的分布列为：元．由上表数据，甲公司每位员工在该月所得劳务费为元，（1）平均数：，众数：．（2）．（3）甲：元，乙：元．18.甲甲（1）（2）（3）乙公司每位员工在该月所得劳务费为元．解析:由得．由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为．由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：极小所以当时，在上存在极小值．（1）（2）当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为．（3）证明见解析．19.（1）（2）（1）（2）解析:因为椭圆所以焦点，离心率直线过点，所以，所以．由，得（依题意）．设 ，，则，．因为点关于轴的对称点为，则．所以，直线的方程可以设为，令，．所以直线过轴上定点．解析:，，，，．因为，所以，，又数列的前项互不相等，①当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；②当时，（1）焦点，离心率（2）定点坐标20.（1），，，，．（2）的值为，，．（3）证明见解析．21.（3）若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为，，．对于，令，则．又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，所以，故常数．从而常数．故存在正整数，使得时，为常数．。
2020东城高三一模数学试题答案
东城区2019-2020学年度第二学期教学统一检测高三化学参考答案及评分标准2020.5注：学生答案与本答案不符时，合理答案给分。
选择题（共42分）题号1234567答案B D A A C A D 题号891011121314答案ADDBDCB综合题（共58分）15.（11分）（1）铁比铜活泼（2）①O 2＋4e －＋2H 2O =4OH－4Fe(OH)2＋O 2=4FeOOH ＋2H 2O②6：2：1③铁质文物在潮湿环境中表面生成疏松的FeOOH ，水、氧气能通过孔隙使铁继续发生吸氧锈蚀；在干燥空气中形成致密的Fe 2O 3，隔绝了铁与水和氧气的接触，阻碍锈蚀（3）①Fe 2O 3＋6NaCl ＋3H 2O =6NaOH ＋2FeCl 3（Fe 2O 3+H 2O ====2FeOOH ）②氯、溴、碘同主族，形成的阴离子随电子层数增加半径增大（或体积增大），穿透能力减弱（4）HNO 3和AgNO 3（5）16.（13分）（1）羰基羟基（2）（3）（4）保护—CH 2OHCl —（5）（6）（7）水解反应、消去反应17.（10分）（1）CO 32-＋H 2OOH -+HCO 3-（2）Cu 2(OH)2CO 3＋4CH 3COOH =2(CH 3COO)2Cu ＋3H 2O ＋CO 2↑（3）醋酸铜的溶解度随温度变化较大，温度越高溶解度越大，温度降低溶解度减小（4）2Cu 2+＋4I -=2CuI↓＋I 2（5）因为CuSCN 不吸附I 2，通过反应CuI(s)＋SCN-CuSCN(s)＋Cl -，使CuI 吸附的I 2释放出来与Na 2S 2O 3反应。
（6）6.4bv/a %18.（11分）（1）氧化（2）（3）H 2（4）Cu ＋NO 3-=NO 2—＋CuO 或H 2＋NO 3-======NO 2—＋H 2O（5）①Pd 表面单位面积吸附的2NO -数目减小②增大2NO 2—＋6H =N 2＋4H 2O ＋2OH -（6）先调节溶液的pH 到12，待NO 3—几乎完全转化为NO 2—后，调节pH 到419.（13分）（1）Ag +＋223S O -=Ag 2S 2O 3↓（2）H +、24SO -Pd-Cu/TiO 2得到的24SO -是氧化产物，必然要生成其他还原产物（3）22322S O + 2H S + SO + H O-+↓ （4）过量Ag +与223S O -结合，使c (223S O -)降低，Ag 2S 2O 3＋3S 2O 32-2[Ag(S 2O 3)2]3-逆向移动，析出沉淀（5）逐滴滴加AgNO 3时，Ag 2S 2O 3的溶解速率大于分解速率；迅速混合时部分Ag 2S 2O 3来不及溶解即发生分解，分解产物不能再溶于Na 2S 2O 3（6）Na 2S 2O 3和AgNO 3物质的量之比大于2:1，在不断搅拌下将AgNO 3溶液缓缓加入到Na 2S 2O 3溶液中。
北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题 Word版含答案
2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n （C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B ∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136147154189203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a 在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。
北京市东城区2020届高三数学一模试卷文含解析
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合2{3}A x x x =∈<R ，{12}B x x =-<<，则AB =（A ）{10}x x -<< （B ）{13}x x -<< （C ）{02}x x << （D ）{03}x x << 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为，所以，故答案为：B 【答案】B（2）已知直线310ax y +-=与直线3+2=0x y -互相垂直，则a = （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C 【答案】C（3）已知4log 6a =，4log 0.2b =，2log 3c =，则三个数的大小关系是（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）b c a >> 【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，故答案为：A 【答案】A（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为（A ）3 （B ）52 （C ）2（D ）32【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A 【答案】A（5）已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则11S =（A ）21-（B ）19-（C ）19（D ）21【知识点】数列的求和 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D（6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充分必要条件 故答案为：C 【答案】C （7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（A ）0,3 （B ）0,4 （C ）2,3 （D ）2,4 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为输出。
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题及答案
绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么A B =()A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}2答案：D先化简集合A ，再利用交集的定义求解. 解：∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-， ∴{}2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．函数()f x =() A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞答案：B首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 解：函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．已知()211i a R ai=-∈+，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-答案：A利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 解：211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A. 