2004年考研数学一真题及解析

dx 2 x 2 dt x dt 2 dx x2 dt 2 dt
代入原方程，整理得
d 2 y + 3 dy + 2y = 0， dt 2 dt
解此方程，得通解为
y = c1e −t
+ c2 e−2t
=
c1 x
+
c2 . x2
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x = et ，则欧拉方程
ax 2 d 2 y + bx dy + cy = f ( x) ，
y′
x = x0
=
1 x0
= 1，得 x0
= 1 ，由此可知所求切线方程为 y − 0 = 1⋅ (x − 1) ， 即
y = x −1.
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到 .
（2）已知 f ′(e x ) = xe−x ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x) 2 . 2
【分析】 先求出 f ′(x)的表达式，再积分即可。
【详解】 令 e x = t ，则 x = ln t ，于是有
f ′(t) = ln t ， 即
f
′(x)
=
ln
x .
t
x
∫ 积分得 f (x) = ln xdx = 1 (ln x)2 + C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数
x
2
为 f(x)= 1 (ln x) 2 . 2
∫ =π +
π 2
2 sin
2
θdθ
=
3π
.
0
2
【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加 的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11，《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7 .
（4）欧拉方程 x 2 d 2 y + 4x dy + 2y = 0(x > 0) 的通解为 y = c1 + c2 .
【详解】 由 y′ = (ln x)′ = 1 = 1，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 x
y − 0 = 1⋅ (x −1) ， 即 y = x −1.
【 评 注 】 本 题 也 可 先 设 切 点 为 ( x0 , ln x0 ) ， 曲 线 y=lnx 过 此 切 点 的 导 数 为
3AB = 6B + A ， 即 (3A − 6E) B = A，
再两边取行列式，有 3A − 6E B = A = 3，
而
3A − 6E
= 27 ，故所求行列式为 B
1 =.
9
【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A* ，一般均应先
利用公式 A* A = AA* = A E 进行化简。
2004 年数学一试题 详解和评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线 y=lnx 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 y = x −1 .
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可 确定切点的坐标。
【详解】 正向圆周 x 2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分，可表示为
⎧x = 2 cosθ , ⎨ ⎩ y = 2 sin θ ,
θ :0→π . 2
π
∫ ∫ 于是 xdy − 2 ydx = 2 [ 2 cosθ ⋅ 2 cos θ + 2 2 sin θ ⋅ 2 sin θ ]dθ
L
0
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⎢⎣0 0 1⎥⎦
阵，E 是单位矩阵，则 B = 1 . 9
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【分析】 可先用公式 A* A = A E 进行化简
【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得
ABA* A = 2BA* A + A ， 而 A = 3 ，于是有
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9
（6）设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，则 P{X >
DX }=
1
.
e
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计
算即可。
【详解】 由题设，知 DX = 1 Байду номын сангаас于是 λ2
∫ P{X >
DX }= P{X
∫ ∫ ∫ （7）把 x → 0+ 时的无穷小量 α =
x cos t 2 dt, β =
x2
tan
tdt,γ =
x sin t 3 dt ，使
0
0
0
排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
> 1} = λ
+∞ 1
λe
−
λ
x
dx
λ
= − e −λx
+∞ 1
1 λ
=. e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再
去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
dx2
dx
可化为
a[ d 2 y − dy ] + b dy + cy = f (et ). dt 2 dt dt
完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题.，《考研数学大串讲》P75 例 12.
⎡2 1 0⎤
（5）设矩阵
A
=
⎢ ⎢
1
2
0⎥⎥ ，矩阵 B 满足 ABA* = 2BA* + E ，其中 A* 为 A 的伴随矩
dx 2
dx
x x2
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x = et 化为常系数线性齐次微分方
程即可。
【详解】 令 x = et ，则 dy = dy ⋅ dt = e−t dy = 1 dy ，
dx dt dx
dt x dt
d2y =−
1
dy 1 d 2 y dt
+
⋅
=
1 [ d 2 y − dy ] ，
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题.
∫ （3）设 L 为正向圆周 x 2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy − 2 ydx 的 L
值为
3 π
.
2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。