江苏省南通市四星级学校四校2021届高三上学期第一次联考数学试题 Word版含答案

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2021届南通市高三数学一模调研测试及答案

南通市2021届高三第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}2log (1)2B x x =-<，A B = A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{}3,4D ．{}3,4,52．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =A ．2i-B ．4-C ．212D ．43．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数kt k -试发现，当23t =时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈A ．3100B ．310C ．103D ．10035．(12)nx -的二项展开式中，奇数项的系数和为A ．2nB ．12n -C ．(1)32n n -+D ．(1)32n n --6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为7．已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ .如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在11(,)A x y ，22(,)B x y 两点处的切线分别与曲线e xy =相切于33(,)C x y ，44(,)D x y ，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则A ．若m α ，n α ，则m n B ．若m α ，m β⊥，则αβ⊥C ．若αβ ，m α⊥，n β⊥，则m nD ．若αβ⊥，m α，n β ，则m n⊥10．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心11．若函数32,1,()1ln ,1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2,)+∞，则A ．(3)(2)f f >B ．2m ≥C ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931logi i a ==∑__________.14．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，写出双曲线C 的一个标准方程：__________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC ∆的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4a =，3b =，5c =，则由ABC ∆生成的康威圆的半径为__________.16．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧 CD的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若*n ∀∈N ，24n S λλ<-+（λ为偶数），求λ的值.18．（12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos()sin()A B A B +=-；③tan sin 2A B C +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.__________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.19．（12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.84106.63510.82820．（12分）如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF ∆沿直线BF 翻折至A BF '∆，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：OH平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值.21．（12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--.（1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.22．（12分）已知点,A B 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA AB ⊥.（1）若a =，1b =，直线OA 的方程为30x y -=，求直线OB 的斜率；（2）若OAB ∆是等腰三角形（点,,O A B 按顺时针排列），求ba的最大值.2021 届高三第一次调研测试数学参考答案及讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2021年高三上学期第一次联考数学(理)试题WORD版含答案

江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为（）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（） A. B. C. D.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是（将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求：（1）；（2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13．【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】解：（1），因此在处的切线的斜率为，又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分（2）∵当>0时，恒成立，则恒成立，设＝，则＝， …………8分当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分（2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设直线则联立方程得 …………9分 …………11分而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分（2）由,∴，. …………6分故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得：所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

江苏省南通等六市2021届高三第一次调研考试数学试题(word版含答案)

江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}N 26x x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则AB ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5}2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2﹣iB ．﹣4C ．2D ．43．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt kx k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）．经测试发现，当t ＝23时，02kx k =，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69）A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：PA PB PC 0++=；乙：PA (PA PB)PC (PA PB)⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ∥nD ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n 10．已知函数()sin(2)6f x x π=-，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象 C ．()f x 在(6π-，3π)上单调递增 D ．点(512π-，0)是()f x 图象的一个对称中心 11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a =∑＝．14．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程：． 15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．延长线段CA 至点A 1，使得AA 1＝a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a ＝4，b ＝3，c ＝5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为．16．已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ，第15题其面积为8．若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若∀n N *∈，24n S λλ<-+（λ为偶数），求λ的值．18．（本小题满分12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos(A ＋B)＝sin(A ﹣B)；③tanA B2+＝sinC 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝22，，？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．19．（本小题满分12分）2019 年4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20．（本小题满分12分）如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF ⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．（1）证明：OH∥平面A′EF；（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--．（1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．22．（本小题满分12分）已知点A ，B 在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA⊥AB ．（1）若a b ＝1，直线OA 的方程为x ﹣3y ＝0，求直线OB 的斜率；（2）若△OAB 是等腰三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列），求ba的最大值．参考答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．BC 10．ACD 11．ABD 12．BD13．9 14．2214y x -= 15 16 17．18．19．20．21．22．。

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学(理)试题Word版含解析

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________．【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）．答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为，则12．如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解．所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点．综上可得5112a -<<或1a >．故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点，所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ，所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点，所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②，由①②得20918160x x --=，解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=，所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+，代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得422820k k +-=，即()()2272410k k +-=，解得12k =±，所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =，半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+，区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+，所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=，化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值，此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-，则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->，所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=，则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=，所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析：作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析：延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -．试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =，所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解．试题解析：由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --，所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +，所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==，所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）；（2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-，两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。

