2015年高考理科数学江苏卷

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2015年高考真题江苏卷理科数学(含答案解析)

理科数学2015年高三2015江苏卷理科数学理科数学填空题（本大题共13小题，每小题____分，共____分。

）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____．3．设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为____．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为____．7．不等式2＜4的解集为____．8．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为____．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____．10．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____．11．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为____．13．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为____．14．设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为____．简答题（综合题）（本大题共10小题，每小题____分，共____分。

）12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．17.求BC的长；18.求sin2C的值．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：19.DE∥平面AA1C1C；20.BC1⊥AB1．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．21.求a，b的值；22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．23.求椭圆的标准方程；24.过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．25.试讨论f（x）的单调性；26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．27.证明：2，2，2，2依次构成等比数列；28.是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；29.是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．选做题。

2015年高考真题——数学(江苏卷) 解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.解析：{}5,4,3,2,1=⋃B A ，故答案5 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析：66678564=+++++，故答案63.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解析：设z=a+bi,，则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-，所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以z 的模为522=+b a ，故答案54.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10；因为10>8，所以程序结束，故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2-1，=b ，若()()R n m b n a m ∈-=+,89，，则m-n 的值为______. 解析：因为()()R n m b n a m ∈-=+,89，，所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ，所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m ，7.不等式224x x-<的解集为________.解析：因为224x x-<，所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ，，，，故解析为()21，-8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. S ←1 I ←1While I<8 S ←S+2 I ←I+3 End While Print S解析：()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ，故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题解析版

一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。

【精校】2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学理

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为_______. 【答案】5解析：{123}{245}{12345}5A B ==U U ，，，，，，，，，个元素 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6解析：3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.解析：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7解析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6解析：从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色不同的共有5种，所以其概率为5.66.已知向量a=)1,2(，b=)2,1(-, 若ma+nb=)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3-解析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3解析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为解析：由体积相等得：22221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+= 解析：11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011解析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=K L 所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为解析：设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4 解析：14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑u u r u u u r 的值为【答案】解析：20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+u u r u u u r2(1)21(21)cossincos cos sin cos6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111012k k k a a +=⋅==∑u u r u u u r考点：向量数量积，三角函数性质二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值. 【答案】（12解析：（1）（2）答案：（1）b （2）考点：余弦定理，二倍角公式16. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11I .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.解析：（1）由三棱锥性质知侧面11BB C C 为平行四边形,因此点E 为1B C 的中点，从而由三角形中位线性质得//DE AC ，再由线面平行判定定理得C C AA DE 11//平面（2）因为直三棱柱111C B A ABC -中1CC BC =，所以侧面11BB C C 为正方形，因此11BC B C ⊥，又BC AC ⊥，1AC CC ⊥（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得11AC BB C C ⊥平面,从而1AC BC ⊥，再由线面垂直判定定理得11BC AB C ⊥平面,进而可得11AB BC ⊥答案：（1）（2）考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①6249109(),4f t t t ⨯=+定义域为[5,20]，②min 102,()153t f t ==千米解析：（1）（2）答案：（1）（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-，考点：利用导数求函数最值，导数几何意义18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．解析：（1）（2）答案：（1）（2）当x AB ⊥轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k xk x k +-+-=，则1,2x=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且AB ===．若0k=，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而C P =．因为C 2P =AB=，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 19.已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值. 【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c = 解析：（1）（2）答案：（1）（2）考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点20.设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由. 解析：（1）（2）本题（3）答案：（1）（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠），化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠），则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++．令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++，则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>，知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程附加题21.A （选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆解析：答案：、考点：三角形相似21.B （选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A以及它的另一个特征值.【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．解析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得2ααA =-rr，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．考点：矩阵运算，特征值与特征向量 21.C （选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.解析：答案：考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化 21.D （选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或解析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可试题解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．考点：含绝对值不等式的解法22. 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长【答案】（1（2解析：（1）（2）答案：（1）（2）考点：空间向量、二面角、异面直线所成角23. 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解析：（1）（2）答案：（1）（2）下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，考点：计数原理、数学归纳法考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2015年高考理科数学江苏卷及答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:圆柱的体积公式:V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 是高圆锥的体积公式:13V Sh =圆锥,其中S 是圆锥的底面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上.1.已知集合{1,2,3}A =,{2,4,5}B =,则集合AB 中元素的个数为 . 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 3.设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位）,则z 的模为 . 4.根据如图所示的伪代码,5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量a (2,1)=,b (1,2)=-,若m a +n b (9,8)=-(,)m n ∈R ,则m n -的值为 .7.不等式224xx-<的解集为 .8.已知tan 2α=-,1tan()=7αβ+,则tan β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =,且*11()n n a a n n +-=+∈Ν,则数列1{}na 的前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .13.已知函数()|ln |f x x =,20,01,()|4|2,1,x g x x x ⎧=⎨--⎩＜≤＞则方程|()()|1f xg x +=实根的个数为 .14.设向量a k πππ(cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k =+=⋅⋅⋅,则11(k =∑a k a k+1)的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =︒. （Ⅰ）求BC 的长; （Ⅱ）求sin2C 的值.16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =,设1AB 的中点为D ,11B C BC E =.求证:（Ⅰ）DE平面11AA C C ;（Ⅱ）11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5 千米和40 千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20 千米和2.5 千米,以2l ,1l 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ,b 为常数）模型. （Ⅰ）求a ,b 的值;（Ⅱ）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . （ⅰ）请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; （ⅱ）当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数32()=(,)f x x ax b a b ++∈R , （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数）,当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值.20.（本小题满分16分）设1a ,2a ,3a ,4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列, （Ⅰ）证明:12a ,22a ,32a ,42a 依次构成等比数列;（Ⅱ）是否存在1a ,d ,使得1a ,22a ,33a ,44a 依次构成等比数列?并说明理由;（Ⅲ）是否存在1a ,d 及正整数n ,k 使得1n a ,2n k a +,23n k a +,54n ka +依次构成等比数列?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A .（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.B .（本小题满分10分）选修4—2:矩阵与变换已知,R x y ∈,向量a 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2πsin()404ρθ+--=,求圆C 的半径.D .（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲解不等式||223x x ++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==.（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.23.（本小题满分10分）已知集合{1,2,3}X =,*{1,2,3,,}()n Y n n =⋅⋅⋅∈Ν,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ,a X ∈,}n b Y ∈,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （Ⅰ）写出(6)f 的值;（Ⅱ）当6n≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学ⅠA B中的元素个数为A B，再明确元素个数集合并集及其运算11BC CC C =1ACB C C =，，所以1BC AB ⊥∥平面1AA C(0,)⎫+∞⎪⎭时，，(0,)+∞上单调递增，在2,0),3a ⎛-+∞ ⎝,0)，2,3a ⎛- ⎝333)1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上()0g a <，且在31,,2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30≥因此c =()33),3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．综上（Ⅰ）分类讨论，利用导数的正负，即可得出()f x 的单调性；数学Ⅱ(附加题)21A.【答案】见解析【解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠．又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．uuu ruuu r。

