利用Matlab 模拟点电荷电场的分布的仿真实验报告

利用 Matlab 模拟点电荷电场的分布
一、实验目的：
1．熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况； 2．学会使用 Matlab 进行数值计算，并绘出相应的图形；
二、实验原理：
根据库伦定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电 量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线 上，两电荷同号为斥力，异号为吸力，它们之间的力 F 满足： QQ ˆ F k 1 21 R (式 1) R 由电场强度 E 的定义可知：
x* 1 x* 1 Ex E0 { * }， [( x 1) 2 y*2 ]3/ 2 [( x* 1) 2 y*2 ]3/ 2 y* y* }。 E y E0 { * [( x 1) 2 y*2 ]3/ 2 [( x* 1) 2 y*2 ]3/ 2
zlabel('\itE_x/kQa\rm^-^2','fontsize',fs)%显示高坐标 axis tight subplot(122); surf(x,y,Ey(X,Y)) box on %紧贴轴 %创建图形窗口 2 %画曲面 %加框
title('等量同号点电荷场强\ity\rm 分量曲面','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('\itx/a','fontsize',fs) ylabel('\ity/a','fontsize',fs) %显示横坐标 %显示纵坐标
kQ ˆ (式 2) E 2 R R
对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场 E 的势函数为 U
streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1) dth2=dth1/q; th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180; x2=r0*cos(th2)+1; y2=r0*sin(th2); streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2) axis equal tight
kQ (式 3) R
而 E U (式 4)
txt=['电荷比:\itQ\rm_2/\itQ\rm_1=' num2str(q)];%电荷比文本 text(-xm,-ym-0.3,txt,'fontsize',16) %显示电荷比
取 q 1 和 q 2 作出点电荷对的电场线和等势线如图 2 所示：
图 2 一对同号点电荷的平面电场线与等势线
kQ( x a) kQ( x a) ， 2 2 3/ 2 [( x a ) y ] [( x a) 2 y 2 ]3/ 2 kQy kQy 。 2 2 3/ 2 [( x a ) y ] [( x a) 2 y 2 ]3/ 2
(6a)
Ey
(6b)
可见：Ex 是 x 的奇函数，是 y 的偶函数；Ey 是 x 的偶函数，是 y 的奇函数。Ex 和 Ey 的空间分布比较复杂，需要通过曲面和曲线显示其分布规律。 2 取 E0 = kQ/a 为电场强度单位，则电场强度的分量可表示为
q=1.6*10^(-19); %元电荷电量 r0=0.1; %电场线起点半径
theta=linspace(0,2*pi,13); [x,y]=pol2cart(theta,a); x=[x;0.05*x]; y=[y;0.05*y]; quiver(x,y,0.5*x,0.5*y) plot(x,y) hold on u=k*q/r0;
2、画一对点电荷的平面电场线与等势线 程序代码如下：
%同号点电荷对的电场线和等势线 clear q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1+q./R2; u=1:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u) grid on legend(num2str(u')) hold on plot([-xm;xm],[0;0]) plot([0;0],[-ym;ym]) plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) plot(1,0,'o','MarkerSize',12) %清除变量 %电量比 （绘制不同电量比点电荷对的电场线和等势线只需改变 q 值即可） %横坐标范围 %横坐标范围 %横坐标向量 %纵坐标向量 %设置坐标网点 %第一个正电荷到场点的距离 %第二个正电荷到场点的距离 %计算电势 %等势线的电势向量 %创建图形窗口 %画等势线 %加网格 %图例 %保持图像 %画水平线 %画竖直线 %画第一个正电荷 %画第二个正电荷
（2）等量同号点电荷对的电场强度分量的曲面 设两个点电荷的电量为 Q，场点 P(x,y)的场强的 x 分量为
Ex
场强的 y 分量为
kQ kQ cos 1 2 cos 2 ， 2 r1 r2
Ey
利用三角关系得
kQ kQ sin 1 2 sin 2 。 2 r1 r2
Ex
在 Matlab 中，由以上公式算出各点的电势 U，电场强度 E 后，可以用 Matlab 自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况。
三、实验内容
1、画单个点电荷的平面电场线与等势线 等势线就是以电荷为中心的圆簇，用Matlab画等势线更加简单。静电力常量 为k=9*e9，电量可取为q=1e‐19；最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点， r0 0.1 。其电势为 u0 k * q / r0 。如果从外到里取7条等势线，最里面的等势线的 电势是最外面的3倍，那么各条线的电势用向量表示为： u linspace(1,3, 7) * u0 。 从‐r0到r0取偶数个点，例如100个点，使最中心点的坐标绕过0，各点的坐标可用
kQ ˆ 三维图形 3、作 E 2 R R
（1）单个电荷的立体电场分布如图 3 所示
图 3 单个电荷的立体电场分布 程序代码如下：
%单个电荷立体电场分布 k=9*10^9;q=10^(-9);r0=0.1;u0=k*q/r0; [X,Y,Z]=sphere(8);x=r0*X(:)';y=r0*Y(:)';z=r0*Z(:)'; x=[x;zeros(size(x))];y=[y;zeros(size(y))];z=[z;zeros(size(z))]; plot3(x,y,z); hold on u=linspace(1,3,5)*u0;[X,Y,Z]= sphere;r=k*q./u; Z(X<0&Y<0)=nan; for i=1:5 surf(r(i)*X,r(i)*Y,r(i)*Z) end shading interp title('单个电荷立体电场分布','fontsize',20)%显示标题 xlabel('x','fontsize',16) ylabel('y','fontsize',16) zlabel('z','fontsize',16) %显示横坐标 %显示纵坐标 %显示竖坐标
Ex=inline(['(x+1)./' r13 '+(x-1)./' r23]);%场强的 x 分量内线函数 Ey=inline(['y./' r13 '+y./' r23]); fs=16; xm=3; ym=2.5; x=linspace(-xm,xm,50); y=linspace(-ym,y); surf(x,y,Ex(X,Y)) box on %场强的 y 分量内线函数
变量中的元素进行除法运算。用等高线命令 contour X , Y , U , u 即可画出等势线。 如图1所示：
图 1 单个点电荷的平面电场线与等势线 其代码如下：
%单个点电荷的平面电场线与等势线 a=0.2; k=9*10^9; %比例常数 u1=linspace(1,3,7)*u; x=linspace(-0.1,0.1,100); [X,Y]=meshgrid(x); r1=sqrt(X.^2+Y.^2); U=k.*q./r1; contour(X,Y,U,u1) title(' 单个点电荷的平面电场线与等 势线','fontsize',20)%显示标题 xlabel('r','fontsize',16) %显示横坐标 ylabel('E(U)','fontsize',16) %显示纵坐标
向量表示： x linspace(r0 , r0 ,100) ，在直角坐标系中可形成网格坐标：
[ X , Y ] meshgrid ( x) 。各点到原点的距离为： r X . ^ 2 Y . ^ 2 ，在Matlab中进行乘 方运算时，乘方号前面要加点，表示对变量中的元素进行乘方计算。各点的电势 为 U k .* q. / r ；同样地，在进行除法运算时，除号前面也要加点，同样表示对
[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));%用电势梯度求场强的两个分量 dth1=20; th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; r0=0.1; x1=r0*cos(th1)-1; y1=r0*sin(th1); %左边电场线角度间隔 %电场线的起始角度 %电场线起点半径 %电场线的起点横坐标 %电场线的起点纵坐标