江苏省南通市四星级高中高三数学上学期期初联考试卷(含解析)苏教版

2012-2013学年江苏省南通市四星级高中高三（上）期初联考数学试卷一、选择题（70分）1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z虚部为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由复数的运算性质可得====﹣1﹣i，即可的其虚部．解答：解：化简可得=====﹣1﹣i，故其虚部为：﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查复数的化简运算和实虚部的定义，属基础题．2．（5分）某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：外来户原住户已安装60 35未安装45 60则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有9500 户．考点：用样本的频率分布估计总体分布．专题：概率与统计．分析：首先根据图表提供的数据算出200户居民中安装安全救助报警系统的频率，用总住户乘以频率即可．解答：解：由图表可知，调查的200户居民中安装安全救助报警系统的有95户，所以安装安全救助报警系统的居民频率为，根据用户样本中已安装安全救助报警系统的频率得：20000×=9500．所以该小区已安装安全救助报警系统的住户估计有9500（户）．故答案为：9500点评：本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的频率分布估计总体的分布，解答此类问题的关键是利用频率相等，是基础题．3．（5分）已知A（m，0）、B（0，2m），（m＞0），并且=t（0≤t≤1），O为坐标原点，则|OP|的最小值为：m ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=（（1﹣t）m，2tm），再由向量的模的定义求得|OP|=，由此求得|OP|的最小值．解答：解：由已知可得，即= （0，2tm）+（（1﹣t）m，0）=（（1﹣t）m，2tm），∴|OP|==，故当t=时，|OP|取得最小值为|m|=m，故答案为m．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4．（5分）设x，y满足，则的取值范围是[2，+∞）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出x，y满足表示的平面区域，再根据目标函数=1+的几何意义，而表示区域里的点（x，y）与坐标原点连线的斜率，只需求出的范围即可求出目标函数的取值范围．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z==1+，将的最小值转化为过定点O（0，0）的直线PO的斜率最小值，当直线MO经过区域内的点（1，2）时，z最小，最小值为：2．当直线PO趋向于y轴时，它的斜率趋向于+∞，则的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．点评：本题主要考查了简单的线性规划，正确理解不等式所表示的区域，以及目标函数的几何意义，属于基础题．5．（5分）已知正四面体棱长为1，则其在平面α内的投影面积最大值是．考点：平行投影及平行投影作图法．专题：空间位置关系与距离．分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到．解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB 对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=故答案为：点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题6．（5分）平面直角坐标系中，已知A（1﹣，1）、P（﹣，0），O为原点，等腰△AOB 底边AB与y轴垂直，过点P的直线与△AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据题意作出图形，如图所示．本题利用几何概型求概率．若过点P的直线与△AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在线段OC上，而直线与y轴的交点保持在该区域内部时，直线与y轴的交点保持在线段OD上，从而得出直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：P=即可得出答案．解答：解：如图，等腰△AOB底边AB与y轴垂直，若过点P的直线与△AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在线段OC 上，由已知A（1﹣，1）、P（﹣，0），得C（0，）．而直线与y轴的交点保持在该区域内部时，直线与y轴的交点保持在线段OD上，根据几何概型的概率公式得，直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：P===．故答案为：．点评：本题考查几何概型概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意直线与y轴的交点保持在该区域内部所形成的线段区域的长度的求法．7．（5分）给x输入0，y输入1，则下列伪代码程序输出的结果为2，4 ．考点：伪代码．专题：操作型．分析：根据已知中的情况代码，可知程序的功能是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：∵x输入值为0，y输入值为1≤3，故第一次循环时，y=20+1=2又∵2≤3，故第二次循环时，y=20+2=4∵4＞3，不满足进行循环的条件，退出循环故程序输出的结果为2，4故答案为：2，4点评：本题考查的知识点是伪代码，模拟程序的运行结果，是处理循环次数不多时，程序运行类结果问题常用办法．8．（5分）函数f（x）=log2﹣a（x2+2ax+1）的值域为R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设g（x）=x2+2ax+1，由f（x）=log2﹣a（x2+2ax+1）的值域为R，知g（x）x2+2ax+1可以取所有的正数，故，由此能求出a的取值范围．解答：解：设g（x）=x2+2ax+1，∵f（x）=log2﹣a（x2+2ax+1）的值域为R，∴g（x）x2+2ax+1可以取所有的正数∴，解得a＜﹣1，或1＜a＜2．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．点评：本题主要考查了由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，解题时容易误认为△＜0，要注意区别与函数的定义域为R的限制条件．9．（5分）已知x∈R，f（x）为sinx与cosx中的较小者，设m≤f（x）≤n，则m+n= ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先求函数f（x）的表达式，结合正弦函数及余弦函数的图象可求函数的值域，从而可求m+n的值．解答：解：由题意得：f（x）=，结合正弦、余弦函数图象可知：﹣1≤f（x）≤，∴m=﹣1，n=，则m+n=﹣1．故答案为：﹣1点评：点评：本题主要考查了正弦及余弦函数的图象及由图象求函数的最值，解决问题的关键是要熟练掌握三角函数的图象．10．（5分）已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是（），则双曲线离心率的范围是e＞．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，利用有一个内角的范围是（），可得，由此可得双曲线离心率的范围．解答：解：根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，∵有一个内角的范围是（），∴∴平方得：又∵c2=a2+b2，∴∴e＞，故答案为：e＞．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率的范围问题，解题的关键是找到a，b和c的关系．11．（5分）给出下列四个命题中：①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；②与不共面的四点距离都相等的平面共有4个．③正四棱锥侧面为锐角三角形；④椭圆中，离心率e趋向于0，则椭圆形状趋向于扁长．其中所有真命题的序号是③．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据正三棱锥的定义判断．②四个点在平面同侧不可能存在与空间不共面四点距离相等的平面，那么可分为一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，中截面满足条件，这样的情形有4个，还有一类是二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，即可求出所有满足条件的平面．③可由侧面中等腰三角形定义分析，三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥．④在椭圆中，e越接近于1，则c越接近于a，从而b越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆．所以椭圆离心率越大，它越扁．利用此规律即可得出结论．解答：解：①显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．②一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，这样满足条件的平面有四个，都是中截面，如图，二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，如图，故与不共面的四点距离都相等的平面共有7个；故②错；③侧面三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥，所以是锐角三角形，故③正确．④椭圆中，离心率e趋向于0，这时椭圆就接近于圆，故④错．故答案为：③．点评：本题主要考查命题的真假判断与应用，棱锥的结构特征及棱锥的分类、椭圆的几何性质等，考查很全面，要求掌握要熟练，属中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1在区间（﹣2，2）内，既有极大也有极小值，则实数a的取值范围是．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：把要求的问题转化为其导数在区间（﹣2，2）内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可．解答：解：由函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1，得f′（x）=3x2﹣2ax+3a．∵函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1在区间（﹣2，2）内，既有极大也有极小值，∴f′（x）=0在（﹣2，2）内应有两个不同实数根．∴，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握函数的导数及二次函数的性质是解题的关键．13．（5分）已知数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，若对于任意正整数K，在数列中恰有K个K出现，求a50= 10 ．考点：进行简单的合情推理；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第50项所在的组，由此能求出a50．解答：解：∵数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，∴数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…则当n=9，1+2+3+…+n===45＜50．当n=10，1+2+3+…+n===55＞50，∴a50在第10组中，故a50=10．故答案为：10．点评：本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项．14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2ax+2，x∈[1，3]，对于∀m∈R，均能在区间[1，3]内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），则实数a的值是 2 ．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）==，作出f（x）的图象，由g（x）=x2﹣2ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，结合题设条件能求出a的值．解答：解：∵f（x）==，∴f（x）的图象如图所示：g（x）=x2﹣2ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，∵x∈[1，3]，对于∀m∈R，均能在区间[1，3]内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），∴对称轴为x=a==2．所以a=2．故答案为：2．点评：本题考查函数恒成立问题的合理运用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、解答题（90分）15．