点评：本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为()A ．1 BC D ．2答案：D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解：双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.故选：D. 点评：本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：A利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是() A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>答案：D利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解：1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 点评：本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是()A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,22⎛-⎝⎭C ．221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案：C计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以，点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解：三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A ．(]0,1 B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解：设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C. 点评：本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 答案：C根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误. 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C. 点评：本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题. 二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 答案：3求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 解：向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3. 点评：本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．在622()x x+的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 答案：60根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项. 解： 在622()x x+的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C = 故答案为：60 点评：本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案：()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程. 解：设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，22r，所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为：()22112x y -+=. 点评：本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 答案：③④取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；取0a =，判断函数()f x 的单调性，即可判断②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论. 解：对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②可取0a =时，()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增， 对0t ∀>，()f x t =至多一解，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >； 又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),a +∞，0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当23t <<时，()f x t =有三解，故④正确. 故答案为：③④.点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题. 三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD =______；sin ABD ∠=______.答案：2321由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解：如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即67sin sin 60ABD =∠，解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为：2；32114. 点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. （Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解： （Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 答案：满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π， 且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同.若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =；以下解法均相同. 点评：本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，()022416CP XC===，()112224213C CP XC===，()2224126CP XC===，所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评：本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为1F，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．解：解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k-+=，12CD x x-===，同理可得MN =， ∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =， ∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题． 20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案：（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x -'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值．解：解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x-'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1x ∈时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,x ∈+∞时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根， ∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ； （Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案：（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．