吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学答案
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(四)数学【文】试题(Word版含答案))
长春市普通高中2019届高三质量监测（四）数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设全集{|0}U x x =∈>R，函数()f x =A ，则U A ð为A. (,)e +∞B. [,)e +∞C. (0,)eD. (0,]e2. 复数12,z z 满足12||||1z z ==，12||z z +12||z z -=A. 1C. 2D. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下①若l α⊥，αβ⊥，则//l β； ②若//l α，//αβ，则//l β； ③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥. 其中正确A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A. 1030020(())a x a x a a x +++的值B. 3020100(())a x a x a a x +++的值C. 0010230(())a x a x a a x +++的值D. 2000310(())a x a x a a x +++的值4. 已知x 、y 取值如下表：A. 0.95B. 1.00C. 1.10D. 1.15 5. 已知p ：“函数()f x 为偶函数”是q ：“函数(())g fx 为偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 163π+B. 326π+C. 6412π+D. 646π+侧视图7. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =，则A =A.6π B. 3πC.23π D.56π 8. 函数||()x f x x e =⋅的大致图象为9. 若等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，且11121a a <-，则当n S 取最大值时，n 的值为 A. 10B. 11C. 12D. 1310. 已知,x y 满足041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，且12z x y =+的最大值是M ，最小值是m ，若 3Ma mb +=(,a b 均为正实数)，则21a b+的最小值为 A. 4 B. 92 C. 8 D. 911. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30，则双曲线C 的离心率是B. 2D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 12. 已知向量(1,2)x =-a ，(2,2)y =b ，且⊥a b ，则||+a b 的最小值为________. 13. 已知函数()sin(2)3f x x π=+与()g x 的图象关于直线6x π=对称，将()g x 的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后与()f x 的图象重合，则ϕ的最小值为__________.14. 给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好.其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）. 15. 如图，在三棱锥A BCD -中，ACD ∆与BCD ∆都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16. （本小题满分12分） 如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β. (1) 求BC 的长；(2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度.17. （本小题满分12分）(1) 若将API 考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率； (2) API 值对部分生产企业有着重大的影响，，假设某企业的日利润()f x 与API 值x 的函数关系为：40150()15150x f x x ()⎧=⎨(>)⎩≤（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出5天，再从这5天中任取3天计算企业利润之和，求利润之和小于80万元的概率.18. （本小题满分12分）1AA ⊥平在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱面ABC ，D 为棱11A B 的中点，E 为1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. (1) 求证：EF 平面1BC D ；A 1B 1C 1ABCEDAE DCBαβθ(2) 求点D 到平面1EBC 的距离.19. （本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.20. （本小题满分12分） 已知函数1ln ()xf x x+=. (1) 若函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2) 如果当1x ≥时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 21. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BD AD ⊥，与该圆交于点E，若AD =2DE =.(1) 求圆O 的半径；(2) 若点H 为BC 中点，求证,,O H E 三点共线.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.(1) 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.长春市普通高中2019届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C简答与提示：【【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A.【【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -，故选B.【【试题解析】A 易知③正确，故选A. 【【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.【【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C . 【【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A. 【【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C. 【【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A ，故选A. 【【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A. 1. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B. 【【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 【【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e = C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π简答与提示：【【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+，故||a b +的最小值为3.【【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.【【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.【【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π.三、解答题2. (本小题满分12分)【【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒(12分)【【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)【【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则11132C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =，EB =1BC =，则1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==h =(12分)【【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k -， 从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)【【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-， 则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)【【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC =AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==.(5分)(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)【【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离2)|4d πα+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1.(10分) 【【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥， 从而实数4m ≥.欢迎访问“高中试卷”——。
吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第四次调研测试语文答案
吉林市普通中学 2018—2019 学年度高中毕业班第四次调研测试参考答案及赋分说明四调仲裁名单13（1）吉林市第十三 中学 李 艳 舒兰市实验中学 校 周海艳 吉林市田家炳 高中 李 玲 题 磐石市第一中 学胡 杨 永吉四中 程 重 吉林松花江中 学 刘莉 13（2）桦甸市第八中 学 董云杰 蛟河市第二高级 中学校 张 杨 蛟河市实验中 学 安嵘辉 题 吉林市实验中 学闫春生 磐石五中 赵 敏 桦甸市第一中 学 宋 冰 诗歌 舒兰二中 李 娟 吉林市第二中学 周 瑛 吉林四中 梁 红 磐石二中 潘 莉 李海娜 郝 岩 22 题吉化第一高级 中学 王春光 吉林市第十二中 学 郑晓楠 永吉实验高中 张桂芳 蛟河一中江玉环 吉林一中 李海波 舒兰一中 兰 艳写作 吉林毓文中学 张慧武 桦甸四中 杨 洁 1．（3 分）C （A “近”应是“迈过” ，“人数”应是“人次” ，后一句少了“在过去一年里” ；B 原文为并列关系，而非因果关系；D 还包括中华优秀传统文化所积淀的经典价值观在当代 土壤中的根深蒂固。
）2．（3 分）B （“目的在于分析电影流浪地球取得巨大成功的原因”有误，本文的目的在于文艺作品创作的艺术倾向问题。
）3．（3 分） C （A.“人类”说法扩大原文信息，应指我们国内B. 是没有获得观众的普遍认可 D.“并非是”在原文中是“应该是” 。
）4．（3 分）D （“关系不大” ，有误。
）5．（3 分）C （A 应为“供给侧结构性改革是实现绿色发展的重要途径”。
B 少定语，是一些 发达国家。
D “民间环保组织的作用是关键”无中生有。
6. （6 分）（1）理念 : （2 分）①坚持通过供给侧结构性改革，加大经济能源、文化科技、制度体系的绿色供给， 绿色发展的以人本自然观。
②绿色发展必须坚持整体施策，形成全方位全地域持续推进机制。
（2）制度：①提高企业进驻的环境门槛，实现从“招商引资”向“招商选资”的转变。
吉林省吉林市2020届高三第四次调研测试数学(文)试题含解析
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学一、选择题1. 设集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =( )A. {}1,2B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D.1,0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，因此，{}0,1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 复数2z i =-，i 为虚数单位，则z =( ) 3 B. 265【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】2z i =-，因此，()22215z =+-=.故选：D.【点睛】本题考查复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.3. 一组数据12，13，x ，17，18，19的众数是13，则这组数据的中位数是（ ） A. 13 B. 14C. 15D. 17【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的概念可以求出13x =，再根据中位数的概念求解即可．【详解】解：因为数据12，13，x ，17，18，19的众数是13，所以13x =，则这组数据的中位数是1317152+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算，属于基础题． 4. 函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ） A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y -+=D.210x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程. 【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x -1),即：10x y ++= 故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x=B. y tanx =C. x xy e e -=-D.2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x xf x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又xy e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增， 所以函数xxy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出 s 的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（ ） A. 704立方尺 B. 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C . 因为2C r π=，所以2Cr π=， 所以2222248114412C C h V r h h ππππ⨯==⨯⨯==2112=（立方尺）. 故选B 项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.8. 若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D 【解析】 【分析】分别求出抛物线焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D .【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.9. 在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，12B π=，33c =，则a =（ ） A. 2 B. 22C. 32D. 42【答案】C 【解析】 【分析】先求得C ，然后利用正弦定理求得a .【详解】因为,412A B ππ==，所以23C A B ππ=--=，所以233sin 232sin 3c A a C ⨯===.故选：C【点睛】本题考查解三角形，考查运算求解能力.10. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A. 36B. 6C. 553【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ EC ，同理1//AE QC ， 所以四边形1AEC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B CE =， 即1EC EB ==所以115,23AE EC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AE EC AC AEC AE EC +-∠==⨯ 所以126sin AEC ∠=所以S 四边形1AEQC 1112sin 262AE EC AEC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 12. 已知函数2*3()sincos3sin [1,],6662xxxf x x a a πππ=-+∈-∈N ，若函数()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】A 【解析】 【分析】化简函数()sin 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数性质，结合图象求解.【详解】函数2313()sincos3sin sin cos sin 66323333xxxx x f x x πππππππ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为263T ππ==，又()f x 图象与直线1y =至少有2个交点，即函数()f x 在[1,]a -上至少存在两个最大值，如图(1)7.54Ta T --+=， 6.5a ， 所以正整数a 的最小值为7.故选：A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解. 二、填空题13. 已知向量()1,2a =，()1,b λ=-，若a ∥b ，则实数λ等于__________． 【答案】2- 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为a ∥b ，由平面向量平行的坐标表示可得，()1120λ⨯--⨯=，解得2λ=-.故答案为：2-【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示；考查运算求解能力；属于基础题.14. 若x，y 满足约束条件3003x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为_____．【答案】92【解析】 【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x y +的最小值． 【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 令2x y z +=，2y x z =-+，显然当平行直线过点3(2A ，3)2时，z 取得最小值为：39322+=； 故答案为：92．