2015江苏高考数学试卷及答案

2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅰ）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为______．3．设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为______．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________． 5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．已知向量，(21)=，a ，(12)=-，b ，若(98)m n +=-，a b ()m n ∈R ，，则m n -的值为______． 7．不等式224x x-<的解集为________．8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(10)，为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*n ∈N ），则数列}1{na 的前10项和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为．1S ←1I ←Whiie 8I <2S S +← 3I I +← End Whiie Print S13．已知函数|ln |)(x x f =，2001()|4|21x g x x x <⎧=⎨-->⎩，≤，，，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为．14．设向量(cos sin cos )(01212)666k k k k πππ=+=，，，，，k a ，则11()k =∑1k k+a a 的值为．二、解答题，本题共6个小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在ABC V 中，已知2160AB AC A ===，，o． (1 ) 求BC 的长；（2）求sin 2C 的值．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AC BC BC CC ⊥=，．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）//DE 平面11AAC C ； (2 ) 11BC AB ⊥．ACBDEA 1B 1C 1（第16题）17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2．5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2P C A B =，求直线AB 的方程．ONMxyPlCl 1l 2（第17题）OBAPC yx（第18题）l19．（本小题满分16分）已知函数32()()f x x ax b a b =++∈R ，．（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(3)(1)()22-∞-+∞，，，，求c 的值．20．设1234a a a a ，，，是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列．（1）证明：31242222a a a a，，，依次成等比数列；（2）是否存在1a d ，，使得2341234a a a a ，，，依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1a d ，及正整数n k ，，使得231234n n k n k n k a a a a +++，，，依次成等比数列，并说明理由．2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅱ）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：ABD ∆∽AEB ∆．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x y ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404ρρθπ+--=，求圆C 的半径．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式|23|2x x ++≥．OBAD CE（第21-A 题）【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，21PA AD AB BC ====，． (1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．（本小题满分10分）已知集合*{123}{123}()n X Y n n ==∈N ，，，，，，，，设{()|n S a b a =，整除b或b 整除a ，}n a X b Y ∈∈，，令()f n 表示集合n S 所含元素个数．（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．Q B A DC P（第22题）。

2015高考真题——数学(江苏卷)Word版含答案

2015高考真题——数学（江苏卷）Word版含答案数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。

圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1. 已知集合，，则集合中元素的个数为_______.2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6. 已知向量=（2,1），=（1，-2），若=（9，-8）（m，nR），则的值为______.7. 不等式的解集为________.8.已知，，则的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列满足，且（），则数列前10项的和为。