（Ⅰ）由题意得，()2*42n tn -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论． 解：（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =， ∴()2*42n t n -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥，∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，下面证明数列A 为等差数列，当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，①当1n t =-时，有1t t x x a --≤，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…，不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=，再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=， ∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤， ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅， ∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列．点评：本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
北京市东城区2020学年度高三数学综合练习(一)
北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份) (含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤2x}，B={x|1<x≤4}，则A∪B=()A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2.已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a=()A. 0B. 2C. −2D. 13.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)4.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)−3x]=4，则f(x)+f(−x)的最小值等于()A. 2B. 4C. 8D. 125.已知曲线C：x2k−5+y23−k=−1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()A. A33(A44)3B. A44(A33)4C. A1212A33D. A1212A447.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x−2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y−1)2=3C. (x−2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y−1)2=98.若{a n}是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A. 1或2B. 1或−2C. −1或2D. −1或−29.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时10.若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为．12.角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，则sinα为______ ．13.四棱锥S−ABCD的三视图如图所示，它的正视图，侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形及其一条对角线，则该四棱锥的体积为_____ ．14.顶点在原点，且过点(−2,4)的抛物线的标准方程是______ ．15.将函数f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图像向右平移m(m>0)个单位长度，此时函数图像关于y轴对称，则m的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE//BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2=a2+c2+ac．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=√3，S为△ABC的面积，求S+√3cosAcosC的最大值，并求出A角．18.某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：分数段[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数2a121610c频率0.040.160.240.32b d(1)求表中a ，b ，c 的值，并估计该班的平均分x ；(2)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X 为所选3人中分数在[30,50)的同学的人数，求X 的概率分布列和均值EX ．19. 已知函数，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式f(x)⩾2x +mx 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(1,0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60∘． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知数列{a n+1+a n}的前n项和S n=2n+1−2，a1=0．(1)求数列{a n+1+a n}的通项公式；(2)求a2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a=0．故选：A．3.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：先求出f(x)+f(−x)，再利用基本不等式求最值即可．解：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4，即f(x)=3x+K，令x=K，得f(K)=3K+K=4．又f(K)单调递增，所以K=1，从而f(x)=3x+1，即f(x)+f(−x)=3x+13x +2≥2√3x⋅13x+2=4，当且仅当x=0时取等号．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查椭圆的概念和方程，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据椭圆的概念和方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，即x25−k +y2k−3=1，则{k−3>05−k>0k−3>5−k，解得4<k<5，所以“4≤k<5”是“方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B．6.答案：B解析：本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．根据题意，分2步进行分析：①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列②每个小组的成员之间全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将4个小组进行全排列，有A44种排法，②每个小组的成员之间有A33种排法，有4个小组，故共有(A33)4种排法，则不同的坐法有A44(A33)4种排法；故选：B．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系，由直线与圆相切可以求出圆的半径，然后写出圆的方程，属于基础题．解：圆心到直线的距离d=22=3，由直线与圆相切，则r=d=3，所以圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故选C．8.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质．