（15分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（Ⅰ）求B0的大小；（Ⅱ）当B=时，求cosA﹣cosC的值．余弦定理的应用；正弦定理的应用．考点：综合题；解三角形．专题：分（Ⅰ）根据2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理可得b=，再利用余弦定理，结合基本析：不等式，即可求B0的大小；（Ⅱ）设cosA﹣cosC=x，由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=，从而可得关于x的方程，即可求得结论．解解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=．答：由余弦定理知，cosB===≥=．（4分）因为y=cosx在（0，π）上单调递减，所以B的最大值为B0=．（6分）（Ⅱ）解：设cosA﹣cosC=x，①（8分）由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=．②由①2+②2得，2﹣2cos（A+C）=x2+2．（10分）又因为A+C=π﹣B=，所以x=，即cosA﹣cosC=．（14分）点本题考查正弦、余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．评：16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．求证：（1）MN∥平面ABP；（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M．由点N是PD的中点，知MN∥BP，由此能够证明MN∥平面ABP．（2）先证明由“BP⊥PC”⇒“平面ABP⊥平面APC”，再证明由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”由此证明平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．解答：证明：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M．（1分）又点N是PD的中点，则MN∥BP，（2分）∵MN⊄面ABP，BP⊂面ABP，∴MN∥平面ABP．（4分）（2）充分性：由“BP⊥PC”⇒“平面ABP⊥平面APC”，∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP⊂面PBC，BC⊂面PBC，BP∩BC=B，∴AB⊥面PBC，（6分）∵PC⊂面PBC，∴AB⊥PC，（7分）又∵PC⊥BP，AB，BP是面ABP内两条相交直线，∴PC⊥面ABP，PC⊂面APC，（9分）∴面ABP⊥面APC．（10分）必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”过B作B H⊥AP于H，∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩面APC=AP，BH⊂面ABP，∴BH⊥面APC．（12分）∵AB⊥PC，∴PC⊥面ABP，PC⊥PB．故平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的充要条件的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的合理运用．17．（15分）某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比例只有去年的，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元．（1）当k=时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？（2）某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围？考点：数列的应用；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）先求出下岗员工第n年从该企业收入，再利用错位相减法求和，即可得到结论；（2）b n=a n+1﹣a n，利用某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，建立不等式，即可求得结论．解答：解：（1）设下岗员工第n年从该企业收入为a n万元，则据题意a n=（）n﹣1[1+（n﹣1）]a …（2分）设S n=a1+a2+…+a n=[1++…+（）n﹣1]a+[+…+（n﹣1）（）n﹣1]a由错位相减法可得：S n=[6﹣（n+6）（）n]a∴到第n年下岗员工可从该企业获得收入[6﹣（n+6）（）n]a万元．（5分）（2）令b n=a n+1﹣a n=（）n[1+nk]a﹣（）n﹣1[1+（n﹣1）k]a=[（3﹣n）k﹣1]a（7分）据题意当n＜m﹣1时，b n≥0，即（3﹣n）k﹣1≥0；①当n=m﹣1时，b n＜0，即（4﹣m）k﹣1＜0；②（10分）当m≥4时，②式总成立，即从第4年开始下岗员工总是从该企业所得变少；∴m最大值=4；（12分）将m=4代入①式得n＜3时，（3﹣n）k﹣1≥0恒成立；∵k＞0∴[（3﹣n）k﹣1]最小值=k﹣1≥0∴k≥1∴m的最大值为4，此时k≥1．…（14分）点评：本题考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）已知抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D（﹣）．（1）求椭圆方程；（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M 的切线l，求直线l的方程；（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，确定c=2，利用椭圆过点D（﹣），代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆方程；（2）确定⊙M的方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l 的方程；（3）设AP、AQ的方程代入椭圆方程，求得P，Q的坐标，可得直线PQ的方程，令x=0，即可得到直线PQ过定点．解答：解：（1）抛物线y2=8x的焦点F（2，0），∵抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，∴c=2，又椭圆过点D（﹣），∴，得a2=8，b2=4∴所求椭圆方程为；（2）由题意，A（0，2），B（0，﹣2），C（2，0），则设M（m，0），由|MA|=|MC|，可得m2+4=（﹣m）2，∴m=，m2+4=，∴⊙M：（x﹣）2+y2=直线l斜率不存在时，x=﹣直线l斜率存在时，设为y﹣=k（x+）∴d==，解得k=﹣∴直线l为x=﹣或x+12y﹣10=0；（3）显然，两直线斜率存在，设AP：y=k′x+2代入椭圆方程，得（1+2k′2）x2+8k′x=0，解得x=或x=0∴点P（，）同理得Q（，）直线PQ：y﹣=（x﹣）令x=0，得y=﹣=﹣，∴直线PQ过定点（0，﹣）．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，属于中档题．19．（15分）已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，数列{b n}是以q为公比的等比数列．（1）若数列{b n}的前n项的和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜a1003+5b2，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列{b n}中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（3）若b1=a1，b2=a s≠a r b3=a t，（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意知，，由S3＜a1003+5b2﹣2010，得b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010，由此能求出q．（2）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k=b m+b m+1+…+b m+p﹣1，因为，所以b k＞b m+p﹣1，从而得到k≥m+p，由此能推导出这样的项b k不存在．（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=a s=a r+（s﹣r）d，所以d=．由=，知．由此能够证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．解答：解：（1）由题意知，，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，得b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010，∴b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2．（2）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k=b m+b m+1+…+b m+p﹣1，因为，∴b k＞b m+p﹣1，∴2k＞2m+p﹣1，∴k＞m+p﹣1，∴k≥m+p，（*）又∵=b m+b m+1+…+b m+p﹣1=2m+2m+1+…+2m+p﹣1==2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+P，此与（*）式矛盾．所以，这样的项b k不存在．（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=a s=a r+（s﹣r）d，则d=．又∵=，∴，从而．因为a s≠a r，b1≠b2，所以q≠1，又a r≠0，故q=．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，所以q是正整数，且q≥2．对于数列{b n}中任一项b i（这里只要讨论i＞3的情形），有b i=====，由于（s﹣r）（1+q+q2+…+q i﹣2）+1是正整数，所以b i一定是数列{a n}中的项．故数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．20．（15分）已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1∈（0，），求证：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2；（3）设r（x）=f（x）+g（），若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[]，使不等式r（x0）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）≥g（x），知a≤x﹣，（x＞0）．设∅（x）=x﹣，利用导数性质能求出a的范围．（2）由h（x）=x2﹣ax+lnx，知h′（x）=，（x＞0），故，由，知x2∈（1，+∞），且，由此能够证明．（3）由r（x）=f（x）+g（），知=，所以1﹣a+＞k（1﹣a2），设∅（a）=1﹣a++k（a2﹣1），a∈（1，2），∅（1）=1，利用分类讨论思想能求出实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，f（x）≥g（x），∴a≤x﹣，（x＞0）．（1分）设∅（x）=x﹣，∅′（x）=，（2分）当x∈（0，1）时，∅′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，∅′（x）＞0，∴∅（x）≥∅（1）=1，∴a∈（﹣∞，1]．（4分）（2）h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0）（5分）∴，∵，∴x2∈（1，+∞），且，（i=1，2），（6分）∴h（x1）﹣h（x2）=（）﹣（）=（﹣）﹣（﹣）==，（x2＞1）．（8分）设u（x）=x2﹣﹣ln2x2，x≥1，则≥0，∴u（x）＞u（1）=．即．（10分）（3）∵r（x）=f（x）+g（），∴=，，∴r（x）在[，+∞）上为增函数，∴r（x0）max=r（1）=1﹣a+，所以1﹣a+＞k（1﹣a2），（12分）设∅（a）=1﹣a++k（a2﹣1），a∈（1，2），∅（1）=1，有∅（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，∵∅′（x）=（2ka﹣1+2k）．①k=0时，∵，∴∅（a）在a∈（1，2）递减，此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（13分）②k＜0时，∵，∅（a）在a∈（1，2）递减，此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（14分）③k＞0时，∵，若，则∅（a）在区间（1，min{2，}）上递减，此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；（15分）综上得，解得k≥，即实数k的取值范围为[，+∞）．（16分）点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．。

