第1章 运动的描述

17
首页 上页 下页 退出
4、加速度 a 描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量
r ,v a
为描述机械运动的状态参量 称为机械运动状态的变化率
1）平均加速度与瞬时加速度 ）
vA
A B
vB
vA
∆v
o
vB
∆v a= ∆t
∆v dv d 2 r a = lim = = 2 ∆t → 0 ∆t dt dt
r
β
k
α
0 i x
γ
j
p ( x、 y、 z )
y
r0
p
极轴
r
o
θ
z
x
s>0 Y
τB
nB nA
O
τA
s<0
s=0
x
X
θ ϕ
r P y
5
首页 上页 下页 退出
三、物理模型
对真实的物理过程和对象， 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要 求对其进行理想化的简化， 求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理 想模型。 想模型。 *关于物理模型的提出 关于物理模型的提出 明确所提问题； （１）明确所提问题； 分析各种因素在所提问题中的主次； （２）分析各种因素在所提问题中的主次； （３）突出主要因素，提出理想模型； 突出主要因素，提出理想模型； （４）实验验证。 实验验证。 “理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。 理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。 理想模型
∆ r = ∆ x i + ∆ y j + ∆ zk
2）路程△S ）路程△ 时间内质点在空间实际运行的路径。 △t 时间内质点在空间实际运行的路径。 位移和路程的比较与联系 不同处： 不同处：∆r 是矢量，∆S是标量； 是矢量， 标量； 只与始末位置有关； ∆r 只与始末位置有关； 与轨道形状和往返次数有关； △S与轨道形状和往返次数有关； 因此， 因此，一般情况下
11
首页 上页 下页 退出
例1－1、平抛运动的运动方程为 － 、
x = v0 t 1 2 y = 2 gt
轨迹方程为
g 2 y= 2x 2 v0
例１－２、一质点的运动方程为
r = R cos ω t i + R sin ω t j
消去t， 消去 ，得轨道方程
x + y
2
2
= R
8
首页 上页 下页 退出
§1-2 运动的描述
一、描述质点运动的四个物理量
1、位置矢量 位置矢量 1)位置坐标 位置坐标 质点P在直角坐标系中的位置可由 在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标 质点 在直角坐标系中的位置可由 所在点的三个坐标 （x，y，z）来确定 ， ， ） Z P(x,y,z) r
∆r ≠ ∆s
dθ
dr
联系： 联系： 在△t →0时， 时
dr = ds
但仍是
dr ≠ dr
dr
14
首页 上页 下页 退出
3、速 度 、 描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量 1）平均速度与平均速率 ）
∆r v= ∆t
∆s v= ∆t
读成t时刻附近△ 时间内的平均速度 或速率） 读成 时刻附近△t时间内的平均速度（或速率） 时刻附近 时间内的平均速度（
∆s ds v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
可见速率是路程对时间的变化率。 可见速率是路程对时间的变化率。
dr ds ∵v = = = v 可见速率是速度的模。 可见速率是速度的模。 dt dt
∴ v = vτ 0
τ0
是轨道切线方向上的单位矢。 是轨道切线方向上的单位矢。
16
首页 上页 下页 退出
v0 ≠ 0 a = 常量
≠0 (0 < θ < π ) 且a与v0夹角θ ≠π
Y v0 θ X
2）重力场中抛体运动的描述 ）
v x = v0 cosθ (1)速度公式 (1)速度公式 v y = v0 sin θ − gt
x = v0 cos θ ⋅ t (2)坐标公式 (2)坐标公式 1 2 y = v0 sin θ ⋅ t − 2 gt
2 z
2
dv x dv y dv z = + dt + dt dt
2
2
2
d x d y d z = 2 + 2 + 2 dt dt dt
2
2
19
这说明，一切运动都是绝对的， 这说明，一切运动都是绝对的，因此只有讨论相对意义上 的运动才有意义。 的运动才有意义。 英国大主教贝克莱： 让我们设想有两个球， 英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 但是，若天空上突然产生恒星， 但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不 同部分的想对位置想象出它们的运动了” 同部分的想对位置想象出它们的运动了”。
r = r (t)
运动方程是时间t的显函数。 运动方程是时间 的显函数。 的显函数 b、质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。 、质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。 从上式中消去t即可得到轨道方程。 从上式中消去 即可得到轨道方程。 即可得到轨道方程 轨道方程不是时间t显函数。 轨道方程不是时间 显函数。 显函数
第一章
§ 1-1 § 1-2 § 1-3
运动的描述
参照系 坐标系 质点 运动的描述 相对运动
1
首页 上页 下页 退出
§1-1 参照系 坐标系 质点
一、运动的绝对性和相对性
例如,观察表明： 例如 观察表明： 观察表明 v地日＝30kms-1, v日银＝25０kms-1, ０ v银银＝600kms-1
22
首页 上页 下页 退出
(3) 几个重要问题 (i)射高 : 射高
z A
τ0
∆ r1
v = vτ 0
B
r1
0 x
r2
∆ r2
r3
y
15
首页 上页 下页 退出
在一般情况下 在直角坐标系中 2）瞬时速度与瞬时速率 ）
v ≠v
∆x ∆y ∆z v = i + j+ k ∆t ∆t ∆t
可见速度是位矢对时间的变化率。 可见速度是位矢对时间的变化率。
∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
r
o
X 参照系
Y
9
首页 上页 下页 退出
2)位置矢量 r 位置矢量 由坐标原点引向考察点的矢 简称位矢。 量，简称位矢。 其在直角坐标系中为
z
k
α
0 i
2
γ
β
r j y
r = xi + yj + zk
r = x +y +z
2 2
x
r的方向余弦是 的方向余弦是
x z y cos α = cos β = cos γ = r r r cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
在极坐标系中 在自然坐标系中
r = r (s )
r = rr0
10
首页 上页 下页 退出
3）运动方程和轨迹方程 ） a、质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运 、质点在运动过程中， 动方程。 动方程。 表示为： 表示为： 或
x = x(t) , y = y(t) , z = z(t).