解：∵−a5,a4,a6成等差数列，∴−a5+a6=2a4,∴−a4q+a4q2=2a4,∴q2−q−2=0,∴(q+1)(q−2)=0∴q=−1或q=2．故答案选：C．9.答案：C解析：本题考查指数函数的性质及函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．属于中档题．由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解：y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，e b=192，当x=22时，e22k+b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，e b=192，当x=33时，e33k+b=(e11k)3⋅(e b)=(12)3×192=24.故选C.10.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题．化简B={x|x(4−x)<0}={x|x<0或x>4}，而图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，从而得出答案．解：图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，∵B={x|x(4−x)<0}，即B={x|x<0或x>4}，∴A∩B={5}，∵集合A={1,2,3，4，5}，∴C A(A∩B)={1,2,3，4}．故选A．11.答案：−4解析：本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．12.答案：−2√55解析：解：∵角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，∴x=−1，y=−2，r=√5，则sinα=yr =√5=−2√55，故答案为：−25√5．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：2√23解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式，属于基础题．根据题意得出该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，利用棱锥的体积公式，即可求出结果．解：由三视图知，该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，高为√2，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，所以此四棱锥的体积为：V=13×√2×√2×√2=2√23．故答案为2√23．14.答案：x2=y或y2=−8x解析：解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=−2p′x(p>0,p′>0)∵抛物线过点(−2,4)∴22=2p×4或42=−2p′×(−2)∴2p=1或2p′=8∴x2=y或y2=−8x故答案为：x2=y或y2=−8x．由题意设抛物线方程，代入点(−2,4)，即可求得抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：解析：本题主要考查了函数图象的应用，属于一般题．将图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值将f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数g(x)=f(2x)=2sin(2x+π3)的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数ℎ(x)的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值．16.答案：证明：(1)∵AC⊥BC，DE//BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴DE⊥平面A1DC．∵A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面BCDE ． ∴A 1C ⊥平面BCDE ．解：(2)因AD =6，CD =3，A 1C ⊥CD ，则A 1C =3√3，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(0,0，0)，A 1(0,0，3√3)，D(0,3，0)，M(0,32,3√32)，B(6,0，0)，E(4,3，0)，则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,0，3√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3√3z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，取x =1，n ⃗ =(1,23,2√33)，设CM 与平面A 1BE 所成角为θ， sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×53=45．∴CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值为45．解析：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，属于中档题．(1)推导出DE ⊥AC ，DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥A 1C .再由A 1C ⊥CD ，能证明A 1C ⊥平面BCDE ． (2)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12．又∵0<B <π，∴B =23π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，∴S +√3cosAcosC =√3(cosAcosC +sinAsinC)=√3cos(A −C)． 当A =C ，即A =π−B 2=π6时，S +√3cosAcosC 取最大值√3．解析：(I)利用余弦定理即可得出；(II)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，利用和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由统计表，得：20.04=a 0.16=10b ，解得a =8，b =0，2，∴c =50−2−8−12−16−10=2．x =40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92． (2)由题意知X 可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 83C 103=715， P(X =1)=C 21C 82C 103=715，P(X =2)=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布列为：EX =0×115+1×715+2×115=35．解析：(1)由统计表，能求出表中a ，b ，c 的值，并能估计出该班的平均分x ．(2)由题意知X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和均值EX ． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −1x 2+2，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行所以f′(1)=a −1+2=2，即a =1∴f(x)=lnx +1x +2x ，f′(x)=(x+1)(2x−1)x 2(x >0)由f′(x)<0且x >0，得0<x <12，即f(x)的单调递减区间是(0,12)由f′(x)>0得x >12，即f(x)的单调递增区间是(12,+∞)．(2)由(1)知不等式f(x)≥2x +mx 恒成立可化为lnx +1x +2x ≥2x +mx 恒成立， 即m ≤x ·lnx +1恒成立令g(x)=x ·lnx +1，g′(x)=lnx +1当x ∈(0,1e )时，g′(x)<0，g(x)在(0,1e )上单调递减． 当x ∈(1e ,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1e ,+∞)上单调递增． 所以x =1e 时，函数g(x)有最小值 由m ≤x ·lnx +1恒成立得m ≤1−1e ，即实数m 的取值范围是(−∞,1−1e ]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为m ≤x ·lnx +1恒成立，令g(x)=x ·lnx +1，根据函数的单调性求出m 的范围即可．20.