《高三数学标准差》PPT课件

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甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于
，
x甲7 x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有 什么差异吗?
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1
频率
0.3
0.2
0.1 频率
4 5 6 7 8 9 10
从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质 量判断,与我们抽取的内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这 名工人生产的零件中获取许多样本(为什么?).这样,尽管总体是同 一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数,标准差等都 会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的的代 表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时, 对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随 机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误 的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键 还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.
解:用计算器计算可得:
x甲25.400,5x乙25,400;8
s甲0.03,8s乙0.074
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从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接 近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看, 由于
s甲s乙，因此甲生产的 比零 乙件 的内 稳径 定程 。度
于是可以作 ，甲 出生 判产 断的零件 乙的 的质 高量 。一比
环数
(甲)
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10
环数
(乙)
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直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩
相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来 考察这两组数据.例如:在作统计图,表时提到过的极 差.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息. 显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可 以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的 统计策略.
x1xx2xxnx
S
.
n
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常 改用如下公式来计算标准差．
s1 n (x1x )2(x2x )2 (xnx )2 .
一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图 表示:
考虑一个容量为2的样本:
x1x2,其样本的 x22 标 x1,记 准 ax差 22 x1.为
乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不 同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,
在关于居民月均用水量的例子中,平均数x 1.973
标准差s=0.868 ,所以
xs 2.84,1x2s 3.709
xs 1.10,5x2s 0.237.
2.2.2 用样本的数字特征估计总 体的数字特征
2.标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有时 也会使我们作出对总体的片面判断．因为这个平均数掩盖了 一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的．因此， 只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次， 每次命中的环数如下：
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分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体,
由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可 以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数 与内径标准尺寸25.00mm的差异在时质量低,差异小时质 量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差 小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样比较两人的 生产质量只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两 个总体的平均数与标准差的大小即可.但是这两个总体的平 均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想, 我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据,然后比较这两 个样本的平均数,标准差,以此作为两个总体之间的估计值.
(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
解:四组样本数据的直方图是:
频率
1.0 0.9 0.8
x5
0.7
0.6
0.5 S=0.00
0.4
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45 6 7 8
h (1)
6
频率
1.0 0.9
x5
0.8 0.7
S=0.82
0.6
0.5
0.4
考察样本数据的分散程度是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本 x1,x2,数 .x.n.,x 据 表是 示这组数 。ix到 据 x 的 的距 平 ：离 均是 数
xi x(i 1,2, h ,n).
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于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
这 1个 00数 ，在 据 区 x 2 中 s,x 间 2 s 0 .2,3 .77 0 外 9的 4 个 。只有
也就是，说 x2s,x2s几乎包含了所有 据。样本数 从数学的 ，人 角们 度有 考时 虑用 方 s标 2方 准差 差来 的代 平替标准作为
测量样本数 的据 工 :分 具散程度
s21 n (x 1x )2 (x2x )2 (xnx )2 .
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例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件 中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39
s甲
s乙 4 5 6 7 8 9 10
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例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45 6 7 8
(2)
频率
1.0 0.9 0.8
x5
0.7
0.6 S=1.49
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45 6 7 8
频率
1.0 0.9
x5
S=2.83
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
h 0.1
7
o 12 3 4 56 78
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82,
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4
a
x1
x1 x2
x2
2
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据 的离散程度越小.
用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
s甲2，s乙1095
由 s甲 s乙 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散
程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系可用 图直观地表示出来.