【点睛】本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值. 15. 若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．【答案】34【解析】【分析】由条件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论． 【详解】∵12sin cos sin cos αααα+=-，∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα ∴sinα=﹣3cosα ∴tanα=﹣3∴tan2α=221tan tan αα-=619--=34 故答案为34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键． 16. 如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点,E F ，在得到的截口曲线上任取一点A ，过点A 作圆锥母线，分别与两球相切于点,C B ，由球与圆的几何性质，得AE AC =，AF AB =，所以2AE AF AC AB BC a +=+==，且2a EF >，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点,E F 为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为______.【答案】53【解析】 【分析】根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长，再代入离心率方程，即可得答案； 【详解】如图所示，根据题意可得椭圆上的点A 到两个切点的距离等于BC ，104623BC a a =-==⇒=，242b b =⇒=，∴2253332c e a===-，故答案为：5. 【点睛】本题考查数学文化、椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题17. 在三棱柱111ABC A B C -中，2,120AC BC ACB ==∠=︒，D 为11A B 的中点.（1）证明：1//A C 平面1BC D ；（2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为23三棱锥11B A C D -的体积. 【答案】（1）见解析;（2）14. 【解析】【详解】试题分析：（1）连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE A C ，所以1//AC 平面1BC D .（2）取AC 中点O ，连接1A O ，过点O 作OF AB ⊥于F ，连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1A O ⊥平面ABC ，所以1A O AB ⊥，所以AB ⊥平面1A OF ，所以1AB A F ⊥.利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析：（1）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE A C ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D . （2）解：取AC 的中点O ，连接1A O ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F . 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A A C =，所以1A O ⊥平面ABC ，∴1A O AB ⊥，1AO OF O ⋂=，∴AB ⊥平面1A OF ， 则1A F AB ⊥.设1AO =h ，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒， ∴23AB =12OF =，2114A F h =+ 由1121334A ABB S h =+=13A O h ==. 则1111A BC D B A C D V V --= 11113BA C D AO S =⨯⨯ 13112322=⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=. 所以三棱锥11A BC D -的体积为14. 18. 在等差数列{}n a 中，已知273,8==a a .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若512=nS ，求n 的值. 【答案】（1）1n a n =+（2）10n = 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出数列的公差和首项即可得到通项公式； （2）利用裂项求和求出n S ，根据等式解方程即可得解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为273,8==a a ， 所以7255-==a a d ，解得1d =， 由113a +=，解得12a =， 所以1n a n =+（2）由（1）得()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S n n n . 令1152212-=+n ，解得10n =. 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，求解通项公式，利用裂项求和根据等式求解项数. 19. 一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。
吉林长春2019高中毕业生第四次调研测试-数学(文)
吉林长春2019高中毕业生第四次调研测试-数学（文）数 学(文科)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，总分值150分.考试时间为120分钟，其中第二卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 本卷须知1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第一卷〔选择题，共60分〕【一】选择题〔本大题包括12小题，每题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有．．一．项为哪一项．．．．．符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上〕. 1. 计算ii -+11等于A.iB.i -C.1D.1-2. 集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y y x A ==∈，那么AB =A.{1}B.{1,2}C.{3,1,2}-D.{3,0,1}- 3. 以下函数既是奇函数，又是增函数的是 A.2log y x = B.3y x x =+ C.3x y =D.1y x -=4. 等差数列}{n a 的公差为3，假设842,,a a a 成等比数列，那么4a =A.8B.10C.12D.165. 某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是A.4B.5C.6D.76. 锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1( +P ，那么锐角α=A. 80B. 70C. 20D.107. 函数()sin()(0,,)2f x A x x R πωφωφ=+><∈的部分图开始k =0S =100<S =+k =+是像如图，那么A.()4sin()84f x x ππ=-+B.()4sin()84f x x ππ=-C.()4sin()84f x x ππ=--D.()4sin()84f x x ππ=+8. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，那么甲、乙都不在两边的概率为A.121B.16C.124D.149. 假设椭圆2213x y m+=与直线220x y +-=有两个不同的交点，那么m 的取值范围是A.1(,3)4B.(3,)+∞C.1(,3)2 D .1(,3)(3,)4+∞10. 函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，当3(,0)2x ∈-时，2()log (1)f x x =-，那么(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=A.0B.1C.-1D.211. 在ABC ∆中，120BAC ∠=，2AB =，1AC =，点P 满足BP BC λ=(01)λ≤≤，那么⋅-2的取值范围是A.1[,3]4B.1[,5]2C.15[2,]4-D.13[,5]412. 某几何体的三视图如下图，这个几何体的内切球的体积为A.π34 B.π)32(4-C.π2734 D.π98第二卷〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.【二】填空题(本大题包括4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 假设实数y x ,满足不等式组20y xx y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，那么目标函数y x z 3+=的最大值为.14. 为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间〔h 〕，画出右边频率分布直方图，该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为___________. 15. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=，30BDC ∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，那么塔的高度AB =__________米.16. 函数()lg f x x =和()10x g x =的图像与圆2220x y +=在第一象限内的部分相交于11(,)M x y 和22(,)N x y 两个点，那么2212y y +=__________. 【三】解答题〔本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕.17. 〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设nS b n n 132+=，求数列{}n b 的最小值项. 18. 〔本小题总分值12分〕直三棱柱111C B A ABC -中，CB AC ⊥，D 为AB 中点，31==AC A A ，1=CB.⑴求证：1BC ∥平面CD A 1；⑵求三棱锥DC A C 11-的体积. 19. 〔本小题总分值12分〕为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行问卷调查后得到了如下的列联表喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5 女生 10 合计50在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱篮球的学生的概率为0.6. ⑴请将上面的列联表补充完整；⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系； ⑶喜爱打篮球的10位女生中，54321,,,,A A A A A 还喜欢打羽毛球，321,,B B B 还喜欢打乒乓球，21,C C 还喜欢踢足球。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：12题解答：222[(2)][ln (1)]b a b a m m --+--≥-恒成立，左端为点(),ln P b b 与点 (2,1)Q a a --距离平方，因为,P Q 分别在曲线:ln C y x =及直线:1l y x =+上，由11y x'==得1x =，故与l 平行且与:ln C y x =相切的切点为（1,0）所以PQ 最小值22d ==，所以22m m -≤，解得12m -≤≤。
故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13：4 ；14：3 ;15.54；16. 19π三、解答题 17解答：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=，所以有112421014a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，---------------------------------------------4分所以2(1)1n a n n =+-=+；---------------------------------------------5分(1)22n n n S n -=+21(3)2n n =+。
---------------------------------------------6分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACDCBDBDCABB（Ⅱ）由（1）知211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++，----------------------------------------------9分 所以111111(1232435n T =-+-+-+ 1111...)112n n n n +-+--++1111(1)2212n n =+--++----------------------------------------------11分 34<----------------------------------------------12分18解答：(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为： 850.12950.161050.321150.201250.121350.08107.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8 -----------------------------3分（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为500.210⨯=。
吉林省长春市2019年高三质量监测(四)数学(文)试题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法分别列举出总的基本事件、以及满足题中条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求结果.
【详解】用 表示两次朝下面的数字的结果：
由题意可得 可能出现的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共16个基本事件；
满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个基本事件，
联立直线和抛物线的方程得 ，
所以 ，
所以抛物线的准线方程为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知复数 ，则 的模等于__________，它的共轭复数为__________.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【详解】因为“ ”，则“ ”；但是“ ”不一定有“ ”.
所以“ ”，是“ ”成立的充分不必要条件．
故选A.
【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：
①定义法：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
②构造命题法：“若 ，则 ”为真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
10.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆 和 ，之间距离为 步，两标杆的底端与海岛的底端 在同一直线上，从第一个标杆 处后退123步，人眼贴地面，从地上 处仰望岛峰， 三点共线；从后面的一个标杆 处后退127步，从地上 处仰望岛峰， 三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)
2018四模(文数)答案
2018届高三质量监测（四）长春市普通高中 数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共 12小题，每小题 1. C7. C 2. D 8. A 3. B 9. D 5分，共60分) 4. B 10. C 5.B 11. A 6. B 12. D简答与提示: 1. 2. 【命题意图】 【试题解析】 【命题意图】 【试题解析】本题考查集合的运算. C B ={1, —3}, A n (e R B) ={ —1,3}.故选 C. 本题考查复数的分类. D z (1—i )(帕)+1+ i 3)…卄 D Z= ----------------------- = -------------------- ,3 = —1.故选 D.3. 4. 5. 【命题意图】 【试题解析】 【命题意图】【试题解析】 【命题意图】 【试题解析】 2 2 本题考查等高条形图问题. B 由等高条形图知，药物 A 的预防效果优于药物B 的预防效果.故选B. 本题主要考查平面向量数量积的几何意义 .B 3在b 方向上投影为I 3| cos <a,b >=-J 10.故选B. 本题主要考查三角函数图像及性质的相关知识.B 根据图像可知f （x ）=s in （x + Z ），故f&） = 3 3 —.故选B. 26. 【命题意图】 【试题解析】 本题考查等差数列的相关知识.B 由题意知3, +印4 =0，故04= 0 ,由等差数列公差小于 0，从而 S n 取最大值时n 7. =7.故选B.【命题意图】 【试题解析】 8.【命题意图】 【试题解析】当直线过点 9. 【命题意图】 【试题解析】 本题主要考查空间中线线与线面之间的位置关系问题.C 由题意可知 AE 丄BC,BC / /B 1C 1，故选C.本题主要考查线性规划的相关知识 .A 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为 （4,6 ）时，有最大值，将点代入得到 Z =43中6 =18= 3=3，故选A. 本题考查框图的应用. D 由题意知i = 0时X = x 0，i =1时X =1 -丄，i = 2时X =1 -X 0y = -ax + z ,10. 11. b 212. 以此类推可知 【命题意图】 【试题解析】 【命题意图】 【试题解析】X ox 2018=1 -------- 0— = —1， X 0 = 2 .故选 D.X 0 -1本题主要考查三视图的相关问题 .C 将该几何体直观图画出后，可确定其体积为 本题考查双曲线的相关知识 .A 由题意可知 I PA 1 |2=|F 1F 2 I A 1F 2 I ，从而=a 2,故离心率 【命题意图】【试题解析】 故选D. 、填空题（本大题共 e = 72 .故选 A. 本题考查函数的性质. D 由题意可知f （X ）的周期为 4小题, 每小题5分，共 l^.故选C. 3x 。
吉林省长春市2019年高考数学四模试卷(文科)含答案解析