答案：解：(Ⅰ)根据题意，得c =1；又bc =tan60°=√3，所以b 2=3， 且a 2=b 2+c 2=4， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为：y =k(x −1)，(k ≠0)， 代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为R(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2TR ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以直线TR 为线段PQ 的垂直平分线； 直线TR 的方程为：y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，令y =0得：T 点的横坐标t =k 23+4k 2=13k 2+4，因为k 2∈(0,+∞)，所以3k 2+4∈(4,+∞)， 所以t ∈(0,14)；所以线段OF 上存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t ∈(0,14)．解析：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目． (Ⅰ)根据题意，知c =1，再求出b 2与a 2即可；(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，得出关于x 的一元二次方程；再设出P 、Q 的坐标，表示出线段PQ 的中点R ，根据QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出TR 是线段PQ 的垂直平分线；利用直线TR 的方程，求出T 点的横坐标t 的取值范围，即可得出结论．21.答案：解：(1)设a n+1+a n =b n ，则n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n ， 当n =1时，b 1=S 1=2，满足n ≥2时b n 的形式， ∴a n+1+a n =b n =2n ；(2)由(1)可知a n+1+a n =b n =2n ，a n+2+a n+1=2n+1， 两式相减，得a n+2−a n =2n ， 又∵a 1=0，a 1+a 2=2， ∴a 2=2，∴a 2n =a 2+(a 4−a 2)+(a 6−a 4)+⋯+(a 2n−2−a 2n−4)+(a 2n −a 2n−2) =2+22+24+⋯+22n−4+22n−2 =2+22−22n−2⋅221−22=22n 3+23．解析：本题考查求数列的通项、前n 项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)当n ≥2时b n =S n −S n−1=2n ，当n =1时b 1=2满足n ≥2时b n 的形式，即得结论；(2)由a n+1+a n =b n =2n 可得a n+2+a n+1=2n+1，两式相减得a n+2−a n =2n ，利用拆项法将a 2n 写成a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2n−2−a2n−4)+(a2n−a2n−2)，计算即可．。
北京市东城区2020届第一学期末统一检测高三数学试题及答案(WORD版)
北京市东城区 2020 届第一学期末统一检测高三数学试题本试卷共 4 页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束 后，将答题卡一并交回。
第一部分 (选择题共 40 分)、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合 A {x|x ≤1}，B {x| x 2 x 1 0} ，那么 AI B(2)复数 z=i(i 1) 在复平面内对应的点位于(3)下列函数中，是偶函数，且在区间 (0，+ ) 上单调递增的为1(A) yx(C) y 2 x(D )y1x(4)设 a,b 为实数，则“ a b 0”是“ a b”的(A ) 充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件(C) (5)设 充分必要条件(D )既不充分也不必要条件m,n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A) 若m ， m n ，则n∥ (B) 若 ，m ，n，则 m n (C) 若 n ∥，m n ，则 m (D) 若 ∥ ，m ，n ，则m∥ n(6) 从数字 1,2,3,4,5 中，取出 3个数字 ( 允许重复 ) ， 组成三位数，各位数字之和等于 6这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C) 10(D) 13(7) 设 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A) 若 ，则sinsin 2(B) 若则 cos cos222(C)若 ，则 sinsin 1(D) 若，则 cos cos 1, 是两个不同的平面， (8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论 .如图将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们的上方和下方，2020 年 1 月(A) {x| 1 x 2} (B) {x| 1≤ x 1}(C) {x|1≤ x 2}(D){x| 1 x ≤1} (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限(B) y ln x与圆柱面和 均相切 .给出下列三个结论： ① 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；② 若球心距 O 1O 2 4，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2 ； ③ 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B) ② ③ (C) ① ② (D) ① ② ③第二部分 (非选择题 共 110 分)22 y 21与 x 3 y 2 1有相同的焦点，则实数(10) 已知｛ a n ｝是各项均为正的等比数列， S n 为其前 n 项和，若 a 1 6 ，a 2 2a 32y 24x 2y 0 有两个不同的交点”是真命题的一个，则 的所有可能值为 ___6(14) 将初始温度为 0o C 的物体放在室温恒定为 30oC 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 n 次测量得到的物体温度记为 t n ，已知 t 1 0oC .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k ). 给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；( 填写模型对应的序号)k①t n 1 t n；②t n 1 t n k(30 t n )； ③ t n+1=k(30 t n ).、 填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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（Ⅰ）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米的概率；
（Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于 4 的点位的个数，
求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）
t R ，使得 f x t 有三解.其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD 面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，AB AC ，AB AC 1， PD 1.
3.已知 2 1 ai
1ia
R
，则
a
（
）
A. 1
B. 0
C. 1
D. 2
4.若双曲线 C
: x2
y2 b2
1b
0 的一条渐近线与直线
y
2x 1平行，则 b 的值为(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
5.如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
14. ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD 3CD ， BD 2 7 ，则 CD ______； sin ABD ______.
15.设函数
f
x
a x
2xa
1, x 0,
2ax , x
给出下列四个结论：①对 a 0.