南通市学基地2021届高三数学上学期第一次联考卷附答案解析

C． a c b
D． a b c
【答案】C
【分析】化简 c ab ，根据指数函数、对数函数的性质借助中间值 0 和 1 比较可得．
1
【详解】 a 23 20 1 ，
b
log2
1 3
log2
1
0
，
0
c
ab
21 3
log2
1 3
1
2log
2
1 3
3
1
13 3
1 0 3
1
，
四、解答题
17．在①
3
csinA＝acosC；②tan
C
4
＝2＋
3 ；③a2＋b2＝c2＋
3 ab 这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，并加以解答.
已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 c＝4，B＝105°，
，求 a 和 S.
18．已知数列
an
的前
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
20．如图，已知多面体 ABCDEF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方体，FA⊥底面 ABCD，AF＝2，且 DE ＝ AF (0＜＜1).
（1）求证：CE∥平面 ABF；
（2）若二面角
B—CF—E
5 的大小为
A．2655 万元
B．2970 万元
C．3005 万元
D．3040 万元
9．2019 年 1 月到 2019 年 12 月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下：
1
则下列说法正确的是（） A．2019 年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势 B．2019 年 12 月较 2019 年 11 月公共充电桩保有量增加超过 2 万台 C．2019 年 6 月到 2019 年 7 月，公共充电桩保有量增幅最大 D．2019 年下半年各月公共充电桩保有量均突破 45 万台

2021届江苏省四星级高中高三第一次调研联考数学试题Word版含答案

2021届江苏省四星级高中高三第一次调研联考数学试题卷I(考试时间:120分钟总分:160分）一、填空题:本大题共14小题，每小题 5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.若集合 A={-l,0,1},B={A x x y y ∈=,|2}，则 A ∩B= ▲ . 2.设复数z 满足i iz 22+= (i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ .3.某单位有职工48人，现将所有职工按1,2，3，...,48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知8号、32号、44号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是▲ .4.已知双曲线1222=-b y x (b>0>的离心率为3，则其焦点到渐近线的距离为▲ . 5.如图是一个算法的伪代码，若输出值y=3，则输入值=x ▲ .6.在公差不为0的等差数列{a n }中，Sn 是其前n 项和。

若a 1，a 2，a 6成等比数列，则=56a S ▲ . 7.已知实数y x ,，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--02204201y x y x y x ,则y x z -=2的最大值为 ▲ .8.在区间（―3,3)上随机取一实数a ，则关于x 的不等0<222+++a ax x 的解集为空集的概率为 ▲ .9.将函数)42sin(π+=x y 的图像句右平移ϕ (ϕ>0)个单位长度得到函数)(x f y =的图像,若函数)(x f y =为偶函数，则ϕ的最小值为 ▲ .10.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，则三棱锥A-A 1B 1M 的体积为 ▲ .11.在△ABC 中，已知AB= 3,AC= 1,∠A 的平分线交BC 于D, 且线段AD 的长为433,则=C cos ▲ .12.如图,在平面四边形ABCD 中，AB=2, △BCD 是等边三角形，若1=⋅BD AC ，则AD 的长为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P 。

2021年高三12月第一次联考数学试题 Word版含答案

2021年高三12月第一次联考数学试题 Word 版含答案参考学校：江苏省通州高级中学；江苏省镇江第一中学；江苏省太仓高级中学；江苏省建湖高级中学；江苏省阜宁中学数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上．1. 若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合 ▲ ．2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 ▲ ．3. 函数的单调递减区间为 ▲ ．4. 直线经过两点，那么直线的倾斜角的取值范围是 ▲ ．5. 在中，，且,则边AB 的长为 ▲ ．6. 已知,则 ▲ ．7. 直线：与圆：相交于两点，则“”是“的面积为”的 ▲ 条件.(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一) 8．设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是 ▲ ．（填所正确条件的代号）①为直线； ②为平面； ③为直线，为平面； ④为直线，为平面. 9. 已知，则的值为 ▲ ．AC10. 长方体中，，则四面体的体积为 ▲ ． 11. 在△ABC 中，已知，，，则边的长为 ▲ ． 12．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围为 ▲ ． 13. 函数，当时，恒成立，求 ▲ ．14. 数列、都是等比数列，当时，，若数列唯一，则= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（１）求的最小正周期；（２）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD ⊥底面，，是的中点，作⊥交于点. （１）证明：∥平面；（２）证明：⊥平面.17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．（１）求圆的方程；（２）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（３）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．19．(本小题满分16分)函数．（１）若，求曲线在的切线方程；（２）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（３）设点，，满足，判断是否存在实数，使得为直角？说明理由．20．(本小题满分16分)若数列的各项均为正数，，为常数，且.（１）求的值；（２）证明：数列为等差数列；（３）若，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使1a k，1a p，1a r成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷数学II （附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，过点作⊙的切线FD 交的延长线于点．连结交于点. 求证：.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲设，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（１）求袋中原有白球的个数；（２）求随机变量X 的概率分布及数学期望．23．（本题满分10分）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（１）求展开式的中间项；（２）当时，试比较与的大小.江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间120分钟满分160分】I卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程.共6大题，满分90分）15．（本小题满分14分）解：C 17．（本小题满分14分）19．（本小题满分16分）20．（本小题满分16分）江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间30分钟满分40分】数学II（附加题）21．（本小题满分10分）解：21．（本小题满分10分）22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）江苏省重点中学xx 届高三年级第一次联合考试数学试卷参考答案（Ⅰ）卷一、填空题（每小题5分，共70分）1. 2. 3.（0,1] 4. 5. 16. 7. 充分而不必要 8．③ 9. 10. 611. 12． 13. 14.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15． (本题满分14分)解 (1) ()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C……5分. ………………7分(2)由已知得，………………………………………9分，，………………11分故当即时，；当即时，，………………14分16．(本题满分14分)证明：(1)连结交与，连结.∵底面是矩形，∴点是的中点.又∵是的中点∴在△中，为中位线∴∥.而平面，平面，∴∥平面. ……7分(2)由⊥底面，得⊥.∵底面是正方形，∴⊥，∴⊥平面. 而平面，∴⊥.①∵，是的中点，∴△是等腰三角形，⊥.②由①和②得⊥平面.而平面，∴⊥.又⊥且=，∴⊥平面. ……14分17. (本题满分14分)解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．……5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则≤，……8分所以ax－≤1000＋2x－x－，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立．……11分因为＋≥＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，．……14分18. (本题满分16分)解：(1) ……………4分(2)或………10分（缺少一个方程扣3分）(3)，即恒成立，，从而. …16分注：多等号扣2分，其它方法类似.19. (本题满分16分)解（1）． ……………3分（2）在恒成立， ……………5分设，值域，即在恒成立，，． ……………10分（3），121212()()(1)(1)(ln 1)(ln 1)x m x m mx mx x x =--+++--不存在实数，使得为直角． ……………16分20. (本题满分16分)解：（1）由条件，设令，得①，令，得 ②①—②，得，，……………………………………4分（2）③， ④，④—③，得 ……………………………7分数列为常数数列，，数列为等差数列. ……………10分（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，则由条件，得，又数列的各项为正数，，，.……………………………………12分当k ＝1时，若存在p ，r 使1a k ，1a p ，1a r成等差数列，则1r ＝2p －1＝2－p p ≤0. 与1r >0矛盾．因此，当k ＝1时，不存在． ………………… 14分当k ≥2时，则1k ＋1r ＝2p ，所以r ＝kp 2k －p. 令p ＝2k －1得r ＝kp ＝k (2k －1)，满足k <p <r ．综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在一组p ＝2k －1，r ＝k (2k －1)满足题意． …… 16分（II ）卷21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°．所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ．B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，即；由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，即，解得即＝，逆矩阵是.C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线化为直角坐标方程得：，即，圆心到直线的距离，∴曲线相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-=．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得．解得或（舍去）故袋中原有白球的个数为6.（2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.；；；.23．（本题满分10分）解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，, 当时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> 当时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++猜测：当时， …………………6分以下用数学归纳法加以证明：①时，结论成立， ②设当时，，则时， 21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++由可知，即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当时， …………………10分N40774 9F46 齆$ 25147 623B 戻\ 26848 68E0 棠30505 7729 眩 32653 7F8D 羍U35863 8C17 谗34885 8845 衅。

