吉林省吉林市桦甸市第四中学高一下学期期末数学试题(解析版)

吉林省吉林市桦甸市第四中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．22sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12-C D ． 【答案】C【解析】用诱导公式化简求值． 【详解】22222sin()sin(8)sin 3332ππππ-=-+==． 故选：C ． 【点睛】本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题基础．2．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】B【解析】利用分层抽样的定义和方法求解即可. 【详解】设应抽取的女生人数为x ，则25360540360x =+，解得10x =． 故选B 【点睛】本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ） A ．1920B ．16C ．120D ．195【答案】B【解析】由随机事件的概念作答．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现正面朝上的点数为4，这个事件是随机事件，每次抛掷出现的概率是相等的，都是16，不会随机抛掷次数的变化而变化． 故选：B ． 【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题． 4．已知扇形AOB 的圆心角3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．6D ．12【答案】A【解析】可先由弧长计算出半径，再计算面积． 【详解】设扇形半径为R ，则23R ππ=，6R =，12662S =⨯π⨯=π． 故选：A ． 【点睛】本题考查扇形面积公式，考查扇形弧长公式，掌握扇形的弧长和面积公式是解题基础．5．函数()f x = ）A ．2,2()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．522()1212k k k Z ππππ⎡⎤+⋅+∈⎢⎥⎣⎦ D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】根据偶次根式可得1sin 22x ≥，再结合正弦函数的图像列式可解得结果. 【详解】因为()f x =2sin210x -，即1sin 22x ≥， 解得5()1212k x k k Z ππππ++∈. 故选：D本题考查了求含偶次根式的函数的定义域，考查了利用正弦函数的图像解三角不等式，属于基础题.6．已知向量()2,0a =，1=b ，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】利用向量夹角公式直接求解即可得到结果. 【详解】由()2,0a =得：2=a 1cos ,2a ba b a b⋅∴<>==-[],0,a b π<>∈ 2,3a b π∴<>=本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是熟练掌握利用数量积求夹角的公式，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，则输出的n =( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1S=2，n=2满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=5此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n的值为5．故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈【答案】B【解析】本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数()f x 的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，最后通过函数()g x 的解析式求出函数()g x 的单调递增区间，即可得出结果．【详解】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫⎪⎝⎭、最大值为3， 所以A 3=,2T ππω==，ω2=，553sin 231212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23k k Z πϕπ=-+∈，所以取0k =时，函数()f x 的解析式为()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度得()3sin 23sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时，即()5,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 单调递增，故选B ． 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数()()sin f x A x ωϕ=+向左平移n 个单位所得到的函数()()sin g x A x n ωϕ⎡⎤=++⎣⎦，考查推理论证能力，是中档题．9．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是( )A ．87,9.6B ．85,9.6C ．87,5,6D ．85,5.6【答案】D【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差． 【详解】 平均数8284848689855x ++++==，方差()()()()()22222282858485848586858985 5.65s -+-+-+-+-==，选D.【点睛】本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知向量a ，b 满足(,1)a m m =+，(3,4)b =-，且a 在b 方向上的投影是－1，则实数m =（ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】A【解析】由投影的定义计算． 【详解】 由题意2213(4)a b b⋅==-+-，解得1m =．故选：A ．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，掌握向量投影的定义是解题关键．11．已知042a ππβ<<<<，且sin cos αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A ．B ．CD 【答案】D【解析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455=+= 故选D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.12．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的最小值是12-，由余弦函数性质可得． 【详解】由题意()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的最小值是12-， 又21()3cos()13cos 163332f ππππ-=--+=+=-， 由13cos(2)132x π-+≥-，得1cos(2)32x π-≥-， 22222333k x k πππππ-≤-≤+，,62k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 0k =时，62x ππ-≤≤，所以62m ππ-<≤．故选：A ． 【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．二、填空题13．已知向量()3,a m =，()2,2b m =-+，若a b ，则m =__________． 【答案】65-【解析】由题得()322m m +=-，解方程即得解. 【详解】因为a b ，所以()322m m +=-，解得65m =-．故答案为65- 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14．当2a =，5b =时，执行完如图所示的一段程序后，x =______.【答案】32【解析】模拟程序运行，可得出结论． 【详解】2,5a b ==时，满足a b <，所以5232x ==．故答案为：32． 【点睛】本题考查程序框图，考查条件结构，解题时模拟程序运行即可． 15．若函数()4sin 2,[0,]6f x x x ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________. 【答案】[4,6)【解析】作出函数的图像，根据图像可得答案. 【详解】因为[0,]x π∈，所以5[,]666x πππ-∈-，所以1sin()[,1]62x π-∈-，所以()f x ∈[0,6]， 作出函数的图像，由图可知[4,6)m ∈故答案为：[4,6) 【点睛】本题考查了正弦型函数的图像，考查了数形结合思想，属于基础题. 16．已知点P 是ABC 所在平面内的一点，若1142AP AB AC =+，则APCAPBS S =△△__________． 【答案】12【解析】设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点，由1142AP AB AC =+得到PF PC =-，再进一步分析即得解. 