运筹学整数规划PPT优秀课件
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Chapter4 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
Page 2
整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为 整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件 构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛
x
ij
0
(i, j 1,2 ,3 ,4 )
y i 0 ,1 ( i 1 , 2 )
Page 6
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 7
例4.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
xj 0对 项 j不目 投 (j资 1,2,..n).,
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
a jx j
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者
1 （ j 1,2, n ）
整数规划的特点及应用
Page 9
例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
Page 8
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为： 1对 项 j投目 资
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的特点及应用
Page 10
设
1
xij 0
数学模型如下：
分 配i人 第做 j工 作 时 不 分 配 i人第 做 j工 作 时
mZ a x 8x 5 11 9x 2 12 7x 3 13 9x 0 14 9x 5 21 8x 7 22 7x 8 23 9x 5 24 8x 2 31 8x 3 32 7x 9 33 9x 0 34 8x 6 41 9x 0 42 8x 0 43 8x 8 44
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万
元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用
最少。
整数规划的特点及应用
Page 5
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
x x
1 1
2 3
x 22 x 23
x 32 x 33
x 42 x 43
1 1
x14 x 24 x 34 x 44 1
x ij0 或 1 ， i、 j1 ,2 ,3 ,4
Page 11
整数规划的特点及应用
Page 12
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集。
问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
maxZ(或minZ) cj xj j1
n
aijБайду номын сангаасx j
bi
(i 1.2m)
j1
xj 0(j 1.2n)且部分或全部为整数
整数规划的特点及应用
Page 3
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。
题）。
max Z x 1 x 2
14 x 1 9 x 2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x
2
0
整数规划的特点及应用
Page 14
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建(工 i1,厂 2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
min z
c ij x ij [ 1200 y 1 1500 y 2 ]
i1 j1
x 11 x 21 x 31 x 41 350
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x
21
x 22
x 23
x 24
1
x
31
x 32
x 33
x 34
1
x 41 x 42 x 43 x 44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
变量约束：
x11 x21 x31 x41 1
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 13
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问
x
12
x 22
x 32
x 42
400
x
13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 150
s
.t
x x
11 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200
y1
x 41 x 42 x 43 x 44 200 y 2
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
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整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为 整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件 构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛
x
ij
0
(i, j 1,2 ,3 ,4 )
y i 0 ,1 ( i 1 , 2 )
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混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 7
例4.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
xj 0对 项 j不目 投 (j资 1,2,..n).,
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
a jx j
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者
1 （ j 1,2, n ）
整数规划的特点及应用
Page 9
例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
Page 8
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为： 1对 项 j投目 资
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的特点及应用
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设
1
xij 0
数学模型如下：
分 配i人 第做 j工 作 时 不 分 配 i人第 做 j工 作 时
mZ a x 8x 5 11 9x 2 12 7x 3 13 9x 0 14 9x 5 21 8x 7 22 7x 8 23 9x 5 24 8x 2 31 8x 3 32 7x 9 33 9x 0 34 8x 6 41 9x 0 42 8x 0 43 8x 8 44
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万
元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用
最少。
整数规划的特点及应用
Page 5
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
x x
1 1
2 3
x 22 x 23
x 32 x 33
x 42 x 43
1 1
x14 x 24 x 34 x 44 1
x ij0 或 1 ， i、 j1 ,2 ,3 ,4
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整数规划的特点及应用
Page 12
整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一 个子集。
问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
maxZ(或minZ) cj xj j1
n
aijБайду номын сангаасx j
bi
(i 1.2m)
j1
xj 0(j 1.2n)且部分或全部为整数
整数规划的特点及应用
Page 3
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。
题）。
max Z x 1 x 2
14 x 1 9 x 2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x
2
0
整数规划的特点及应用
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用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建(工 i1,厂 2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
min z
c ij x ij [ 1200 y 1 1500 y 2 ]
i1 j1
x 11 x 21 x 31 x 41 350
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x
21
x 22
x 23
x 24
1
x
31
x 32
x 33
x 34
1
x 41 x 42 x 43 x 44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
变量约束：
x11 x21 x31 x41 1
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反 之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解 的目标函数值。
整数规划的特点及应用
Page 13
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问
x
12
x 22
x 32
x 42
400
x
13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 150
s
.t
x x
11 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200
y1
x 41 x 42 x 43 x 44 200 y 2