江苏省南通市四校(四星级学校)2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题

14．已知，则的解析式为___________.
15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________________.
16．已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
【详解】
因为为定义在上周期为2的奇函数，
所以，，
所以，，，，
所以，
所以，即，
所以，，，， .
所以函数在上零点的个数为11.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了函数零点的概念，属于基础题.
7．D
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
3．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
4．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（）
A． B．
C． D．
5．平面向量，，，则向量、夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（）
故选：AB
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，根据集合交并补的结果判断集合间的关系，属于基础题.
10．CD
【分析】
令结合对数函数图象，分类讨论，，时a，b的关系即可知不成立的选项.
江苏省南通市四校（四星级学校）2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

江苏省南通市学科基地2021届高三第一次联考数学试题(含解析)

＝2，点 F 在 AB 上，点 G 在 DC 上，BF＝DG＝1，P 为 DC 的中点．则
A．BF∥PG B．异面直线 AF 与 CG 所成角为 60° C．三棱锥 P—ACG 的体积为 3
2 D．直线 AP 与平面 ADG 所成角的正弦值为 15
10
12．已知函数 f (x) = 3 − 2sin x + sin 2x ，则下列结论正确的是
D．40 种
6．函数 f (x) = sin x 的部分图像可能是 log1 2x − 2−x
2
7．若双曲线 C1： y2 − x2 = 1与双曲线 C2： x2 − y2 = 1的渐近线相同，则双曲线 C1 的离心率
3a
69
为
A． 10 2
B． 15 3
C． 5 2
D． 3 3
8．某市为了改善当地生态环境，2014 年投入资金 160 万元，以后每年投入资金比上一年增
，中国成人的
BMI
数值标准为：BMI＜18.5
为偏瘦；
18.5≤BMI＜24 为正常；24≤BMI＜28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖．某单位随机调查了 100 名员工，测量身高、体重并计算出 BMI 值．
（1）根据调查结果制作了如下 2×2 列联表，请将 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在① 3 sinA＝acosC；②tan(C＋ )＝2＋ 3 ；③a2＋b2＝c2＋ 3 ab 这三个条件中任选 4
一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 c＝4，B＝105°，

江苏省南通市四星级学校四校第一次联考2020-2021学年度上学期高三数学试题

江苏省南通市四星级学校四校第一次联考数学试卷一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上） 1.集合A ={x |x 2-2x -3≤0},B ={x |x >1},A ∩B = ( ) A .(1,3) B .(1,3] C .[-1,+∞) D .(1,+∞)2.王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。

”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A .充要条件B .既不充分也不必要条件C .充分不必要条件D .必要不充分条件 3.函数f (x )=sin x +xco s x +x 2在[-π,π]的图象大致为 ( )4. 若函数f (x )=⎩⎨⎧(3a -1)x +4a (x <1)-ax(x ≥1) 是R 上的减函数，则a 的取值范围为（）A .[18,13)B . (0,13)C . [18,+∞)D . (-∞,18]∪[13,+∞) 5.平面向量a = ( 2 , 1 ) ,|b |= 2 ,a ·b =4,则向量a , b 夹角的余弦值为A.255B.45C.55D.156.y =f (x )为定义在[-5,5]上周期为2的奇函数，则函数y =f (x )在[-5,5]上零点的个数为（）A .5B .6C .11D .127.已知曲线y =a e x +x ln x 在点(1,a e)处的切线方程为y =2x +b ,则 ( )A .a =e,b =-1B .a =e,b =1C .a =e -1,b =1D .a =e -1,b =-18.函数y =|log 2x |的图像为M ,直线l 1:y =m ,l 2:y =82m +1(m >0),l 2,l 1分别与M 相交于C ,A ,B ,D (从左到右),曲线段CA ,BD 在x 轴上投影的长度为a ,b ，当m 变化时ba 的最小值为 ( )A . 72B . 52C . 92D .1 二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上） 9.由选项( )可以得到A ⊆BA .A ∩B =AB .A ∩∁U B =ϕC . A ∪B =AD .B ⊆∁U A10.2018a =2019b ,则下列a ,b 的关系中，不可能成立的有 ( ) A .0<b <aB .a <b <0 C .0<a <bD .b <a <011. 已知函数f (x )=x ln x ,若0<x 1<x 2,则下列选项正确的是（） A .f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0 B .x 1+f (x 1)<x 2+f (x 2)C .x 2f (x 1)<x 1f (x 2)D .当x 2>x 1>1e 时，x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 2f (x 1)+x 1f (x 2)12.若函数f (x )满足：|f (-x )|=|f (x )|,则f (x )可能是（）A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D . 既不是奇函数也不是偶函数三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填涂在答题卡相应的位置上）13.已知命题“∀x ∈R,x 2-4x +a >0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是. 14.已知f (2x+1)=lg x ,则f (x )的解析式为.15. 已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 2+2x (x ≥0)x 2+2x (x <0) 在区间[-1,a -2]上单调递增，则实数a 的取值范围为.16.f (x )=⎩⎨⎧x 2-2ax-a +1 (x ≥0)ln(-x )(x <0) ,g(x )=x 2+1-2a ,若y =f [g(x )]有四个零点，则a 的范围为.四．解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在①f (x )+f (-x )=0，②f (x )-f (-x )=0，③f (-2)=-f (2)这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答. 已知函数f (x )=log 2(x 2+a +x )满足______. （1）求a 的值；（2）若函数g (x )=2f (-x )+1-x 2+1，证明：g (x 2-x )≤54.18. （本小题满分12分）已知函数f (x )=ax 2+(a -2)x -ln x . （1）讨论f (x )的单调性；（2）若对任意x >0，都有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R)，且f (x ) ≤0的解集为[-1,2]. （1）求函数f (x )的解析式；（2）解关于x 的不等式mf (x )>2(x -m -1)(m ≥0)；（3）设g(x )=2f (x )+3x -1，若对于任意的x 1,x 2∈[-2,1]都有|g(x 1)-g(x 2)| ≤M ，求M 的最小值.20. （本小题满分12分）为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系:C (x )=k3x +5(0≤x ≤10,k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)，且f(3)=1.（1）求a的值，并写出函数f(x)的定义域；（2）设函数g(x)=f(1+x)-f(1-x)，试判断g(x)的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式f(t·4x)≥f(2x-t)任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围.22. （本小题满分12分）设f(x)=x sin x+c os x，g(x)=x2+4．（1）讨论f(x)在[-π,π]上的单调性；（2）令h(x)=g(x)-4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．2020-2021学年度高三数学考试答题卡一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）1 2 3 4 5 6 7 8B D D A ACD A 二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 全部选对的得 5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分）9 10 11 12AB CD CD ABCD三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填涂在答题卡相应的位置上）13 14 15 16(4,+∞)f(x)=lg2x-1(x>1)(1,3] (5-12,1)(1,+∞)四．解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）2,1),m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,1)(1,)+∞，())1,+∞，212x x =+-，。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥平面SCD ；（2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈．（1）若a b =，求t 的值；（2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >）设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元．（2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。