吉林省长春市2019年高考数学四模试卷（文科）（解析版）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合A={﹣4，2，﹣1，5}，B={x|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数z满足z=，则|z|=（）A．2 B．C．3 D．53．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知直线m，n与平面α，β，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊥β，n∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．8﹣π D．8﹣2π7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．1 C．D．28．已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．39．函数y=x+lnx2的大致图象为（）A．B．C．D．10．如图，从高为h的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（）A．h B．hC．h D．h11．棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A，B两点），点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则的最小值为（）A．2 B． C．D．12．M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．6二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知||=||=2，（﹣）=﹣2，则与的夹角为．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则使S n取最小值的n等于．15．已知圆C的圆心在直线2x+y﹣1=0上，且经过原点和点（﹣1，﹣5），则圆C的方程为．16．下列说法中正确的有：．座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数y=a x是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y与x是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50．其中拟合效果最好的是模型1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数f（x）=cos（x+）+sinx．（1）利用“五点法”列表，并画出f（x）在[﹣，]上的图象；（2）a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a=，f（A）=，求△ABC 面积的取值范围．18．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述5件产品中随机抽2件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．（附：回归方程：，b=，a=，参考数据：=2250）19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2，∠DAC=30°，M为PB中点．（1）证明：AM∥平面PCD；（2）若三棱锥M﹣PCD的体积为，求M到平面PCD的距离．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，证明直线A′B恒过定点，并求此定点坐标．21．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x﹣2相切，求a的值；（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点M，MN垂直BA的延长线于点N．（1）求证：DA是∠CDN的角平分线；（2）求证：BM2=AB2+AM2+2ABAN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．，曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．2019年吉林省长春市高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合A={﹣4，2，﹣1，5}，B={x|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出B中x的范围，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由题意可知B={x|x≥﹣2}，因为集合A={﹣4，2，﹣1，5}，所以A∩B={﹣1，2，5}．则集合A∩B中元素的个数为3个故选C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z=，则|z|=（）A．2 B．C．3 D．5【分析】由已知的等式求出复数z，然后直接利用复数模的公式求模．【解答】解：复数z===2+i，则|z|==．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3．设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知直线m，n与平面α，β，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊥β，n∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定进行逐项分析或证明．【解答】解：对于A，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；对于B，∵n∥β，∴平面β内存在直线b∥n，∵m⊥β，b⊂β，∴m⊥b，又b∥n，∴m⊥n．故B正确．对于C，在直线m上取点P，过P作n的平行线n′，则n′⊥β．假设m∩α=A，n′∩β=B，α∩β=l，过A作AO⊥l于O，连结OB．∵α∩β=l，α⊥β，AO⊥l，AO⊂α，∴AO⊥β，又n′⊥β，∴AO∥n′，同理BO∥m，∴四边形AOBP是平行四边形，又m⊥α，AO⊂α，∴PA⊥AO，∴四边形AOBP是矩形，∴m⊥n′，又n∥n′，∴m⊥n．故C正确．对于D，当m⊂α时，显然结论不成立．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．8﹣π D．8﹣2π【分析】根据幂势同的定义，结合三视图的和直观图之间的关系进行求解即可．【解答】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，正方体的条件为2×2×2=8，半圆柱的体积为=π，从而其体积为8﹣π．故选C．【点评】本题主要考查利用三视图求出几何体的体积，根据三视图确定几何体的直观图是解决本题的关键．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．1 C．D．2【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，把点（0，1）代入求得A，可得f（x）的解析式，从而求得则f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得=﹣，∴ω=3．再根据五点法作图可得3+φ=π，求得φ=．再把点（0，1）代入，可得Asin=1，∴A=2，∴f（x）=2sin（3x+）．∴则f（）=2sin（+）=1，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，把点（0，1）代入求得A，求函数的值，属于基础题．8．已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．3【分析】由等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且{a n}单调递减，解出即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且{a n}单调递减，解得：a2=9，a4=1，可求得（舍掉）．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数y=x+lnx2的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】通过定义域和单调性来，利用排除法判断．【解答】解：由函数有意义可得x2＞0，∴f（x）的定义域为{x|x≠0}，排除A；y′=1+，∴当x＞0或x＜﹣2时，y′＞0，当﹣2＜x＜0时，y′＜0．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，排除B，D．故选C．【点评】本题考查了函数图象的判断，主要从函数的定义域，单调性来判断，属于中档题．10．如图，从高为h的气球（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（）A ． hB ． hC ．h D ．h【分析】先求出AB ，再在△ABC 中，求出BC ． 【解答】解：由∠EAB=α，得∠DBA=α， 在Rt △ADB 中，∵AD=h ， ∴AB=．又∠EAC=β，∴∠BAC=α﹣β．在△ABC 中，BC==h ．故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．11．棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A ，B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a ，b ，则的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【分析】连结CE ，DE ，利用V A ﹣BCD =V E ﹣BCD +V E ﹣ACD 推出，利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：连结CE ，DE ，由正四面体棱长为1，O 为底面三角形BCD 的中心，正四角椎的高为：，由于V A ﹣BCD =V E ﹣BCD +V E ﹣ACD ，有，由可得，所以．故选：D ．【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．12．M 为双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．﹣1B ．2C ．4D ．6【分析】求出M 的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线C 的离心率．【解答】解：由题意，A （﹣a ，0），F （c ，0），M （，），由双曲线的定义可得=∴c 2﹣3ac ﹣4a 2=0， ∴e 2﹣3e ﹣4=0， ∴e=4． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线C 的离心率，考查双曲线的第二定义，正确运用双曲线的第二定义是关键．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知||=||=2，（﹣）=﹣2，则与的夹角为．【分析】利用向量的数量积，化简求解，代入向量的夹角公式，求解即可．【解答】解：由（﹣）=﹣2，得=﹣2，=2，所以，与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则使S n取最小值的n等于5．【分析】利用等差数列的性质判断数列的项与数列的单调性，然后求解即可．【解答】解：由题意S10=0，S15=25，可知，故数列{a n}是递增数列，所以a5＜0，a6＞0，所以使S n取最小值的n=5．故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力．15．已知圆C的圆心在直线2x+y﹣1=0上，且经过原点和点（﹣1，﹣5），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13．【分析】设圆心C（b，1﹣2b），利用圆的半径相等列出方程，求得b的值，可得圆心坐标和半径，即可得到圆的方程．【解答】解：由题意设圆的圆心C（b，1﹣2b），再根据圆过原点和点（﹣1，﹣5），可得C到原点的距离等于C到点（﹣1，﹣5）的距离，即b2+（1﹣2b）2=（b+1）2+（1﹣2b+5）2，解得b=2．可得圆心C（2，﹣3），半径=，则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，准确利用已知条件列出方程是解题的关键，是基础题．16．下列说法中正确的有：①③④．座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数y=a x是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y与x是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50．其中拟合效果最好的是模型1．【分析】①根据抽样的定义进行判断，②根据合情推理的定义进行判断，③根据类比推理的定义进行判断，④根据关指数的定义进行判断．【解答】解：由题意可知，①是系统抽样，正确；②推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数f（x）=cos（x+）+sinx．（1）利用“五点法”列表，并画出f（x）在[﹣，]上的图象；（2）a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a=，f（A）=，求△ABC 面积的取值范围．【分析】（1）化简函数f（x），利用“五点法”列表、画出f（x）在上的图象即可；（2）利用正弦定理，结合三角函数的恒等变换与角的取值范围，即可求出三角形面积S的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cos（x+）+sinx=cosxcos﹣sinxsin+sinx=cosx+sinx=sin（x+），利用“五点法”列表如下，画出f（x）在上的图象，如图所示；（6分）（2）在△ABC中，a=，可知A=，由正弦定理可知===2，即b=2sinB，c=2sinC，∴S=bcsinA=bc=sinBsinC=sinBsin（﹣B），则S=sin2B﹣cos2B+=sin（2B﹣）+，其中，∴﹣＜2B﹣＜﹣＜sin（2B﹣）≤1∴0＜sin（2B﹣）+≤因此S的取值范围是．=Asin（ωx+φ）图象的应用问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是综合性题目．18．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见如表（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述5件产品中随机抽2件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．（附：回归方程：，b=，a=，参考数据：=2250）【分析】（1）把数据代入相应的公式，即可求出回归方程；（2）经计算，产品编号为①③的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽2件共有如下10种情况，其中至少有一件是合格品有9种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）b==0.044，a=1.1﹣0.044×20=0.22，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培，（2）由R=可得，电阻分为为＜18，=，=＜18，=，=20经计算，产品编号为①③的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽2件共有如下10种情况：①②，①③，①④，①⑤，②③，②④，②⑤，③④，③⑤，④⑤，其中至少有一件是合格品有9种情况，故所求事件的概率为．【点评】本题考查了回归方程和古典概率的问题，关键是会运用公式，属于基础题．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2，∠DAC=30°，M为PB中点．（1）证明：AM∥平面PCD；（2）若三棱锥M﹣PCD的体积为，求M到平面PCD的距离．【分析】（1）取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD∥BC，通过证明NM∥AD，推出AM∥ND，即可证明AM∥平面PCD．（2）利用三棱锥M﹣PCD的体积为，转化求解V B，设点M到平面PCD的距离为﹣PCDh，通过体积，求解M到平面PCD的距离．【解答】（本小题满分12分）解：取PC的中点为N，连结MN，DN（1）∵M是PB的中点，∴∵AD∥BC，且BC=2AD，∴NM∥AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM∥ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM∥平面PCD（6分）（2）∵M是PB的中点，∴∵所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD又∵，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则，∴，故M到平面PCD的距离为（12分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l不垂直于x轴时，点A关于x轴的对称点为A′，证明直线A′B恒过定点，并求此定点坐标．【分析】（1）判断AB⊥x轴时，|AB|最小，推出，利用ABF2的周长为4a，求解a，b，得到椭圆的方程．（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），A'（x1，﹣y1），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出A'B的斜率，求解直线方程，利用直线系求解直线结果的定点．【解答】解：（1）因为AB是过焦点F1的弦，所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，△ABF2的周长为4a，所以，所以椭圆的方程为，（2）设AB方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1），则，化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0所以①，②则，∴A′B的方程为．化简有，将①②代入可得，所以直线A′B恒过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x﹣2相切，求a的值；（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得a的方程，解得a=2；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，分a＞0，a=0，a＜0，求出单调区间，可得最值，由不等式恒成立的解法，即可得到所求范围．【解答】解：（1）f（x）=x+alnx的导数为f′（x）=1+，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+a=3，解得a=2；（2）f′（x）=1+，x＞0，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且值域为R；当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，（﹣a，+∞）上单调递增．则当a＞0时，f（x）≥a不可能恒成立；当a=0时，f（x）=x≥0，成立；当a＜0时，f（x）在x=﹣a处取得最小值f（﹣a），则只需f（﹣a）≥a，即﹣a+aln（﹣a）≥a，所以ln（﹣a）≤2，解得a≥﹣e2，所以﹣e2≤a＜0．综上所述：a的范围是[﹣e2，0]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点M，MN垂直BA的延长线于点N．（1）求证：DA是∠CDN的角平分线；（2）求证：BM2=AB2+AM2+2ABAN．【分析】（1）由AB是圆O的直径，得∠ADM=90°，又MN垂直BA的延长线于点N，得∠ANM=90°，可得M、N、A、D四点共圆，然后利用等量关系求得∠ADC=∠ADN，可得DA是∠CDN的角分线；（2）由M、N、A、D四点共圆，得ABNB=BMBD，B、C、A、D四点共圆，得MDMB=MAMC，联立可得MDMB+MBBD=MAMC+ABBN，从而得得BM2=MA2+AB2+MAAC+ABAN，再由B、C、M、N四点共圆，得MAAC=ABAN，可得BM2=AB2+AM2+2ABAN．