自动控制原理第21讲

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第四章 小结
三、参数根轨迹 定义：以系统其它参量变化而绘制的根轨迹。
1 + G ( s) H ( s) = 1 +
K1 ∏ s − z j
j =1
m
∏ s− p
i =1
n
K1 N ( s ) = 1+ =0 D( s)
Байду номын сангаас
i
α P( s) + Q( s) = 0
1+
α P( s)
Q( s)
=0
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第四章 小结
n
m
j
n−m
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第四章 小结
规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程 dK 1 = 0
ds
规则七 在开环复数极点处根轨迹的出射角为
ϕ p = m180o + ϕ
在开环零点处根轨迹的入射角为
ϕ z = ±180o − ϕ
ϕ = ∑θ z − ∑θ p
φ为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角。
第四章 小结
判稳定性——特征根 直接求出 困难 劳斯判据 根与系数的关系 定性 根轨迹法 开环零极点——闭环极点（特征根） 图解方法 部分定量
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第四章 小结
一、绘制根轨迹的幅值条件和相角条件
G ( s) H ( s) =
K1 ∏ ( s − z j )
j =1
m
K1 ∏ s − z j
j =1
m
∏ (s − p )
q = 0,1, 2,L
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第四章 小结
三、正反馈回路的根轨迹 规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线 段右边的开环零点和开环极点的数目之和为偶数。 规则四 根轨迹中( n − m ) 条趋向无穷远处分支的渐近线相角为
2q ⋅180o ϕa = ± n−m
q = 0,1, 2,L , n − m − 1
四、正反馈回路的根轨迹
闭环传递函数为： Φ ( s ) = C ( s ) =
R( s)
G(s) 1 − G(s) H (s)
系统的特征方程为： 1 − G ( s ) H ( s ) = 0
G (s) H (s) = 1
G ( s) H ( s) = 1
∠G ( s ) H ( s ) = ±180o × 2q
σ
0 0
σ
jω
jω
σ
−4
σ
−4
−3
−3
−2
−1
0
−2
−1
0
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第四章 习题
j
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第四章 习题
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第四章 习题
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规则七 在开环复数极点处根轨迹的出射角为 ϕ p = m180o (2q) + ϕ 在开环复数零点处根轨迹的入射角为 ϕ z = ±180o (2q) − ϕ
ϕ = ∑θ z − ∑θ p
φ为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角。
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第四章 习题
习题4-1 假设系统开环传递函数的零、极点在s平面的分布 如图所示，试绘制以开环增益K1为变量的系统根轨迹的大 致图形。 jω jω
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第四章 小结
规则四 根轨迹中 ( n − m ) 条趋向无穷远处分支的渐近线相 角为
(2q + 1) ⋅180o ϕa = ± n−m
q = 0,1, 2,L , n − m − 1
规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一 点，交点的坐标为 (σ a , j 0)
σa =
∑ p −∑z
i =1 i j =1
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第四章 小结
规则八 根轨迹与虚轴的交点可用 s = jω 代入特征方程求 解，或者利用劳斯判据确定。 规则九 根轨迹上每一点 si 所对应的参数 条件来计算。
ki 值可以按幅值
si − p1 ⋅ si − p2 L si − pn ki = si − z1 ⋅ si − z2 L si − zm
i i =1
n
∏ s− p
i =1
n
=1
i
∠( s − z j ) − ∑ ∠( s − pi ) = ± (2q + 1)180o ∑
j =1 i =1
m
n
q = 0,1, 2,L
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第四章 小结
二、绘制根轨迹的基本规则 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当 K1 = 0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发； 当 K1 → ∞ 时，有 m 条分支趋向于开环零点，另外有 n − m 条分支趋向无穷远处。 规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这 些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。