21导数的概念经济数学赵树嫄

t t t0
t t0
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度
V lim f (t) f (t0 )
tt0
t t0
t0 t t
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2、切线问题
割线MN绕点M 旋转而趋向极 限位置MT,直线 MT就称为曲线 C在点M处的切 线.
切线：割线的极限
N T
M
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设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y). y
割线MN的斜率为
N
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , o x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
T
x0
xx
切线MT 斜率为
k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
ln(1
h) x
1
h0
h
x
1
lim
ln(1
h
)
x h
x h0
x
1. x
x
一般地
(loga
x)
1 x ln
a
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四、 导数的意义
1、 几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率,即
T
f ( x0 ) tan , (为倾角)
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注意： 点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映 了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.
3、单侧导数
左导数 右导数
f( x0 )
lim
x x0 0
f
( x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 );
f( x0 )
lim
x x0 0
f
( x) x
f (x0 ) x0
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地
例如,
（

x
1 2
）
(
1 (x1) x
x
)
1
x
1 1
2
2
(1)x 11
1. 2x
1 x2
.
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例3. 求函数
解:
则
的导数.
即
类似可证得
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例4 . 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C) 0. 常数的导数是零。
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例2 . 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
(a x ) a x ln a.
特别地， (e x ) e x
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例5 . 求函数 y ln x 的导数.
解
y lim ln(x h) ln x
h0
h
lim
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二、导数的定义
定义1 .设函数
在点
若
的某邻域内有定义 ,
存在, 则称函数 在点
在点
处可导,
的导数. 记作:
并称此极限为
即
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运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
若上述极限不存在 , 在点 不可导.
就说函数
若
也称
在
的导数为无穷大 .
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记作:
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
注意:
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
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三、 由定义求导数举例
步骤:
例1 . 求函数 f ( x) C(C为常数) 的导数.
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2、简单的物理意义 1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
s ds v(t) lim .
t0 t dt
2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.
k y x2
y (x2 ) 2x k y x2 4
切线方程： y 4 4(x 2), 即 4x y 4 0.
法线方程：
y 4 1 (x 4), 4
即 x 4y 20 0.
问题：点M (x0, y0 )不是曲线 y f (x)上的点，
切线如何求？？
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瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
变 化
率
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
问
题
电流强度
是电量增量与时间增量之比的极限
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若
切线与 x 轴垂直 .
o
x0
x
切线方程为
法线方程为
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f (x0)=0 y
y=c
O
x0
x
y
y
f (x0)=
O x0
x
y
O
x0 x
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O
x0
x
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例6 . 求曲线 y x2在点(2, 4)处的切线的斜率,
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数几何意义, 切线斜率为
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
判断函数在某一点可导的充分必要条件：
函数f ( x)在x0点可导
f
'
(
x0
)
f
'
(
x0
)
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例 讨论函数 f (x) x 在x 0处的可导性.
解
f (0 h)
f (0)
h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
h h 0
即 f (0) f (0),
函数y f ( x)在x 0点不可导.
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4、导函数
若函数在开区间 I 内每点都可导,
就称函数在 I 内可导.
对 x I, 都对应着 f ( x) 的一个确定的导数值. 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
第二章
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数举例 四、导数的意义 五、可导与连续的关系
六、小结与思考判断题
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一、问题的提出
1、直线运动的速度问题
如图, 设动点于时刻的位置函数为s f (t)
求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s s s0 f (t) f (t0 )