数值分析矩阵特征值特征向量计算

1
A pk I vk1 uk
带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 k 将参数 p 取为 k 附近 若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法 令 p 足够靠近 k
22
6
R( x )
幂法
幂法（乘幂法，幂迭代）
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量 假设：(1) |1| > |2| … |n| 0 (2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn 计算过程： (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
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幂法
幂法中存在的问题 , | 1 | 1 k vk 1 1 xwk.baidu.com 0, | 1 | 1
改进方法：规范化
vk 1 Avk
vk uk , vk 1 Auk vk
x1 lim uk k x1
11
幂法
1 的计算
vk Ak v0 uk k vk A v0
vk 为 1 的近似特征向量
9
幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足 1 2 3 n
则由幂法生成的向量满足 ( vk 1 ) j vk lim k 1 x1 , lim 1 k k ( v ) 1 k j
2 注：幂法的收敛速度取决于 的大小 1
可以使用原点平移法对反幂法进行加速
问题：如何选择参数 p ？
离 n 越近越好（但不能相等）
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幂法的Rayleigh商加速
定理 设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为
1 2 n
对应的特征向量 x1, x2, ..., xn 满足： ( xi , x j ) ij ， 使用改进的乘幂法计算 A 的按模最大特征值 1 时， uk 的 Rayleigh商给出了 1 的较好的近似，即 2k 2 ( Auk , uk ) 1 O 1 ( uk , uk )
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
vk Avk 1
7
幂法的收敛性
收敛性分析
设 v0 1 x1 2 x2 n xn (1 0)
v1 Av0 11 x1 22 x2 nn xn
k vk Avk1 11k x1 22k x2 nn xn k k 1k 1 x1 2 2 x2 n n xn 1 1
k k (2) Ax x A x x
1 1 B P AP , Ax x By y , y P x (3)
(4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n )
4
圆盘定理
设 A=(aij)Rnn ，记
A-1
的特征值为：
1
1

1
2

1
n1

1
n
对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn
反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法
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反幂法
反幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
vk uk , vk 1 A1uk vk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 n1 n 0
则由反幂法生成的向量满足 xn lim uk , lim vk k xn k


1
n
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反幂法的加速
n 反幂法的收敛速度取决于 r 的大小 n 1
当 r 接近于 1 时，反乘幂法收敛会很慢！
2 幂法的收敛速度取决于 r 的大小 1
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
选择适当的 p 满足：
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p (1) | 1 p || j p | ( j = 2, ... , n ) j p 2 (2) max 2 j n p 1 1 保持主特征值 加快收敛速度
Ak u0 Ak 1u0 证： uk , vk 1 k max( A u0 ) max( Ak u0 )
k 1 k

( Auk , uk ) ( A u0 , A u0 ) k k ( uk , uk ) ( A u0 , A u0 )
2 2 k 1 i i i 1 n
则由改进的幂法生成的向量满足 x lim uk 1 , lim vk k x1 k

1
13
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25 0.5 0.25 2.0
14
幂法的加速
n

i 1
2 2k i i
2 k 1 O 2 1
20
Rayleigh 商加速
Rayleigh 商加速
xn lim uk k xn
( uk , Auk ) ( xn , Axn ) lim n k ( u , u ) ( xn , xn ) k k
Di C
| aii | aij j 1, j i
n
Gerschgorin 圆盘
i=1, 2, ... , n
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 是 A 的特征值，则
Di
i 1 n
若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
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举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向
量，取 p=0.75
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25 0.5 0.25 2.0
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反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量 假设：(1) |1| |2| … |n-1| > |n| > 0 (2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn

v k 1
lim vk
k

1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
vk uk , vk 1 Auk vk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足 1 2 3 n
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
vk uk , vk
( uk , Auk ) pk ( uk , uk )
1
vk 1 A pk I uk
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几点注记
带位移的反幂法中需要计算 vk 1 A pk I uk

1 x1
k 1
2 越小，收敛越快 1
8
幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
vk 1k1 x1 vk1 1k11 x1
vk 1 1vk
又 vk 1 Avk
v k 1 j vk j
1 ( j =1, 2, ... , n )
Avk 1vk
数值分析
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法
2
本讲内容
特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法
3
特征值性质
特征值与特征向量
Ax = x
( C, x 0 )
性质 (1) Ax x ( A I ) x ( ) x
k 1 n i k 1 1 1 x1 i xi 1 i2 Ak 1v0 Auk k k n A v0 i k 1 1 x1 i xi i2 1
5
Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 1 2 n
则对任意非零向量 x，有
( Ax , x ) n 1 ( x, x )
且
( Ax, x ) ( Ax , x ) 1 max , n min x 0 ( x, x ) x 0 ( x, x ) ( Ax, x ) 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 ( x, x )