【解答】证明：（1）∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，即∠ADM=90°，又MN垂直BA的延长线于点N，即∠ANM=90°，∴M、N、A、D四点共圆，∴∠MDN=∠NAM，∵∠BAC=∠NAM，∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠MDN，又∠ADM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADN，∴DA是∠CDN的角分线；（2）∵M、N、A、D四点共圆，∴ABNB=BMBD，①∵B、C、A、D四点共圆，∴MDMB=MAMC，②①+②有：MDMB+MBBD=MAMC+ABBN，得BM2=MA（MA+AC）+AB（AB+AN）=MA2+AB2+MAAC+ABAN，∵B、C、M、N四点共圆，∴MAAC=ABAN，∴BM2=AB2+AM2+2ABAN．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查了四点共圆的条件，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．，曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，两边同乘ρ，然后求解直角坐标方程．（2）求出直线参数方程，代入圆的方程，根据直线参数方程t的几何意义，求解|PA|2+|PB|2即可．【解答】（本小题满分10分）解（1）由曲线C的极坐标方程可得，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为为参数）．将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，设A，B对应参数分别为t1，t2，有，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|2+|PB|2=．（10分）【点评】本题考查圆的极坐标方程以及直线的参数方程的应用，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范围；（2）求出t的最大值为T，化简a2+b2=T，利用基本不等式证明：≤．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3．证明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）因为a2+b2≥2ab，所以，又因为，所以（当且仅当a=b时取“=”）．（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的值应用，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力，转化思想的应用．。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ;14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--）三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =，所以在ABC∆中，由正弦定理得326sin sin 2A A=，-----------------------------------------------------2分所以2s i nc os 26sin3A AA=，故6cos 3A =.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6c o s3A =。
所以23s i n 1c os3A A =-= --------------------------------------------5分又因为2B A=，所以21c os 2c3B A =-=--------------------------------------------------------7分所以222sin 1cos 3B B =-=。
-----------------------------------------------------------------------8分在ABC∆中，s i n s i n ()s C A B A c o c BA B=+=+ 539=。
------------------------10分所以s i n5s i na C c A ==。
（也可用余弦定理求解此问，从略。
）-------------------------------------12分 18解答.(Ⅰ) 因为a 有3种取法，b 有4种取法，则对应的函数有3×4＝12个 ------------------------------2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2ba对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1------------------------3分数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共3种． -------------------------------------5分所以P (A )=31124= -------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ，如图．其中点A (4，0)，B (0,4)，则△AOB 的面积为12×4⨯4=8----------------------------------8分 若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.--------------------------------------------------------9分所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由40420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为146(,)55D ．又1(0,)2C ，则△BCD 的面积为12×1(4)2-×145＝4910. -----11分所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝4980-------------------------12分19解答 (Ⅰ)证明：PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，PA CD ∴⊥ ----------------------------------------2分又,AD CD ⊥PA AD A =。
2019年吉林省长春市高三质量监测(四)数学(文)试题(解析版)
长春市普通高中2019届高三质量监测（四）数学试题卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1x >是21x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A. 20B. 17C. 14D. 23 3. 圆22:20C x y x +-=被直线y x =所截得的线段长为 A. 2 B.C. 1D.4. 下列椭圆中最扁的一个是A.2211612x y += B. 2214x y += C. 22163x y += D. 22198x y += 5. 已知向量(cos 2,sin )θθ=-a ，其中θ∈R ，则||a 的最小值为 A. 1 B. 2 C.D. 36. 设n S 是各项均不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且13713S S =，则74a a 等于 A. 1 B. 3 C. 7 D. 13 7. 已知21()sin sin f x x ax x =++，若()22f ππ=+，则()2f π-=A. 2π-B.2π- C. 2 D. π8. 小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为A.38 B. 12C. 58D. 349．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A ——结伴步行，B ——自行乘车，C ——家人接送，D ——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中A 类人数是 A. 30 B. 40 C. 42 D. 4810. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m 高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M 处后退123步，人眼贴地面，从地上A 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N 处后退127步，从地上B 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m11. 已知定义在非零实数集上的奇函数()y f x =，函数(2)y f x =-与()sin 2xg x π=的图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 812. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN 则抛物线C 的准线方程为A. 1x =-B. 2x =-C. 32x =- D. 3x =- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知复数(1+2i)(1i)z =-，则z 的模等于_____________，它的共轭复数为__________. 14. 已知、a b 为两个单位向量，且0⋅=a b ，则a 与2+a b 夹角的余弦值为 .15. 已知,x y ∈R ，满足20250470x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥，则221x y x +++的最大值为 .16. 一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切），则容器内水的体积为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分) 已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的图象与直线1y =的交点中距离最近的两个交点距离为3π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）完善表格并用“五点作图法”做出函数()f x 在13[,]1212ππ上的图象.18. (本小题满分12分)已知四棱柱1111-ABCD A B C D 中，1DD ⊥平面A B C D ，AD DC ⊥,AD AB ⊥222DC AD AB ===,14AA =， 点M 为11C D 中点,(1)求证: 平面11AB D ∥平面BDM ； (2)求点C 到平面11AB D 的距离.19. (本小题满分12分)已知椭圆22:1(04)4x y C b b+=<<的左顶点为A ，右顶点为B ， M 为椭圆C 上异于A B 、的任意一点，平面内的点P 满足AM MP =.（1）若点P 的坐标为(4,3)，求b 的值；（2）若存在点P 满足OP BM ⊥（O 为坐标原点），求b 的取值范围.20. (本小题满分12分)为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：（注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级）（Ⅰ）从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？（Ⅲ）根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由.200()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥(22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)21. (本小题满分12分) 已知函数()xf x e x =-.（1）求函数()f x 的极值； （2）若对任意0x >，21()12f x ax >+有解，求 a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x y m θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线3C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.（1）若曲线1C 与2C 无公共点，求正实数m 的取值范围； （2）若曲线3C 的参数方程中，4πα=，且曲线3C 与1C 交于,A B 两点，求||AB 的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲 已知,,,a b c d 均为正实数.(1)求证：22222()()()a b c d ac bd +++≥；(2) 若=1a b +，求证：221113a b a b +++≥.长春市2019年高三质量监测（四） 数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查充要条件.【试题解析】条件：{|1},A x x =>结论：2{|1}B x x =>{|1,x x =<-1}x >或，则A B ⊂≠，故选A.2. B 【命题意图】本题考查集合交集并集元素个数的运算.【试题解析】()()()()812317card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂=+-=，故选B3. D 【命题意图】本题考查直线与圆相交弦长的计算.【试题解析】圆心C (1,0)到直线y x =的距离2d =，圆半径1r =，则所求线段的长为= D4. B 【命题意图】本题考查椭圆离心率的几何意义.【试题解析】椭圆的离心率越小，椭圆越圆，b a 越小，离心率越大，椭圆越扁，b a越小，故选B5. A 【命题意图】本题考查向量的模长公式及三角函数的最值.【试题解析】1==|a |，故选A.6. C 【命题意图】本题考查等差数列求和公式.【试题解析】∵113171377413()7()13,722a a a a S a S a ++====∴由13713S S =得747aa =，故选C7. B 【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【试题解析】由()22f ππ=+，得21()sin()222sin 2f a ππππ=++∴2()2a ππ=2211()sin()()sin ()22222sin()sin 22f a a πππππππ-=-++-=--+-∴2()()2()2222f f a ππππ+-==∴()22f ππ-=-，故选B8. C 【命题意图】本题考查古典概型.【试题解析】基本事件总体为4×4=16种,两次数字之和小于5的有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）共6种，则数字之和不小于5的概率为651168-=，故选C 9. A 【命题意图】本题考查条形统计图和扇形统计图.【试题解析】由上学方式中的C 或D ，可得本次抽查学生总数为120人，∴A 类有120－42－30－18=30人，故选A10. A 【命题意图】本题考查解直角三角形，相似三角形.【试题解析】设山高为h ，上帝到的距离为x ，由相似三角形，可得12310123127101000127x hx h⎧=⎪+⎨⎪=⎩++解得2510h =，故选A11. D 【命题意图】本题考查函数的奇偶性及函数的对称性、函数的零点.【试题解析】函数()f x 为奇函数，则函数(2)f x -关于点（2,0）对称，函数()sin2xg x π=也关于点（2,0）对称，所以四个交点的横坐标之和为8，故选D12. D 【命题意图】本题考查抛物线的性质，过焦点弦长的倾斜角公式.【试题解析】由2||sin 60||MN AB =︒得||16AB =,由22||16sin 120pAB ==︒得6p =，∴抛物线C 的准线方程为3x =-，故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13.i -【命题意图】本题考查复数的四则运算，模长公式以及共轭复数的概念.【试题解析】(1+2i)(1i)=3+i z =-，||z ==3i z -14.5【命题意图】本题考查向量夹角运算.【试题解析】由2(2)cos ,2|||2|5⋅++====+a a b a a b a a b15. 1 【命题意图】本题考查线性规划应用.【试题解析】作出可行域，如图，又22211x y y x x ++=+++知1yx +为过点(1,0)P -与阴影部分有公共点的直线的斜率，则12PBk =最小，1PA k =最大，故答案为3 16.53π【命题意图】本题考查圆锥的内切球，圆锥的体积与求的体积运算.【试题解析】如图3，水的体积为314531333πππ⋅-⋅= 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题意，2sin()16x πω-=，266x k ππωπ-=+或5266x k ππωπ-=+，k ∈Z ， 所以相距最近的两个点横坐标满足122||3x x πωω-=，（3分） 又函数图像与直线1y =的交点中距离最近的两个交点距离12||3x x π-=，因此2ω=. 即函数解析式为()2sin(2)6f x x π=-.（6分）（Ⅱ）表略（9分）图略. （12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，1111//,,DD BB DD BB =故四边形11DD B B 为平行四边形，所以11//D B DB ，由11D B ⊂平面11AD B ，DB ⊄平面11AD B ，故//DB 平面11AD B ，（2分） 由题意可知//AB DC ，M 为11D C 中点，11D M AB ==，所以四边形1ABMD 为平行四边形，所以1//BM AD ，所以//BM 平面11AD B ，（4分） 又由于,BM BD 相交，所以平面DBM 平面11AD B （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点C 到平面11AB D 距离为B 到平面11AB D 距离的3倍. 在11AB D △中，11AD AB ==11B D =，则1116cos 17B AD ∠==.11sin 17B AD ∠=，则1112172AB D S ==△. （8分）1111111121143323B AB D ABD A B D V V --==⨯⨯⨯⨯=.11111123323B AB D AB D V S h h -=⨯⨯=⨯=△.（10分）h =C 到平面11AB D的距离为11. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）依题意，M 是线段AP 中点， 因为(2,0),(4,3)A P -，故3(1,)2M ，（2分）代入椭圆C 的方程，可得3b =（4分）（Ⅱ）设),(00y x M ，则0(2,2)x ∈-，又00(2,0),(22,2)B P x y +（6分），又OP BM ⊥所以，2000(2)(22)20x x y -++=，012x -<<，（8分）220014x y b +=，消去0y ，可得0004(1)14(1)22x b x x +==-++，（10分）故(0,3)b ∈（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查概率与统计的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）男生答卷成绩优秀概率(0.0580.0340.0140.010)50.58P =+++⨯=（2分）女生答卷成绩优秀概率(0.0460.0340.0160.010)50.53P =+++⨯=（4分） （Ⅱ）（6分）经计算2K 的观测值22000(580470530420) 5.061 5.024100010001110890k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”. （8分）（III ）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在80到85之间，女生成绩的平均分（中位数）在75到80分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）令()10x f x e '=-=，（2分）()=f x ∴极小值，无极大值；（4分）（II ）对任意0x >，21()12f x ax >+即21102x e x ax --->， 设21()12x g x e x ax =---，()1x g x e ax '=--，（8分） ①当0a ≤时，()g x '单调递增，(0)0,()0,()g g x g x ''=>单调递增，()(0)0g x g >=，成立；（9分）②当01a <≤时，令()(),()0x h x g x h x e a ''==->，()g x '单调递增，(0)0,()0,()g g x g x ''=>单调递增，()(0)0g x g >=，成立；（10分） ③当1a >时，当0ln x a <<时，()0x h x e a '=-<，()g x '单调递减，(0)0,()0,()g g x g x ''=<单调递减，()(0)0g x g <=，不成立. （11分） 综上，1a ≤（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为x y 42=①，2C 的直角坐标方程为222(1)x y m -+=②，将①②联立，可求得121,1x m x m =--=-+，由题意：1010m m --<⎧⎨-+<⎩，求得11m -<<. （5分） （II ）当4πα=时，曲线3C 为直线1-=x y ，解方程组⎩⎨⎧=-=x y x y 412，得)222,223(--A ，)222,223(++B ，于是可求得8=AB . （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）222222222222()()()a b c d a c a d b c b d ++=+++22222(2)()a c abcd b d ac bd ≥++=+（5分）（II ）22222211()(11)1111a b b a a b a a b b a b a b++++++=+++++++ 2222()1a ab b a b ≥++=+= 而(1)(1)3a b +++=，所以221113a b a b +≥++（10分。