高2021届高2018级江苏省南通市四校(四星级学校)高三上学期第一次联考数学试题解析版

2021届江苏省南通市四校（四星级学校）高三第一学期第一次联考数学试题一、单选题1．集合{}2230A x x x =--≤,{}1B x x =>,则A B =（）.A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞【参考答案】B【试题解析】求得集合{}|13A x x =-≤≤,结合集合交集的概念及运算,即可求解.由题意,集合{}{}2230|13A x x x x x =--≤=-≤≤,{}1B x x =>,根据集合交集的概念及运算,可得{}(]|131,3A B x x =<≤=.故选：B.本题主要考查了集合交集的概念及运算,其中解答中正确求解集合A ,结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的 ( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【参考答案】D【试题解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪,非常之观”必是有志之士,故“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的必要条件,故选D. 3．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π,π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【参考答案】D【试题解析】先判断函数的奇偶性,得()f x 是奇函数,排除A ,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案．由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题．4．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为（） A ．1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【参考答案】A【试题解析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.因为函数()f x 是定义在R 上的减函数,所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩,解得1183a ≤<.故选：A.本题考查减函数的定义,一次函数的性质,是基础题.5．平面向量()2,1a =,2b =,4a b ⋅=,则向量a 、b 夹角的余弦值为（） A．B ．45C D ．15【参考答案】A【试题解析】求得a 的值,利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值.设平面向量a 、b 的夹角为θ,()2,1a =,则5a =,由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A.本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值,考查计算能力,属于基础题. 6．()y f x =为定义在[]5,5-上周期为2的奇函数,则函数()y f x =在[]5,5-上零点的个数为（） A ．5B ．6C ．11D ．12【参考答案】C【试题解析】由奇函数的性质及函数的周期性即可得方程()0f x =的解,即可得解.因为()y f x =为定义在[]5,5-上周期为2的奇函数, 所以()00f =,()()2f x f x +=,所以()20f =,()20f -=,()40f =,()40f -=, 所以()()()2f x f x f x +==--, 所以()()11f f =-,即()10f =,所以()10f -=,()30f =,()30f -=,()50f =,()50f -=. 所以函数()y f x =在[]5,5-上零点的个数为11. 故选：C.本题考查了函数奇偶性与周期性的应用,考查了函数零点的概念,属于基础题. 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+,则（） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【参考答案】D【试题解析】通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得a ,将点的坐标代入直线方程,求得b ．ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=,1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-,故选D ．本题关键得到含有a ,b 的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8．函数2log y x =的图像为M ,直线()12:,:8210l y m l y m m +==>,21,l l 分别与M 相交于,,,C A B D （从左到右）,曲线段,CA BD 在x 轴上投影的长度为a ,b ,当m 变化时2log ba的最小值为（） A ．72 B ．52C ．92D ．1【参考答案】A【试题解析】由2log y x =,821,y m y m ==+的图象,分析知821|22|mm a --+=-,821|22|mm b +=-,可得28log 21b m a m =++,应用基本不等式求最小值即可.由题意,可得如下示意图：即,C A 在2log y x =-且01x <<的分支上,令8218(2,)21m C m -++,(2,)m A m -； ,B D 在2log y x =且1x >的分支上,令(2,)mB m ,8218(2,)21m D m ++； ∴821|22|m m a --+=-,821|22|m m b +=-,0m >, 即82122821228log log ||2122mm mm b m a m +--+-==++-218121817221222122m m m m ++=+-≥⋅=++当且仅当32m =时等号成立.故选：A本题考查了对数函数,应用数形结合、基本不等式求目标式的最值,并考察了指对数的运算,属于中档题.二、多选题9．由选项（）可以得到A B ⊆ A ．AB A = B ．UAB =∅C ．A B A ⋃=D ．UB A ⊆【参考答案】AB【试题解析】应用交小并大原则,及Venn 图即可知A B ⊆的等价形式.由集合关系中“交小并大”原则知：A B A A B ⋂=⇒⊆,A B A B A ⋃=⇒⊆,故A 是,而C 不是；UAB =∅,如图示：即A B ⊆； UB A ⊆,如图示：即A B =∅；故选：AB本题考查了集合的包含关系,根据集合交并补的结果判断集合间的关系,属于基础题. 10．20182019a b =,则下列a ,b 的关系中,不可能成立的有（） A ．0b a << B ．0a b <<C ．0a b <<D ．0b a <<【参考答案】CD【试题解析】令201809021a b m ==>结合对数函数图象,分类讨论01m <<,1m =,1m 时a ,b 的关系即可知不成立的选项.令201809021a b m ==>,有20182019log ,log a m b m ==, 而20182019log ,log y x y x ==函数图象如下：当x m =时,01m <<有0a b <<,1m =有0a b ,1m 有0b a <<,故选：CD本题考查了对数函数,利用对数函数的性质,结合函数图象判断参数的大小关系,属于基础题.11．已知函数()ln f x x x =,若120x x <<,则下列结论正确的是（） A ．()()2112x f x x f x < B ．()()1122x f x x f x +<+ C ．1212()-()0f x f x x x <-D ．当121x x e<<时,()()()1122212x f x x f x x f x +> 【参考答案】AD 【试题解析】设()()ln f x g x x x==,函数()g x 单调递增,可判断A ；设()()h x f x x =+,则()2h x lnx '=+不是恒大于零,可判断B ；()f x xlnx =,()1f x lnx '=+不是恒小于零,可判断C ；当1x e>时,1lnx >-,故()10f x lnx +'=>,函数()ln f x x x =单调递增,故()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦,即()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>,由此可判断D.得选项.设()()ln f x g x x x ==,函数单调递增,所以()()21>g x g x ,所以()()2121>f x f x x x ,即有()()1221>x f x x f x ,故A 正确；设()()h x f x x =+,则()2h x lnx '=+不是恒大于零,所以()()1122x f x x f x +<+不恒成立,故 B 错误；()f x xlnx =,()1f x lnx '=+不是恒小于零,所以1212()-()0f x f x x x <-不恒成立,故C 错误；当1x e >时,1lnx >-,故()10f x lnx +'=>,函数()1ln ,f x x x x e=>单调递增, 故()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦, 即()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>,又()()212121ln >ln f x f x x x x x ==,所以()()1221>x f x x f x ,所以()()()211221+>2x f x x f x x f x ,所以有()()()1122212x f x x f x x f x +>,故 D 正确. 故选：AD.本题考查利用导函数研究函数的单调性,判断不等式是否成立,属于较难题. 12．若函数()f x 满足：()()f x f x -=,则()f x 可能是（） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数【参考答案】ABCD【试题解析】由函数奇偶性的概念逐项判断即可得解.对于A ,若()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,所以()()()f x f x f x -=-=, 故A 正确；对于B ,若()f x 是偶函数,则()()f x f x -=,所以()()f x f x -=,故B 正确；对于C ,若()f x 既是奇函数又是偶函数,则()()f x f x -=,故C 正确；对于D ,若()2,1,11,1x x f x x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,则()f x 既不是奇函数也不是偶函数,且()()f x f x -=,所以D 正确. 故选：ABCD.本题考查了函数奇偶性的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.三、填空题13．已知命题“2,40x R x x a ∀∈-+>”的否定是假命题,则实数a 的取值范围是_________________. 【参考答案】()4,+∞【试题解析】根据命题的否定是假命题,则原命题为真命题,然后利用二次函数的性质即可求a 的取值范围．由“2,40x R x x a ∀∈-+>”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式240x x a -+>对任意实数x 恒成立．设24y x x a =-+,则其图像恒在x 轴的上方, 所以1640a ∆=-⨯<, 解得4a >,即实数a 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞.本题主要考查命题真假之间的关系以及全称命题真假的应用,利用二次函数的性质是解决本题的关键．属于较易题.14．已知2(1)lg f x x+=,则()f x 的解析式为___________.【参考答案】2()lg (1)1f x x x =>- 【试题解析】令21t x =+,则21x t =-,代入函数得2()lg 1f t t =-,即求出函数解析式.2(1)lg f x x+=,可知0x >, 令21t x=+,1t >,则21x t =-,2()lg1f t t ∴=-,1t >,即()2()lg 11f x x x =>-. 故答案为：()2()lg 11f x x x =>-.本题考查换元法求函数解析式,属于基础题.15．已知函数222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩在区间[]1,2a --上单调递增,则实数a 的取值范围为_________________. 【参考答案】(1,3]【试题解析】根据()f x 解析式有[1,1]-单调递增,则由题意有121a -<-≤即可得a 的取值范围.由分段函数解析式知：()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减,[1,1]-单调递增, ∴()f x 在[]1,2a --上单调递增,有121a -<-≤,即(1,3]a ∈, 故答案为：(1,3].本题考查了根据分段函数的解析式判断单调性,由区间单调求参数范围,属于简单题. 16．已知函数()()221,0,{?,0,x ax a x f x ln x x --+≥=-< ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点,则实数a 的取值范围是________.【参考答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【试题解析】设()g x t =,令()0f t =方程一定有一根,1t =-,（1）若()min 121g x a =-<-,即1a >时,()1g x =-有两根,2210t at a --+=有两根,10t <（舍去）,20t >,()2g x t =有两根,函数()()y f g x =有4个零点,∴1a >合题意,可验证121,1a a -=-=,方程有5个根,不合题意；当121a ->-,即1a <时,()1g x =-无解,只需2210at at a --+=有两个大于12a -的正根即可,3410,t t a =->∴只需()()2214440121221210a a a a aa a a a <⎧⎪+->⎪⎨>-⎪⎪----+>⎩,1a <<,综上所述,实数a 的取值范围是()1,11,2⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,故答案为()1,11,2⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、复合函数的性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.