首页 上页 下页 退出
例1－3 一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端 的平台 － 一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端h的平台 不变，求小车的速度和加速度（ 上，人的速率为 v0 不变，求小车的速度和加速度（绳子不可 伸长） 伸长） 解：人在地面沿X轴 人在地面沿 轴 方向前进， 方向前进，以滑轮为 原点，则人在t 原点，则人在 时刻 的坐标为x， 的坐标为 ，人的速 度为
18
首页 上页 下页 退出
2）加速度 a 在直角坐标系中
dv y dv dvx dvz a= = i+ j+ k dt dt dt dt
d 2x d2y d 2z = 2 i + 2 j+ 2 k dt dt dt
= axi + a y j + az k
2
a = a +a +a
2 x 2 y
2 2
2
12
首页 上页 下页 退出
2、位移和路程 1）位移 ∆r a、定义 ：由起始位置指向终了位置的有向线段； 由起始位置指向终了位置的有向线段； 、 △t 时间内位置矢量的增量 ∆ r = r2 − r1
Z
∆S
A
r1
∆r
B
A
∆r
∆r1
B
r2
Y
r1
r2
∆r = ∆r2 = r2 − r1
X
位移的模
∆r
dl dx x ∴ 2l = 2 x ⇒ 即 ν 车 = ν dt dt l ν0x ν车 = = ν 0 cosθ x2 + h2 dν 车 d v0 x a车 = = dt dt x 2 + h 2
dx 2 d 2 v0 x + h − v0 x dt = dt x2 + h2
0
(
)
(
x2 + h2
)
=
v
2 0
x + h − v0 x x + h
2 2 2
(x
(
1 2 −2
2
+h
2
)
)
1 dx ⋅ ⋅ 2x 2 dt =
(x
2 v0 h 2 2
+h
2
)
3 2
21
首页 上页 下页 退出
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动的直角坐标系描述—以抛体运动为例 、平面曲线运动的直角坐标系描述 以抛体运动为例 1）物体作抛体运动的运动学条件： ）物体作抛体运动的运动学条件：
3
首页 上页 下页 退出
卫星
地球 地球
Z
地面系
日心系
o
X
地心系
Y
4
首页 上页 下页 退出
二、坐标系
为定量地描述物体位置而引入。 为定量地描述物体位置而引入。 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标 系或柱面坐标系等。 系或柱面坐标系等。
z
θ0
0
θ
x
x
l
θ
h
v0
v车
dx ν0 = dt
由于绳子不会伸长，故水平绳长 与斜向绳长 的变化率相同， 与斜向绳长l的变化率相同 由于绳子不会伸长，故水平绳长S与斜向绳长 的变化率相同， 绳长的变化率即为车前进的速率。 绳长的变化率即为车前进的速率。
ν
车
dl = dt
l = x +h
2 2
2
20
首页 上页 下页 退出
与矢量模的增量
2
| ∆r |=| r2 − r1 | = (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 )
2
2 2 2 ∆r =| r2 | − | r1 |= x2 + y2 + z2 − x12 + y12 + z12
பைடு நூலகம்
∆r
不是同一个量
2
13
首页 上页 下页 退出
b、位移在直角坐标系中的表示式
6
首页 上页 下页 退出
1、 理想质点模型 、 选用质点模型的前提条件是： 选用质点模型的前提条件是： 物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围 相比可以忽略 物体自身线度 与所研究的物体运动的空间范围r相比可以忽略； 与所研究的物体运动的空间范围 相比可以忽略； 或者物体只作平动。 或者物体只作平动。 两个条件中，具一即可。 两个条件中，具一即可。 真实的物体不满足上述条件时， 真实的物体不满足上述条件时，则可将其视为满足第一个 条件的质点系。 条件的质点系。
2
首页 上页 下页 退出
参考系 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群— 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群 —称为参考系。 称为参考系。 称为参考系 运动描述的相对性：即选不同的参考系， 运动描述的相对性：即选不同的参考系，运动的描述是不 同的。 同的。
V
例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动， 例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动， 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 地面上的观察者：物体作平抛运动。 地面上的观察者：物体作平抛运动。
3）v 在直角坐标系中的表示式
设 r = xi + yj + zk dz dx dy dr v= = i+ j+ k dt dt dt dt
= vx i + v y j + vz k
v = v = v +v +v
2 x 2 y
2 2
2 z
2
dx dy dz = + + dt dt dt
7
首页 上页 下页 退出
2、理想刚体模型 、 当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围 比不可 当物体自身线度 与所研究的物体运动的空间范围r比不可 与所研究的物体运动的空间范围 以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位， 以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位， 我们可以引入刚体模型。 我们可以引入刚体模型。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。 的质点系。