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为。

13.已知函数，，则方程实根的个数为。

14.设向量，则的值为。

二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在中，已知(1)求BC的长；（2）求的值。

16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，求证：（1）(2)17. （本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.（本小题满分16分）已知函数。

2015年高考数学江苏卷含答案

��=0
．
答案：9√3．
建议解法：��
=
(cos
��π 6
,
√2
sin(
��π 6
+
π 4
))，��+1
=
(cos
(��
+ 6
1)π
,
√2 sin( (��
+ 1)π 6
+
π 4
))，
所以
��
⋅
��+1
．
答案：√5．建议解法：因为 |��|2 = |��2| = √32 + 42 = 5，所以 |��| = √5．
S 数学 I 试卷第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 �� 为
答案：7．建议解法：列表如下：
�� 1 3 5 7 �� 1 4 7 10 当 �� = 10 时，循环结束，此时 �� = 7．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无
效。 5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
1)π
+
1 2
cos
(2��
+ 6
1)π

2015江苏省高考数学试题(卷)与答案解析Word版

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为。

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。

2015年江苏省高考数学试卷及答案(word版本)

数学I试题参考公式：圆柱的体积公式：V_±= Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V0_=^Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高._、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1•已知集合A={1，2, 3}，B={2, 4, 5}，则集合AUB中元素的个数为踿银踿... ....... 2.已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为▲.3•设复数z满足z2 = 3 +4i (i是虚数单位），则z的模为银一3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为银•—4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球•从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为银•6•已知向量 a = (2，1)，b = (1，-2) •若 ma + nb = (9，-8)( m，n 沂R )，则m -n的值为银•7.不等式2x2-x<4的解集为银•8•已知 tana= -2，tan(琢 + 0)= +■，则 tan^S 的值为▲•9•现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个•若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为银•10•在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx - y - 2m - 1=0 (meR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲.11.设数列{、}满足^ = 1，且a7l+1-〜=^+ 1 UeN*)，则数列|f|前10项的和为▲.^^1 /^1While /<8S^S+2 1^1+3End WhilePrint S "(第4题）12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2- y 2= 1右支上的一个动点.若点P 到直线 x - y+ 1 = 〇的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为▲.13. 已知函数/(%)= |lm:|，g(%)= ji^^i _ 2 。

2015年高考数学江苏卷含答案解析

．
�� ← 1
�� ← 1
While �� < 8
�� ← �� + 2
�� ← �� + 3
End While
Print ��
（第 4 题）
5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只球，1 只红球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这
半径最大的圆的标准方程为
．
答案：(�� − 1)2 + ��2 = 2．建议解法：直线 �� − �� − 2�� − 1 = 0 经过定点 (2, −1)．当圆与直线相切于点 (2, −1) 时，圆的半径最大，此时半径 �� 满足 ��2 = (1 − 2)2 + (0 + 1)2 = 2．
11.
设数列 {��} 满足 ��1
= 1，且 ��+1 − ��
=
��
+
1（��
∈
��∗），则数列
{
1 ��
}
前
10
项的和为
．
答案：2101 ．
建议解法：首先
��+1
．
答案：√5．建议解法：因为 |��|2 = |��2| = √32 + 42 = 5，所以 |��| = √5．
S 数学 I 试卷第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 �� 为

(完整word版)2015年江苏数学高考试卷含答案和解析,推荐文档

2015年江苏数学高考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】(DOC)

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分）1．(5分）(2015•江苏)已知集合A=｛1，2，3}，B=｛2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点: 并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答:解:集合A={1，2，3}，B={2，4,5}，则A∪B={1,2，3,4，5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．(5分）(2015•江苏)已知一组数据4，6，5，8,7,6,那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析:直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4,6，5，8，7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为:6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位）,则z的模为．考点：复数求模．专题: 数系的扩充和复数．分析:直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5,∴｜z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分)（2015•江苏)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型;算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值,当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1,I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8,S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环,输出S的值为7．故答案为：7．点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分)（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点: 古典概型及其概率计算公式．专题: 概率与统计．分析:根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B,黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=．故答案为：．点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2,1)，=（1，﹣2）,若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R）,则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答:解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题: 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2,即x2﹣x﹣2＜0，解得:﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目,难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β)=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数,求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=,可知tan(α+β）==,即=,解得tanβ=3．故答案为:3．点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题;空间位置关系与距离．分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为:．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题;直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．(5分)（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*）,则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答:解:∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1(n∈N＊），∴当n≥2时,a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列｛｝的前n项的和S n===．∴数列｛｝的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f(x）=|lnx｜，g（x)=，则方程|f （x）+g(x）｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f(x）±1．g(x）与h(x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x)与φ（x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x)|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评:本题考查求方程｜f（x）+g(x）|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．(5分）(2015•江苏)设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则(a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分）(2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长;（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析:（1）直接利用余弦定理求解即可．（2)利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得:，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC=CC1,设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证:（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目．17．（14分）(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点,测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2。