吉林省长春市2019年高三质量监测(四)数学(文)试题(解析版)
长春市普通高中2019届高三质量监测（四）数学试题卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1x >是21x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A. 20B. 17C. 14D. 23 3. 圆22:20C x y x +-=被直线y x =所截得的线段长为 A. 2 B.C. 1D.4. 下列椭圆中最扁的一个是A.2211612x y += B. 2214x y += C. 22163x y += D. 22198x y += 5. 已知向量(cos 2,sin )θθ=-a ，其中θ∈R ，则||a 的最小值为 A. 1 B. 2 C.D. 36. 设n S 是各项均不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且13713S S =，则74a a 等于 A. 1 B. 3 C. 7 D. 13 7. 已知21()sin sin f x x ax x =++，若()22f ππ=+，则()2f π-=A. 2π-B.2π- C. 2 D. π8. 小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为A.38 B. 12C. 58D. 349．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A ——结伴步行，B ——自行乘车，C ——家人接送，D ——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中A 类人数是 A. 30 B. 40 C. 42 D. 4810. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m 高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M 处后退123步，人眼贴地面，从地上A 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N 处后退127步，从地上B 处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m11. 已知定义在非零实数集上的奇函数()y f x =，函数(2)y f x =-与()sin 2xg x π=的图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 812. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN 则抛物线C 的准线方程为A. 1x =-B. 2x =-C. 32x =- D. 3x =- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知复数(1+2i)(1i)z =-，则z 的模等于_____________，它的共轭复数为__________. 14. 已知、a b 为两个单位向量，且0⋅=a b ，则a 与2+a b 夹角的余弦值为 .15. 已知,x y ∈R ，满足20250470x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥，则221x y x +++的最大值为 .16. 一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切），则容器内水的体积为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分) 已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的图象与直线1y =的交点中距离最近的两个交点距离为3π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）完善表格并用“五点作图法”做出函数()f x 在13[,]1212ππ上的图象.18. (本小题满分12分)已知四棱柱1111-ABCD A B C D 中，1DD ⊥平面A B C D ，AD DC ⊥,AD AB ⊥222DC AD AB ===,14AA =， 点M 为11C D 中点,(1)求证: 平面11AB D ∥平面BDM ； (2)求点C 到平面11AB D 的距离.19. (本小题满分12分)已知椭圆22:1(04)4x y C b b+=<<的左顶点为A ，右顶点为B ， M 为椭圆C 上异于A B 、的任意一点，平面内的点P 满足AM MP =.（1）若点P 的坐标为(4,3)，求b 的值；（2）若存在点P 满足OP BM ⊥（O 为坐标原点），求b 的取值范围.20. (本小题满分12分)为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：（注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级）（Ⅰ）从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？（Ⅲ）根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由.200()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥(22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)21. (本小题满分12分) 已知函数()xf x e x =-.（1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意0x >，21()12f x ax >+有解，求 a 的取值范围. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x y m θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线3C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.（1）若曲线1C 与2C 无公共点，求正实数m 的取值范围； （2）若曲线3C 的参数方程中，4πα=，且曲线3C 与1C 交于,A B 两点，求||AB 的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲 已知,,,a b c d 均为正实数.(1)求证：22222()()()a b c d ac bd +++≥；(2) 若=1a b +，求证：221113a b a b +++≥.长春市2019年高三质量监测（四） 数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查充要条件.【试题解析】条件：{|1},A x x =>结论：2{|1}B x x =>{|1,x x =<-1}x >或，则A B ⊂≠，故选A.2. B 【命题意图】本题考查集合交集并集元素个数的运算.【试题解析】()()()()812317card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂=+-=，故选B3. D 【命题意图】本题考查直线与圆相交弦长的计算.【试题解析】圆心C (1,0)到直线y x =的距离d =1r =，则所求线段的长为= D4. B 【命题意图】本题考查椭圆离心率的几何意义.【试题解析】椭圆的离心率越小，椭圆越圆，b a 越小，离心率越大，椭圆越扁，b a越小，故选B5. A 【命题意图】本题考查向量的模长公式及三角函数的最值.【试题解析】1==|a |，故选A.6. C 【命题意图】本题考查等差数列求和公式.【试题解析】∵113171377413()7()13,722a a a a S a S a ++====∴由13713S S =得747aa =，故选C7. B 【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【试题解析】由()22f ππ=+，得21()sin()222sin 2f a ππππ=++∴2()2a ππ=2211()sin()()sin ()22222sin()sin 22f a a πππππππ-=-++-=--+-∴2()()2()2222f f a ππππ+-==∴()22f ππ-=-，故选B8. C 【命题意图】本题考查古典概型.【试题解析】基本事件总体为4×4=16种,两次数字之和小于5的有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）共6种，则数字之和不小于5的概率为651168-=，故选C 9. A 【命题意图】本题考查条形统计图和扇形统计图.【试题解析】由上学方式中的C 或D ，可得本次抽查学生总数为120人，∴A 类有120－42－30－18=30人，故选A10. A 【命题意图】本题考查解直角三角形，相似三角形.【试题解析】设山高为h ，上帝到的距离为x ，由相似三角形，可得12310123127101000127x hx h⎧=⎪+⎨⎪=⎩++解得2510h =，故选A 11. D 【命题意图】本题考查函数的奇偶性及函数的对称性、函数的零点.【试题解析】函数()f x 为奇函数，则函数(2)f x -关于点（2,0）对称，函数()sin2xg x π=也关于点（2,0）对称，所以四个交点的横坐标之和为8，故选D12. D 【命题意图】本题考查抛物线的性质，过焦点弦长的倾斜角公式.【试题解析】由2||sin 60||MN AB =︒得||16AB =,由22||16sin 120pAB ==︒得6p =，∴抛物线C 的准线方程为3x =-，故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13.i -【命题意图】本题考查复数的四则运算，模长公式以及共轭复数的概念.【试题解析】(1+2i)(1i)=3+i z =-，||z ==3i z -14.5【命题意图】本题考查向量夹角运算.【试题解析】由2(2)cos ,2|||2|⋅++====+a a b a a b a a b15. 1 【命题意图】本题考查线性规划应用.【试题解析】作出可行域，如图，又22211x y y x x ++=+++知1yx +为过点(1,0)P -与阴影部分有公共点的直线的斜率，则12PBk =最小，1PA k =最大，故答案为3 16.53π【命题意图】本题考查圆锥的内切球，圆锥的体积与求的体积运算. 【试题解析】如图3，水的体积为314531333πππ⋅-⋅= 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题意，2sin()16x πω-=，266x k ππωπ-=+或5266x k ππωπ-=+，k ∈Z ， 所以相距最近的两个点横坐标满足122||3x x πωω-=，（3分） 又函数图像与直线1y =的交点中距离最近的两个交点距离12||3x x π-=，因此2ω=. 即函数解析式为()2sin(2)6f x x π=-.（6分）（Ⅱ）表略（9分）图略. （12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，1111//,,DD BB DD BB = 故四边形11DD B B 为平行四边形，所以11//D B DB ，由11D B ⊂平面11AD B ，DB ⊄平面11AD B ，故//DB 平面11AD B ，（2分） 由题意可知//AB DC ，M 为11D C 中点，11D M AB ==，所以四边形1ABMD 为平行四边形，所以1//BM AD ，所以//BM 平面11AD B ，（4分） 又由于,BM BD 相交，所以平面DBM 平面11AD B （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点C 到平面11AB D 距离为B 到平面11AB D 距离的3倍. 在11AB D △中，11AD AB ==11B D =，则1116cos 17B AD ∠==.11sin 17B AD ∠=，则1112172AB D S ==△. （8分）1111111121143323B AB D ABD A B D V V --==⨯⨯⨯⨯=.1111112333B AB D AB D V S h h -=⨯⨯==△.（10分）h =C 到平面11AB D. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）依题意，M 是线段AP 中点， 因为(2,0),(4,3)A P -，故3(1,)2M ，（2分）代入椭圆C 的方程，可得3b =（4分）（Ⅱ）设),(00y x M ，则0(2,2)x ∈-，又00(2,0),(22,2)B P x y +（6分），又OP BM ⊥所以，2000(2)(22)20x x y -++=，012x -<<，（8分）220014x y b+=，消去0y ，可得0004(1)14(1)22x b x x +==-++，（10分）故(0,3)b ∈（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查概率与统计的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）男生答卷成绩优秀概率(0.0580.0340.0140.010)50.58P =+++⨯=（2分）女生答卷成绩优秀概率(0.0460.0340.0160.010)50.53P =+++⨯=（4分） （Ⅱ）（6分）经计算2K 的观测值22000(580470530420) 5.061 5.024100010001110890k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”. （8分）（III ）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在80到85之间，女生成绩的平均分（中位数）在75到80分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）令()10x f x e '=-=，（2分）()=f x ∴极小值，无极大值；（4分）（II ）对任意0x >，21()12f x ax >+即21102x e x ax --->， 设21()12x g x e x ax =---，()1x g x e ax '=--，（8分） ①当0a ≤时，()g x '单调递增，(0)0,()0,()g g x g x ''=>单调递增，()(0)0g x g >=，成立；（9分）②当01a <≤时，令()(),()0x h x g x h x e a ''==->，()g x '单调递增，(0)0,()0,()g g x g x ''=>单调递增，()(0)0g x g >=，成立；（10分） ③当1a >时，当0ln x a <<时，()0x h x e a '=-<，()g x '单调递减，(0)0,()0,()g g x g x ''=<单调递减，()(0)0g x g <=，不成立. （11分） 综上，1a ≤（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为x y 42=①，2C 的直角坐标方程为222(1)x y m -+=②，将①②联立，可求得121,1x m x m =--=-+，由题意：1010m m --<⎧⎨-+<⎩，求得11m -<<. （5分） （II ）当4πα=时，曲线3C 为直线1-=x y ，解方程组⎩⎨⎧=-=xy x y 412，得)222,223(--A ，)222,223(++B ，于是可求得8=AB . （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）222222222222()()()a b c d a c a d b c b d ++=+++22222(2)()a c abcd b d ac bd ≥++=+（5分）（II ）22222211()(11)1111a b b a a b a a b b a b a b++++++=+++++++ 2222()1a ab b a b ≥++=+=而(1)(1)3a b +++=，所以221113a b a b +≥++（10分。
吉林省2018届高考第四次模拟数学文科试题含答案
1— 6 号，得第一名者将参加全国数
学竞赛 . 今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：
4 号， 5 号， 6 号都不可能；
乙猜： 3 号不可能；丙猜：不是 1 号就是 2 号；丁猜：是 4 号， 5 号， 6 号中的某一个 . 以上
只有一个人猜对，则他应该是（
）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、 填空题：（ 本大题共 4 小题，每小题 5 分 . ）
sin
13．若
6
1 cos 2
4 ，则
3 的值为 __________ ．
14．已知 f x 是定义在
,0
0,
上的奇函数，当 x 0 时， f x
log2 x ，则
f2
__________ ．
15 ．矩形
中，
，
表面积为 __________ ．
高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一 、 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 .）
A
1．设
x | x2 x 2 0 B
，
y | y 3x ，则 A B （
）
0,
A.