四、解答题17．在①()()0f x f x +-=,②()()0f x f x --=,③()()22f f -=-这三个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答. 已知函数())()2log f x x a R =∈满足______.（1）求a 的值；（2）若函数()()21f xg x -=+,证明：()254g x x -≤.【参考答案】（1）1,（2）证明见解析.【试题解析】若选择①,（1）根据()()0f x f x +-=,求出1a =；（2）化简()1g x x =-+,求出22()1g x x x x -=-++的最大值可证不等式；若选择②,求不出a 的具体值,故不能选②；若选择③,（1）根据()()22f f -=-,求出1a =；（2）化简()1g x x =-+,求出22()1g x x x x -=-++的最大值可证不等式；若选择①()()0f x f x +-=,（1）因为()()0f x f x +-=,所以))22log log x x +0=,所以)2log xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0=,所以221x a x +-=,解得1a =.（2）由（1）知,)2()log f x x =,)2()log f x x -=,所以)2log ()2111xg x x x =+=+-=-+,所以222()()11g x x x x x x -=--+=-++215()24x =--+54≤. 若选择②()()0f x f x --=,因为()()0f x f x --=,所以))22log log 0x x -=,x x ,所以0x =,0a ≥,此时求不出a 的具体值,所以不能选②；若选择③()()22f f -=-,（1）因为()()22f f -=-,所以))22log 2log 2=-,所以)221=,所以441a +-=,所以1a =.（2）由（1）知,)2()log f x x =,)2()log f x x -=,所以)2log ()2111xg x x x =+=+-=-+,所以222()()11g x x x x x x -=--+=-++215()24x =--+54≤.本题考查了对数的运算,考查了不等式的证明,属于基础题 18．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--,()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >,都有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】（1）当0a ≤时,在()0,+∞上,()f x 是减函数,当0a >时,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,()f x 是增函数；（2）[1,)+∞【试题解析】求出函数的定义域,函数的导数,通过a 的范围讨论,判断函数的单调性即可．（2）对任意x ＞0,都有f （x ）＞0成立,转化为在（0,+∞）上f （x ）min ＞0,利用函数的导数求解函数的最值即可．（1）解：函数f （x ）的定义域为（0,+∞）又()()()()()2/221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--== 当a ≤0时,在（0,+∞）上,f′（x ）＜0,f （x ）是减函数当a ＞0时,由f′（x ）=0得：1x a =或12x =-（舍）所以：在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上,f′（x ）＜0,f （x ）是减函数在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上,f′（x ）＞0,f （x ）是增函数（2）对任意x ＞0,都有f （x ）＞0成立,即：在（0,+∞）上f （x ）min ＞0 由（1）知：当a ≤0时,在（0,+∞）上f （x ）是减函数, 又f （1）=2a ﹣2＜0,不合题意当a ＞0时,当1x a=时,f （x ）取得极小值也是最小值, 所以：11()1min f x f lna a a ⎛⎫==-+⎪⎝⎭令()111u a f lna a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭（a ＞0）所以：()/211ua a a=+ 在（0,+∞）上,u′（a ）＞0,u （a ）是增函数又u （1）=0所以：要使得f （x ）min ≥0,即u （a ）≥0,即a ≥1, 故：a 的取值范围为[1,+∞）本题考查函数的导数的应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力． 19．已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈,且()0f x ≤的解集为[1,2]-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--,(0)m ≥；（3）设()31()2f x x g x +-=,若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有()()12g x g x M -≤,求M 的最小值.【参考答案】（1）2()2f x x x =--；（2）答案见解析；（3）1516. 【试题解析】（1）由题得20x bx c ++=的根为1-,2,即得函数的解析式；（2）整理得(2)(1)0mx x -->,再对m 分类讨论解不等式,即得解；（3）求出1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ,转化为()()-≤max min g x g x M ,求出()1max g x =, 1()16min g x =,即得解.（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-,所以20x bx c ++=的根为1-,2, 所以1b -=,2c =-,即1b =-,2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--,化简有()222(1)m x x x m -->--, 整理得(2)(1)0mx x -->,所以当0m =时,不等式的解集为(,1)-∞, 当02m <<时,不等式的解集为2(,1),⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭m , 当2m =时,不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞,当2m >时,不等式的解集为()2(,)1,-∞+∞m,（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-,根据二次函数的图像性质,有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-,则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==,所以,1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x , 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有()()12g x g x M -≤, 即求()()12max g x g x M -≤,转化为()()-≤max min g x g x M , 而()(1)1==max g x g , 1()(1)16min g x g =-=, 所以,此时可得1516M ≥, 所以M 的最小值为1516.本题主要考查二次不等式与二次函数的关系,考查二次函数的解析式的求法,考查一元二次不等式的解法,考查指数型复合函数的最值的计算,考查不等式的恒成立问题的求解,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值．【参考答案】40k =,因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时,总费用达到最小值为70万元．【试题解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ,由题设,每年能源消耗费用为()35kC x x =+. 再由(0)8C =,得40k =,因此40()35C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+,令'()0f x =,即224006(35)x =+.解得5x =,253x =-（舍去）. 当05x 时,'()0f x ,当510x 时,'()0f x ,故5x =是()f x 的最小值点,对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时,总费用达到最小值为70万元． 21．已知函数()log a f x x =（0a >,且1a ≠）,且()31f =. （1）求a 的值,并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--,试判断()g x 的奇偶性,并说明理由；（3）若不等式()()42xxf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立,求实数t 的取值范围.【参考答案】（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【试题解析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域,再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++,令122xxy =+,利用函数的单调性求函数的最小值即得解.（1）()3log 31a f ==,3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x xf t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x x t +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xx y =+,[]1,2x ∈时该函数为增函数, ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.本题主要考查函数的定义域的求法,考查函数的奇偶性的判定,考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．设()()2sin cos ,4f x x x x g x x =+=+.（1）讨论()f x 在[],ππ-上的单调性；（2）令()()()4h x g x f x =-,试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点. 【参考答案】（1）()f x 的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【试题解析】（1）首先求导得到()cos f x x x '=,再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据2()44sin 4cos h x x x x x =+--,(0)0h =得到0x =是()h x 的一个零点,再根据()h x 是偶函数得到()h x 在R 上的零点个数,只需确定0x >时,()h x 的零点个数即可,再求出()h x 在0x >时的单调性和最值,确定其零点个数即可.()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=,令()0f x '=,则0x =或2x π=±.,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增,,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0f x '<,()f x 单调递减, 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减.()f x ∴的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）2()44sin 4cos h x x x x x =+--,因为(0)0h =,所以0x =是()h x 的一个零点.22()()44()sin()4cos()44sin 4cos ()h x x x x x x x x x h x -=-+-----=+--=所以()h x 是偶函数,即要确定()h x 在R 上的零点个数,需确定0x >时,()h x 的零点个数即可. ①当0x >时,'()24cos 2(12cos )h x x x x x x =-=- 令'()0h x =,即1cos 223x x kx π==+，或23x kx π=-+()k N ∈. (0,)3x π∈时,'()0,()h x h x <单调递减,且2()20393h ππ=+-<, 5(,)33x ππ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增,且2525()20393h ππ=++> ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点②当53x π≥时,由于sin 1x ≤,cos 1≤x . 2()44sin 4cos h x x x x x =+-- 224444()x x x x t x ≥+--=-=而()t x 在5(,)3π+∞单调递增,5()()03t x t π≥>所以()0h x >恒成立,故()h x 在5(,)3π+∞无零点, 所以()h x 在(0,)+∞有一个零点,由于()h x 是偶函数,所以()h x 在(,0)-∞有一个零点,而(0)0h =, 综上()h x 在R 有且仅有三个零点.本题第一问考查利用导数求函数的单调区间,第二问考查利用导数求函数的零点,同时考查了分类讨论的思想,属于难题.。