0
， t R
，使得
f
x
t
无解；②
对 t 0 ， a R ，使得 f x t 有两解；③当 a 0 时， t 0 ，使得 f x t 有解；④当 a 2 时，
A. 4
B. 6
C. 8
6.已知 x 1，那么在下列不等式中，不成立的是( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 12
A. x2 1 0
B. x 1 2 x
C. sin x x 0
D. cos x x 0
7.在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 12 分钟转动一周.若点 M 的
加的方向.下列说法正确的是（ ）
A. 若在 t1 、 t2 时刻满足： y t1 y t2 ，则 x t1 x t2
B. 如果 y t 数量是先上升后下降的，那么 x t 的数量一定也是先上升后下降
C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值
19.已知椭圆
E： x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ），它的上，下顶点分别为
A，B，左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，若
四边形 AF1BF2 为正方形，且面积为 2.
（Ⅰ）求椭圆 E的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线 l1 ，l2 ，它们与椭圆 E 分别交于点 C，D，M，N，且四边形 CDMN
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.已知向量
a
m,1
，
r b
1,
2
，
c
2,
3
，若
a
b
与
c
共线，则实数
m
______.
12.在
(x
2 x2
)6
的展开式中，常数项为_____．（用数字作答）
13.圆心在 x 轴上，且与直线 l1 : y x 和 l2 : y x 2 都相切的圆的方程为______.
是菱形，求出该菱形周长的最大值.
20.已知函数 f x x ln x ax （ a R ）.
（Ⅰ）若 a 1，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（Ⅱ）若 f x 有两个极值点，求实数 a的取值范围； （Ⅲ）若 a 1，求 f x 在区间 0, 2a 上的最小值. 21.数列 A ：x1 ，x2 ，x3 ，…，xn ，…，对于给定的 t（ t 1，t N ），记满足不等式：xn xt t* n t （ n N ， n t ）的 t* 构成的集合为 T t ． （Ⅰ）若数列 A : xn n2 ，写出集合 T 2 ； （Ⅱ）如果 T t （ t N ， t 1）均为相同的单元素集合，求证：数列 x1 ， x2 ，…， xn ，…为等差数列； （Ⅲ）如果 T t （ t N ， t 1）为单元素集合，那么数列 x1 ， x2 ，…， xn ，…还是等差数列吗？如果
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设 O 为坐标原点，点 A(1, 0)，动点 P 在抛物线 y2 2x 上，且位于第一象限， M 是线段 PA 的中点，则
直线 OM 的斜率的范围为( )
A. 0,1
B.
0,
2 2
C.
0,
2
为1，②
f
x
的图象与直线
y
3 的两个相邻交点的距离等于
，③
f
x
的图象过点
6
,
0
.这三个条
件中选择一个，补充在上面问题中并作答.
18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完 成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的 50 个点位的横、纵坐标误差的
（Ⅰ）求证： AD// 平面 PBC ； （Ⅱ）求二面角 D PC B 的余弦值的大小.
17.已知函数
f
x
a
sin
2x
6
2
cos2
x
6
a
0 ，且满足_______.
（Ⅰ）求函数 f x 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 f x 1在区间0, m 上有两个不同解，求实数 m 的取值范围.从① f x 的最大值
2020 年高考数学一模试卷
一、选择题
1.已知集合 A x x 1 0 ， B 1, 0,1, 2，那么 A B ( )
A. 1, 0
B. 0,1
C. {-1, 0,1, 2}
D. 2
2.函数 f x
x 2 的定义域为( x2 1
)
A. 1, 2
C. , 1 1,
B. 2, D. , 1 2,
2
D.
2 2
,
10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，
后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以 x t 表 示，被捕食者的数量以 y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增
初始位置坐标为
1 2
,
3 2 ，则运动到 3 分钟时，动点 M 所处位置的坐标是(
)
A.
3 2
,
1 2
B.
1 2
,
3 2
C.
3 2
,
1 2
D.
3 2
,
1 2
uuur uuur uuur uuur 8.已知三角形 ABC ，那么“ AB AC AB AC ”是“三角形 ABC 为锐角三角形”的（ ）