0,2
B.
1,0
C.
1
1,2
D.
2．已知 i 为虚数单位，复数 1 i 的虚部是（
10．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（
）
A. 2010 B. － 1 C. D. 2
11．已知双曲线
(
，
的一条渐近线与抛物线的准线交于点
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试题 文(扫描版)
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ;14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--）三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =，所以在ABC∆中，由正弦定理得326sin sin 2A A=，-----------------------------------------------------2分所以2sin cos 26sin A A A =，故6cos A =.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6cos A =。
所以23sin 1cos .A A =-=--------------------------------------------5分又因为2B A=，所以21cos 2cos 1.3B A =-=--------------------------------------------------------7分所以222sin 1cos 3B B =-=。
-----------------------------------------------------------------------8分在ABC∆中，sin sin()sin cos sin C A B AcocB A B=+=+53=。
------------------------10分所以sin 5sin a Cc A==。
（也可用余弦定理求解此问，从略。
）-------------------------------------12分 18解答.(Ⅰ) 因为a 有3种取法，b 有4种取法，则对应的函数有3×4＝12个 ------------------------------2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2ba对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1------------------------3分数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共3种． -------------------------------------5分所以P (A )=31124= -------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ，如图．其中点A (4，0)，B (0,4)，则△AOB 的面积为12×4⨯4=8----------------------------------8分 若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.--------------------------------------------------------9分所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由40420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为146(,)55D ．又1(0,)2C ，则△BCD 的面积为12×1(4)2-×145＝4910. -----11分所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝4980-------------------------12分19解答(Ⅰ)证明：PA ⊥Q 面ABCD ，CD ⊂面ABCD ， PA CD ∴⊥ ----------------------------------------2分又,AD CD ⊥Q PA AD A =I 。
四摸答案文科 (2)
吉林省实验中学2018-2019届高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）答案DDACB ，AACDA ，AB二、填空题：13.)4(23π-=-x y 14单调递增区间 )23,1(15.=∙ 21-16． ①④ 三、． 17．略18.(1) 设{}n a 的公比为q ，由已知，得⎩⎨⎧+=+=++423432)2(228a a a a a a ⇒⎩⎨⎧=+=208423a a a ⇒⎩⎨⎧=+=20831121q a q a q a ⇒⎩⎨⎧==221q a ， ∴ n n n q a a 211==-； (2) nnnn n b 22log 221⋅-==，设 n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ……………………… ① 则 13222)1(22212+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n n T ……… ②①－② 得 22)1(2)222(112-⨯--=⨯-+++=-++n n n n n n T ∴ 22)1(1-⨯--=-=+n n n n T S 故 5021>⋅++n n n S∴ 50222)1(11>⨯+-⨯--++n n n n ， 即262>n，∴ 满足不等式的最小的正整数n 为5．19.略20解析 (1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高． 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，f （1）=1，切点（1，1）， ∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f （x ）在点（1，1）处的切线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），即x+y ﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．22．解析 (1)证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE ＝∠ACB .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB . 所以∠ABC ＝∠BAE . 所以AE ∥BC .因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形． (2)因为AE 与圆相切于点A ， 所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )． 即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4. 根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6. 设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CFBF. 即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83. 23．解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．24．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－32)∪[47，＋∞)解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧32x －52>2，x >3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f (x )＝|x －1|＋12|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x>3.f (x )图像如图所示，其中A (1,1)，B (3,2)，直线y ＝a (x ＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f (x )≤a (x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[47，＋∞)．。
吉林省长市高三数学毕业班第四次调研测试试题 文(高清
数学试题(文科)答案1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()I ðU B A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ． 2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α 位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交， 故选D ． 4．【答案】B【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图， 设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ， 当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ． 5．【答案】D 【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 6．【答案】D【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ． 8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ， 又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】 B【解析】由三视图可知，该几何体由一个底面半径为1，高为1的圆柱，和一个半径为1的四分之一球构成的，故πππ343441=⨯+=V ，故选B ． 10．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=ac，故选A ． 11．【答案】D【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．12．【答案】D【解析】由n x nn a n xx x x lg )1()1()1(21lg-≥-+-+++Λ 得1)1()1(21-≥-+-+++x xx x x n nn a n Λ，即x x x x x n n a n ≥-+-+⋯++)1()1(21 即xxxn )1(21-+++Λxan ≥∴x xxn n nna )1()2()1(-+++≤Λ，令xx x nn n n x f )1()2()1()(-+++=Λ由于2≥n ，故)(x f 在]1,(-∞上为减函数，故212)1(1121)1()(-=-⋅=-+++=≥n n n n n n n n f x f Λ21≥，∴21≤a 即可， 故选D ．13．【答案】60 【解析】n27146432432=+++++++，解得60=n ．14 【答案】)3,1(【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ，∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ①又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15.【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n 【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n ．16．【答案】]162,122[【解析】设4个实数根依次为d m d m d m m 3,2,,+++，由等差数列性质，不妨设d m m 3,+为2180x x a -+=的两个实数根，则d m d m 2,++为方程2180x x b -+=的两个根，由韦达定理1832=+d m ，即d m 239-=，又a d m m =+)3(，b d m d m =++)2)((,故b a +)219)(219()239)(239(d d d d +-++-=2241814981d d -+-=225162d -=]16,0[2∈d ，∴b a +]162,122[∈，即b a +的取值范围是]162,122[．17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=………5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． (6)分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴3π=A ………8分 由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． ………12分18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i ii ii xxy x yx b………3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． ………6分 （2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．………12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1I (4)分∴⊥BC 平面11D DCC∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法一：211==AA DD ， 1=DE ，1D E CD ⊥∴△ED D 1为等腰直角三角形，∴145DD E ∠=︒连结1CD ，则11CD DD ⊥，且1CD =由（1）⊥BC 平面11D DCC ，∴⊥11D A 平面11D DCC ∴⊥11D A 1CD ∴1CD ⊥平面11A ADD ∴1CD ⊥平面1B BC ………9分∴1111111113323B BCD B CB V S CD -=⋅⋅=⨯⨯=△三棱锥．……12分解法二：∵1D E CD ⊥,且22AB BC == ∴在Rt△EDD 1中，211==AA DD ，1=DE ，得11=E D ………9分∴三棱锥11D B CB -的体积：1111112D B CB B C CBV V --=三棱锥四棱锥D 16=⋅1111ABCD A B C D V -四棱柱16ABCD S =⋅四边形1D E⋅1121163=⨯⨯⨯=．…12分 20．【解析】（1）由离心率22=e ，得a c b 22== 又因为222=ab ，所以1,2==b a ，即椭圆标准方程为1222=+y x ． ………4分 （2）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222y x m x m y 消y 得：0222)21(2222=-+++m x m x m ． 所以0)22)(21(44224>-+-=∆m m m ， 可化为 022<-m 解得22<<-m ． (8)分（3）由l ：20x y -+=,设0=x ， 则2=y , 所以)2,0(P ………9分 设),(y x M 满足1222=+y x , 则64)2(22)2(||222222+--=-+-=-+=y y y y y x PM |10)2(2++-=y 因为11≤≤-y ， 所以 ………11分 当1-=y 时，|MP|取得最大值3． ………12分21．【解析】xx x g 1)(-='， ………1分 当10<<x 时，0)(<'x g ，当1>x 时，0)(>'x g即)(x g 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………4分∴1)1()(=≥g x g ，得证． ………5分 （2）1()1xx f x e -=-，x ex x f 2)(-='， ………6分∴20<<x 时，0)(<'x f ，2>x 时，0)(>'x f即)(x f 在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e f x f -=≥ ………8分又由（1）ln 1x x -≥ ………10分 ∴21(ln )()1x x f x e ->- ．………12分22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， ………1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ，………4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分 （2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE =………6分又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分 所以222312==EC ，故=AC ． ………10分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知， 则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． ………5分（2）由（1）得=2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα． 当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． ………10分24．【解析】（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a ∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号） 又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． ………5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。
2019年吉林省吉林市高考数学第四次调研试卷(文科)(附答案详解)