2021届高三年级南通第一次模拟考试(四)数学含答案

2021届高三年级南通第一次模拟考试(四)数学含答案----a3449718-6ea1-11ec-9ff0-7cb59b590d7d2021届高三年级第一次模拟考试(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：v柱体＝sh，其中s为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合a={-1,0,a}，B={0,a}。

如果B？a、那么实数a的值是___1＋4i2.给定复数Z=，其中I是虚数单位，复数Z的实部为____1－i3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4.根据图中所示的伪代码，输出结果s为__5。

如果学生想从数学建模、飞机模型制作、编程和机器人制作的四个社区中随机选择两个，则选择数学建模社区的概率为___y≥1，??6.如果实数x，y满足？Y≤ 3，则2x―y的最大值为___??x－y－1≤0，x27.在平面直角坐标系xoy中，已知点f为抛物线y＝8x的焦点，则点f到双曲线－16二y2=1的渐近线的距离为___九8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．ππ9.在平面直角坐标系xoy中，设置函数y=sin？2x＋？把图像移到右边？03?2???位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10.如果曲线y=xlnx在x=1和x=t处的切线相互垂直，则正数t的值为___11。

如图所示，铜六角螺母毛坯由正六角棱镜和圆柱组成。

众所周知，正六棱柱体的底边长和高度为4cm，圆柱体的底面积为93cm2。

如果将螺母熔化并铸造成高度为6cm的正三棱柱体零件，则正三棱柱体的底边长为____厘米。

（不包括损失）(第11题)(第12题)12.如图所示，已知矩形ABCD的边长为ab=2和ad=1点P和Q分别位于边缘BC和CD 上，且∠ 帕克→→＝45°，则apaq的最小值为________．13.在平面直角坐标系xoy中，给定点a（-4,0），B（0,4），将两条切线PC和Pd从直线AB上的点P引至圆x2+y2=4，切线分别为C和D。