【详解】如图，设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点， 因为1142AP AB AC =+， 所以可得()()1142AP AP PB AP PC =+++， 整理得20PA PB PC ++=.又2PA PB PF +=， 所以PF PC =-，所以APC APF S S =△△， 又12APF APB S S =△△，所以12APC APB S S =△△． 故答案为12【点睛】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.三、解答题17．已知向量()3,4a =，()4,2b =.（1）当k 为何值时，2ka b +与2a b -垂直？（2）若2AB a b =+，BC a b μ=+，且,,A B C 三点共线，求μ的值. 【答案】（1）43k =-；（2）12μ=.【解析】（1）利用坐标运算表示出2ka b +与2a b -；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出,AB BC ，根据三点共线可知//AB BC ，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】（1）()238,44ka b k k +=++，()22,6a b -=2ka b +与2a b -垂直()()2261624240ka b a b k k ∴+⋅-=+++=，解得：43k =-（2）,,A B C 三点共线 //AB BC ∴()210,10AB a b =+=，()34,42BC a b μμμ=+=++()()104210340μμ∴+-+=，解得：12μ=【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线. 18．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案： 方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．（1）分别写出两种方案中推销员的月工资y （单位：元）与月销售产品件数x 的函数关系式；（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．【答案】（1）3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩N N；（2）方案一概率为16,方案二概率为38.【解析】（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资y 与x 的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值． 【详解】解：（1）方案一：152000y x =+，x ∈N ； 方案二：月工资为3500,300,30(300)3500,300,x x Ny x x x N∈⎧=⎨-+>∈⎩,所以3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩NN . （2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则15200011090x +>，解得606x >， 所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为41249546P ==++++；方案二中推销员的月工资超过11090元，则30(300)350011090x -+>，解得553x >， 所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为543249548P +==++++．【点睛】本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题． 19．已知函数()3cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）1a =；（2）最小正周期为23T π=,单调递增区间为222,3939k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）因为239f π⎛⎫=⎪⎝⎭223cos 3399a a ππ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简解方程即得1a =．（2）由（1）可得()3cos312sin 316f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭求出函数的最小正周期，再利用复合函数和三角函数的图像和性质求函数的单调递增区间得解. 【详解】解：（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭223cos 3399a a ππ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3322a a ++=，即33322a +=，解得1a =．（2）由（1）可得()3cos312sin 316f x x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为23T π=． 令232262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得2223939k k x ππππ-≤≤+，k Z ∈， 故()f x 的单调递增区间为222,3939k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角求值，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.20．某销售公司通过市场调查，得到某种商品的广告费x （万元）与销售收入y （万元）之间的数据如下：（1）求销售收入y 关于广告费x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的成本（除广告费之外的其他费用）为2x 万元，利用（1）中的回归方程求该商品利润W 的最大值（利润=销售收入－成本－广告费）.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）9.4 1.8y x =+；（2）19.44（万无）【解析】（1）先求出,x y ，然后求出回归系数，得回归方程；（2）由回归方程得估计销售收入，减去成本得利润，由二次函数知识得最大值． 【详解】 （1）由题意124534x +++==，10224048304y +++==，所以22222(20)(1)(8)1102189.4(2)(1)12b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯==-+-++，309.43 1.8a =-⨯=，所以回归方程为9.4 1.8y x =+；（2）由（1）229.4 1.88.4 1.8W x x x x x =+--=-++2( 4.2)19.44x=--+，所以 4.2x =（万元）时，利润最大且最大值为19.44（万元）． 【点睛】本题考查求线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查了学生的运算求解能力． 21．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--. （1）若()f x在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值；（2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）4π（2）4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在0,2⎡⎤⎣⎦的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增， 令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增， 所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π.（2）()()sin cos 21g x x x af x =-+-()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，设πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦.它的图形如图所示.又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡⎤∈⎣⎦，令()21122h t t at =-+-，则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②2()h t 3202a -=，得324a =，把324a =代入211022t at -+-=中，得2110242t -+-=，解得1t =，22t =，不符合题意. ③当零点在区间(时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意；若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在)+∞内，所以()()10000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得4a >综上，a的取值范围为4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。