2019年吉林省吉林市高考数学第四次调研试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2≤1}，B={−2,−1,0，1，2，3}，则A∩B等于()A. {0,1}B. {−1,0，1}C. {−1,1}D. {−1,0，1，2})4+2i的实部为()2.复数(1+i1−iA. −1B. 0C. 1D. 23.“sinα=√2”是“cos2α=0”的()2A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5=S4+S3，且a1=1，则S10=()A. 45B. 55C. 81D. 1005.某商店2018年1月至12月的收入与支出数据如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是()A. 该商店2018年的12个月中11月的利润最高B. 该商店2018年下半年的利润高于上半年的利润C. 该商店2018年的总利润为370万元D. 该商店2018年下半年的总收入比上半年增长了约90%6.函数y=e|x|cosx在[−2,2]上的图象大致为()A. B.C. D.7. 设a =21.2，b =30.3，c =40.5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. b <c <a8. 已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若E 点坐标为(−1,0)，则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 0B. 34C. 94D. 4149. 函数y =sinωx +cosωx(ω>0)在区间(m,n)上是单调的，若|m −n|的最大值为π，则ω的值为( )A. 12B. 1C. π2D. π10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 94π B. 6π+6 C. 3π D. 34π11. “黄金分割”是古希腊的毕达哥拉斯学派在研究数学问题时提出的一个比例关系，即：将一线段分割成大小两段，如果小段与大段的长度之比恰好等于大段与整段的长度之比，那么称这个比值为“黄金分割比”，经常用希腊字母Φ来表示.在数学中也可用无穷连分数11+11+11+⋅⋅⋅(其中“…”代表无限次重复)来表示“黄金分割比”，它可以通过方程11+x =x 解得x =√5−12，即黄金分割比为√5−12.类比上述过程，计算式子√1+√1+√1+√⋅⋅⋅的值为( )A. 1B. √5−12C. √5+12D. √52−112. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b2为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{2x −5y −1≤03x +2y −11≤05x −3y +7≥0，则z =2x +y 的最大值是______ ．14.已知等比数列{a n}满足log2(a1a2a3a4a5)=5，等差数列{b n}满足b3=a3，则b1+b2+b3+b4+b5=______ ．15.已知直线l：kx−y−2k+2=0与圆C：x2+y2−2x−6y+6=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______ ．16.已知奇函数f(x)满足∀x∈R，f(1+x)=f(1−x)恒成立，若f(1)=2，则f(2019)=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+tanA+tanB=tanA⋅tanB．(1)求角C的大小；(2)点D在线段BC上，满足CD=2BD，AD⊥AC，若b=1，求AB的长．18.某校高三年级共有学生1200人，经统计，所有学生的出生月份情况如表：(1)从该年级随机选取一名学生，求该学生恰好出生在上半年(1−6月份)的概率；(2)为了解学生考试成绩的真实度，也为了保护学生的个人隐私，现从全体高三学生中随机抽取120人进行问卷调查，对于每个参与调查的同学，先产生一个(0,1)范围内的随机数a，若a≤0.4，则该同学回答问题A，否则回答问题B．问题A：您是否出生在上半年(1−6月份)？问题B：您是否在考试中有过作弊行为？假设在问卷调查过程中，问题只对参与者本人可见，且每个参与的同学均能如实回答问题且相互独立.若最后统计结果显示回答“是”的人数为38，则：①求该年级学生有作弊情况的概率；②若从该年级随机选取10名同学，记其中有过作弊行为的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)．19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=1，AB=√2，将平面ABD沿BD翻折得到四面体A′−BCD，点E为棱A′B的中点，过点D作DF⊥A′C于点F，当四面体A′−BCD的体积最大时．(1)证明：EF⊥A′C；(2)求点B到平面DEF的距离．20.已知椭圆C：x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右顶点分别为A和B，点M是椭圆上与A、B不重合的动点，且MA、MB的斜率之积为−34．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点F为椭圆C的右焦点，点R为直线x=4上的一动点，线段AR与椭圆C交于点P，线段BR的反向延长线与椭圆C交于点Q，证明：P、Q、F三点共线．21. 设函数f(x)=xlnx ．(1)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(2)当x ≥1时，f(x)≥a(x −1)恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，曲线C 1在φ：{x′=2xy′=2y 的变换作用下得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)).设直线y =kx(k >0)分别与曲线C 1，C 2交于异于原点的P ，Q 两点．(1)求曲线C 1、C 2的极坐标方程；(2)设点A 的坐标为(1,0)，求△APQ 面积的最大值．23. 已知a >0，函数f(x)=|x +1|+|2x −a|，g(x)=ax +a(1)当a =1时，解不等式f(x)≤2；(2)若函数y=f(x)的图象恒在y=g(x)的图象的上方，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−1≤x≤1}，B={−2,−1,0，1，2，3}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=1+2i+i212+12=2i2=i，∴复数(1+i1−i)4+2i=i4+2i=1+2i，∴复数(1+i1−i)4+2i的实部为1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再得到实部的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：当sinα=√22时，cos2α=1−2sin2α=1−2×(√22)2=1−2×24=1−1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1−2sin2α=0，即sin2α=12，即sinα=±√22，则sinα=√22，不一定成立，即“sinα=√22”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差d，∵S5=S4+S3，且a1=1，∴5+5×42d=4+4×32d+3+3×22d，解得d=2．则S10=10+10×92×2=100，故选：D．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：对于A，由折线图可知，7月份两个折线图的差距为6个单位，11月份两个折线图的差距为5个单位，所以该商店2018年的12个月中7月的利润最高，故选项A错误；对于B，由折线图可以看出，上半年的总利润为(2+3+2+1+3+3)×10=140万元，下半年总利润为(6+4+3+3+5+3)×10=240万元，所以该商店2018年下半年的利润高于上半年的利润，故选项B正确；对于C，该商店2018年的总利润为(2+3+2+1+3+3+6+4+3+3+5+3)×10=380万元，故选项C错误；对于D，该商店2018年下半年的总收入比上半年增长了240−140140×100%≈71.4%，故选项D错误．故选：B．利用折线图中的数据信息，对四个选项进行逐一分析判断，即可得到答案．本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：f(−x)=e |−x|cos(−x)=e |x|cosx =f(x)，故函数f(x)为偶函数， 又f(0)=e 0⋅cos0=1>0，排除B ， f(2)=e 2⋅cos2<0排除D ， f(π3)=e π3×12>e2>1.可排除C ．故选：A ．先判断函数的奇偶性，再由f(0)，f(2)，f(π3)的大小排除选项，进而得到正确选项． 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵a =21.2>21=2，∴a >2， ∵30<b =30.3<30.5，∴1<b <√3， ∵c =40.5=2，∴a >c >b ， 故选：D ．利用指数函数单调性，找到中间量求解即可．本题考查了指数函数的单调性，考查了运算能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1,0)， 过焦点F 且斜率为43的直线l ：y =43(x −1)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =43(x −1)y 2=4x ，得y 2−3y −4=0，所以y 1+y 2=3，y 1y 2=−4，所以x 1+x 2=34(y 1+y 2)+2=174，x 1x 2=y 124⋅y 224=1，所以E 点坐标为(−1,0)，所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2 =1+174+1−4=94，故选：C ．求出焦点坐标，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，化简，利用韦达定理以及向量的数量积转化求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了计算能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：y=sinωx+cosωx=√2sin(ωx+π4)，因为函数y在区间(m,n)上是单调的，且|m−n|的最大值为π，所以最小正周期T=2π，所以2πω=2π，即ω=1．故选：B．由题意知，函数y的最小正周期T=2π，利用辅助角公式，得y=√2sin(ωx+π4)，再由T=2πω，得解．本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、正弦函数的周期性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆柱体的34．故V=34×π⋅12⋅3=9π4．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意知，√1+x=x，且x>0，∴x2−x−1=0，解得x =1+√52或1−√52(舍负)，∴式子√1+√1+√1+√⋅⋅⋅的值为1+√52．故选：C ．由类比推理可知，所求式子的值为方程√1+x =x(x >0)的解．本题考查类比推理，会利用求根公式解一元二次方程组是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：由双曲线的方程可得右焦点F(c,0)，渐近线的方程为：bx ±ay =0， 由以双曲线的右顶点A 为圆心，b2为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：ab√a 2+b2=b2，可得3a 2=b 2=c 2−a 2，可得a =12c ， 所以双曲线的离心率e =ca =2， 故选：C ．由双曲线的方程可得右焦点F 的坐标，及渐近线的方程，再由以右顶点为A ，以A 为圆心，b2为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，可得圆心到渐近线的距离等于半径，可得3a 2=b 2，再由a ，b ，c 之间的关系求出双曲线离心率． 本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．13.【答案】7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −5y −1=03x +2y −11=0，A(3,1)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×3+1=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】10【解析】解：因为等比数列{a n }中，log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 2(a 35)=5，所以a 3=2， 因为b 3=a 3=2，则由等差数列的性质得b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=5b 3=10． 故答案为：10．由已知结合等比数列的性质可求a 3，然后结合等差数列的性质即可求解． 本题主要考查了等差数列与等比数列的性质，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2−2x −6y +6=0即(x −1)2+(y −3)2=4， 圆心C 的坐标为(1,3)，半径r =2，直线l ：kx −y −2k +2=0，即y −2=k(x −2)，恒过定点M(2,2)， 又由圆C 的方程为(x −1)2+(y −3)2=4，则点M(2,2)在圆内， 分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB|最小， 此时|CM|=√(2−1)2+(2−3)2=√2， 则|AB|的最小值为2√4−2=2√2； 故答案为：2√2．根据题意，分析圆C 的圆心与半径，将直线l 的方程变形为y −2=k(x −2)，恒过定点M(2,2)，分析可得M 在圆C 内部，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过定点，属于中档题．16.【答案】−2【解析】解：根据题意，对任意t∈R都有f(1+x)=f(1−x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，又由函数y=f(x)为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于原点对称，则有f(x+2)=f[1+(x+1)]=f[1−(x+1)]=f(−x)，故f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，即函数y=f(x)为周期为4的周期函数，则f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=−f(1)=−2，故答案为：−2．根据题意，由f(1+x)=f(1−x)结合函数的奇偶性分析可得f(x+4)=f[(x+2)+ 2]=−f(x+2)=f(x)，即可得函数y=f(x)为周期为4的周期函数，据此可得f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=−f(1)，即可求解结论．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数值的计算，关键是分析函数的周期，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB =tanAtanB−11−tanAtanB=−1，∴A+B=3π4，∴C=π−(A+B)=π4．(2)∵AD⊥AC，C=π4，∴△ACD为等腰直角三角形，∵b=AC=1，∴AD=CD=√22AC=√22，∵CD =2BD ，∴BD =√24，在Rt △ABD 中，AB =√AD 2+BD 2=√(√22)2+(√24)2=√104．【解析】(1)结合两角和的正切公式与三角形的内角和定理，即可得解；(2)易知△ACD 为等腰直角三角形，从而得AD 和BD 的长，再在Rt △ABD 中，由勾股定理，得解．本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握两角和的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，该年级随机选取一名学生，求该学生恰好出生在上半年(1−6月份)的概率为180+110+120+160+130+1001200=23；(2)①回答问题A 的概率为0.41=25，回答问题B 的概率为0.61=35，上半年出生的概率为23， 设该年级学生有作弊情况的概率为P ， 故回答问题A 的人数为120×25×23=32人， 回答问题B 的人数为120×35⋅P =72P 人， 所以32+72P =38，解得P =112， 所以该年级学生有作弊情况的概率为112； ②由题意，X 服从二项分布，即X ～B(10,112)， 所以E(X)=10×112=56， D(X)=10×112×(1−112)=5572．【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)①分别求出回答问题A 和问题B 的概率，设该年级学生有作弊情况的概率为P ，求出回答问题A 和问题B 的人数，列出关于P 的等式，求解即可；②由题意，X 服从二项分布，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．本题考查了随机变量的分布列与数学期望，古典概型的计算公式，二项分布的理解和应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BD=1，AB=√2，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD为等腰直角三角形，且AD⊥BD，∴BC⊥BD，设点A′到面BCD的距离为h，则V A′−BCD=13S△BCD⋅ℎ=13×12⋅BC⋅BD⋅ℎ=16ℎ，∴当四面体A′−BCD的体积最大时，h最大，此时ℎ=A′D，即A′D⊥面BCD，∵BC⊂面BCD，∴AD⊥BC，∵BD⊥BC，BD∩AD=D，BD，AD⊂面ABD，∴BC⊥面ABD，∵DE⊂面ABD，∴BC⊥DE，∵A′D=BD，E为A′中点，∴DE⊥A′B，∵A′B∩BC=D，A′B，BC⊂面A′BC，∴DE⊥面A′BC，∵A′C⊂面A′BC，∴DE⊥A′C，∵DF⊥A′C，DF∩DE=D，DF，DE⊂面DEF，∴A′C⊥面DEF，∵EF⊂面DEF，∴EF⊥A′C．解：(2)过点F作FH⊥A′B交A′B于点H．由(1)知DE⊥面A′BC，∵EF⊂面A′BC，∴DE⊥EF，∵A′D=BD=1，∴AB=√2，∵E是A′B的中点，∴DE=BE=√22，在Rt△A′BC中，EF=BCA′C ⋅A′E=√3√22=√66，A′F=√A′E2−EF2=√33，∴FH=A′FA′C ⋅BC=√33√3×1=13，设点B到面BEF的距离为d′，则V B−DEF=V D−BEF，∴13S △DEF ⋅ℎ′=13S △BEF ⋅DE ， ℎ′=S △BEF ⋅DE S △DEF=12BE⋅FH⋅DE 12DE⋅EF =√33．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理加以证明；(2)利用等体积法求距离． 本题考查了线面垂直的判定定理了和性质定理的应用，以及利用等体积法求点到面的距离．20.【答案】解：(1)设M(x 0,y 0)，则{x 024+y 02b 2=1y 0x 0+2⋅y 0x 0−2=−34， 所以(b 2−3)(x 024−1)=0，因为x 0≠±2， 所以b 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)设P(x P ,y P )，Q(x Q ,y Q )，R(x R ,y R )， 则直线AP 的方程为y =y Px P +2(x +2)， 当x =4时，y =6y Px P +2，所以R(4,6y PxP +2)，所以直线BR 的方程为y =3y PxP +2(x −2)，设k =3y Px P +2，则由{y =k(x −2)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 所以x B +x Q =16k 24k 2+3，因为x B =2， 所以x Q =16k 24k 2+3−2，所以Q(16k 24k 2+3−2,−12k4k 2+3)， 因为P(x P ,y P )，F(1,0)， 所以k PF =y Px P −1，k PQ =−12k4k 2+316k 24k 2+3−3=−12k4k 2−9，所以k PF −k FQ =y Px P −1+12×3y P x P +24×(3yP x P +2)2−9=y PxP−1+36y P (x P+2)36y P2−9x P2−36xP −36①，因为点P 在椭圆上， 所以x P24+y P23=1，所以36y P 2=108−27x P 2②，将②代入①得，k PF −k FQ =y Px P −1+y P (x P +2)−x P 2−x P+2=y P x P −1−y P (x P +2)(x P −1)(x P +2)=0，所以k PF =k FQ ， 所以P ，F ，Q 三点共线．【解析】(1)设M(x 0,y 0)，由MA 、MB 的斜率之积为−34，得{x 024+y 02b 2=1y 0x 0+2⋅y 0x 0−2=−34，解得b 2，即可得出答案．(2)设P(x P ,y P )，Q(x Q ,y Q )，R(x R ,y R )，写出直线AP 的方程，进而可得点R 坐标，写出直线BR 的方程y =3y PxP+2(x −2)，设k =3y PxP +2，联立直线BR 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x B +x Q ，又x B =2，进而可得点Q 坐标，写出k PF ，k PQ ，作差得k PF −k FQ =y PxP −1+36y P (x P +2)36y P 2−9x P 2−36x P−36①，由点P 在椭圆上，得36y P 2=108−27x P 2②，联立①②得k PF −k FQ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)求导函数，可得f′(x)=1+lnx ，∴f′(1)=1，f(1)=0，∴曲线f(x)在点(1,0)处的切线方程y −0=1×(x −1) 即y =x −1．(2)f(x)≥a(x −1)(x ≥1)可化为 xlnx ≥a(x −1)，当x =1时，0≥0，显然成立；当x >1时，不等式可化为a ≤xlnx x−1，令g(x)=xlnxx−1，g′(x)=(lnx+1)(x−1)−xlnx(x−1)2=x−lnx−1(x−1)2，令ℎ(x)=x −lnx −1，ℎ′(x)=1−1x ， 故ℎ(x)=x −lnx −1在(1,+∞)上是增函数， 故x −lnx −1>1−0−1=0， 故g′(x)=x−lnx−1(x−1)2>0；故g(x)=xlnxx−1，在(1,+∞)上是增函数，xlnxx−1−1=xlnx−x+1x−1，令u =xlnx −x +1，u′=lnx +1−1=lnx >0，在x ∈(1,+∞)恒成立，函数是增函数，并且u(1)=0，所以u(x)>u(0)=0，所以xlnxx−1−1>0，即xlnxx−1>1， (也可以利用洛必达法则求解x →1+limxlnx x−1=x →1+limlnx1−1x=x →1+lim1x 1x 2=x →1+limx =1)．故a ≤1； 即a ∈(−∞,1]；【解析】(1)求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程． (2)原不等式可化为xlnx ≥a(x −1)，从而讨论x =1与x >1时不等式成立的条件即可； 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，切线方程的求法，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C 1在φ：{x′=2xy′=2y 的变换作用下得到曲线C 2，即(x −2)2+y 2=4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转化为极坐标方程为ρ=4cosθ．(2)直线y =kx(k >0)转换为极坐标方程为θ=α(0<α<π2)，所以S △APQ =S △AOQ −S △AOP =12×1×4cosα⋅sinα−12×1×2cosα⋅sinα=12sin2α． 当α=π4时，S △APQ 的最大值为12．【解析】(1)直接利用转换关系和伸缩变换的应用，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角形的面积公式和极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，不等式f(x)≤2即为|x +1|+|2x −1|≤2，等价为{x ≤−1−x −1+1−2x ≤2或{−1<x <12x +1+1−2x ≤2或{x ≥12x +1+2x −1≤2，解得x ∈⌀或0≤x <12或12≤x ≤23， 所以原不等式的解集为[0,23]；(2)若函数y =f(x)的图象恒在y =g(x)的图象的上方， 则不等式|x +1|+|2x −a|>ax +a(a >0)恒成立．当x ≤−1时，−x −1+a −2x >ax +a ，即为−1>(a +3)x 恒成立，可得−1>−(a +3)，解得a >−2，则a >0；当−1<x <a2时，x +1+a −2x >ax +a ，即为1>(a +1)x 恒成立，可得1≥(a +1)⋅a 2，解得−2≤a ≤0，则0<a ≤1；由上面可得0<a ≤1，又当x≥a时，x+1+2x−a>ax+a，即为1−2a>(a−3)x恒成立，2(a−3)，由于0<a≤1，a−3<0，可得(a−3)x≤a2(a−3)，解得−2≤a≤1，则0<a≤1．则1−2a>a2所以，a的取值范围是(0,1]．【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得不等式|x+1|+|2x−a|>ax+a(a>0)恒成立．去绝对值，结合不等式恒成立思想和一次函数的单调性，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
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吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学参考答案与评分标准一、二、填空题13. 7 14. 10 15.16. -2三、解答题 17. 解：（1）由题意1tan tan tan tan A B A B ++=⋅所以tan tan tan tan 1tan()11tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B+-+===--- -------------------------------------------4分因为为三角形的内角，所以34A B π+=, 所以4C π= ----------------------------------------6分（2）在三角形中，,4DA AC C π⊥=,所以,1,4ADC AD AC CD π∠====因为2BD CD =，所以BD BC == -------------------------------------------------------8分在三角形中， 1,4AC BC C π==∠= 所以，由余弦定理得 22252cos 2c a b ab C =+-=所以2AB c == -----------------------------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）上半年出生的学生人数为180+110+120+160+130+100=800 -----------------------------------------------2分高三年级的总人数为1200,所以从中随机选取一名同学，该同学恰好出生在上半年的概率为8001200=23------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）设该年级学生有作弊情况的概率为,由题意可知:2381200.4120(10.4)3p =⨯⨯+⨯- -------------------------------------------------------------------------10分解得，p =112所以，该年级学生有作弊情况的概率为112------------------------------------------------------------------12分19. 解：（1）在D ABD 中，AD =BD =1,AB =ÐADB =90°，同理，ÐDBC =90°.当四面体体积最大时，A 'D ^平面BCD . --------------------------------------------------------------------2分∴A 'D ^BC∴BC ^平面A 'BD ∴BC ^DEQ E 为棱A 'B 的中点 ∴DE ^A 'B∴DE ^平面A 'BC∴DE ^A 'C -----------------------------------------------------------------------------------------4分 Q DF ^A 'C , DE DF D =I所以A 'C ^平面DEF 所以EF^A 'C ----------------------------------------------------------------------------------------6分（2）因为A 'C ^平面DEF所以点A '到平面DEF 的距离为A 'F在D A 'DC 中，DF ^A 'C ,A 'D =1,DC =A 'C =所以A 'F =3---------------------------------------------------------------------------------------------10分 因为E 是A 'B 的中点所以点B 到平面DEF 的距离与点A 到平面DEF 的距离相等所以点B 到平面DEF 的距离为3-----------------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）设M (x 0,y 0)，因为A ,B 分别为椭圆的左右顶点，所以A (-2,0),B (2,0) 所以y 0x 0+2×y 0x 0-2=-34-------------------------------------------------------------------------------------3分 因为M 为椭圆上的动点，所以x 024+y 02b 2=1所以b 2=3，即椭圆的标准方程为x 24+y 23=1 -------------------------------------------------------------5分（2）设R (4,m )，则直线AR :y m =x +26，即 x =6my -2 与椭圆的标准方程x 24+y 23=1联立并化简，得：(27m 2+1)y 2-18m y =0--------------------------7分 解得，y P =18m m 2+27,x P =54-2m2m 2+27同理，求得点Q 的坐标为Q (2m 2-6m 2+3,-6mm 2+3) --------------------------------------------------------------10分因为F (1,0)，所以经过计算可得，PF ,QF 的斜率均为6m9-m 2所以P ,Q ,F 三点共线 --------------------------------------------------------------------------------------------12分21.解：（1）()1ln ,(1)1f x x k f ''=+== -----------------------------------------------------------------------------3分因为(1)0f =，所以切线方程为1(1)y x =⨯-，即10x y --= --------------------------------5 分（2）构造G (x )=f (x )-g (x )=x ln x -a (x -1) ------------------------------------------------------------------6分当a £1时，G '(x )=ln x +1-a 因为x ³1,a £1，所以G '(x )³0在[1,+¥)成立所以G (x )³G (1)=0； --------------------------------------------------------------------------------------9分当a >1时，由（1）可知2()ln (1)(1)(1)(1)(1)()G x x x a x x x a x x a x a x x a =--≤---=-++=--所以当x Î(1,a )时，G (x )<0与已知矛盾，舍去.综上，a 的取值范围是a £1 ------------------------------------------------------------------------------------12分 22.解：（1）C 1的普通的方程为(x -1)2+y 2=1 ------------------------------------------------------------------------- 2分在j 的变换作用下，得到C 2为(x '2-1)2+(y '2)2=1即C 2:(x '-2)2+y '2=4-------------------------------------------------------------------------4分所以C 1的极坐标方程为r =2cos qC 2的极坐标方程为r =4cos q -------------------------------------------------------------------------5分（2）由题意，直线y =kx (k >0)的极坐标方程为q =q 0(q 0Î(0,p2))分别与曲线C 1,C 2联立，得|OP |=r 1=2cos q 0,|OQ |=r 2=4cos q 0 -------------------------------7分所以0002100011||||sin ||||sin 221sin ()sin cos 211sin 222APQ OAQ OAP S S S OA OQ OA OP θθθρρθθθ∆∆∆=-=⋅-⋅=-=⋅=≤当且仅当q 0=p4时取“=”， 所以，D APQ 面积的最大值为12---------------------------------------------------------------------------10分 23.解：（1）当x <-1时，f (x )=-3x £2，解得x ³-23，舍去； --------------------------------------------------2分当-1£x £12时，f (x )=-x +2£2，解得0£x £12； --------------------------------------------------3分当x >12时，f (x )=3x £2，解得12<x £23； --------------------------------------------------4分综上，x Î[0,23] ---------------------------------------------------------------------------------------------------5分（2）由题意可知|a 2+1|>a ×a2+a -----------------------------------------------------------------------------7分 化简得a 2-a -2<0 --------------------------------------------------------------------------------------------8分解得-1<a <2，因为a >0 所以 0<a <2 -----------------------------------------------------------------------------------------------10分。