三角函数复习教案整理 (2)

第1课 三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 知识典例：

1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ． 2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y=x 上 D ．在直线y=－x 上 ． 3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cos α} ，tan α= ． 4．

tan(－3)cot5

cos8

的符号为 ．

5．若cos θtan θ＞0，则θ是 ( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一、二象限角

D ．第二、三象限角 【讲练平台】

例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ=

2

4

m ，求cos θ与tan θ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．

解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m

3＋m 2

．

又∵sin θ=

2 4m ， ∴ m 3＋m 2

= 2

4 m ． ∴m=0，m=±

5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= －

6 4， tan θ= － 15

3； 当m= － 5 时，cos θ= －

6 4，tan θ=15

3

． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数

的定义)解决．

例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．

分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．

解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π

2

＜θ＜2π}，

∴E ∩F=｛θ｜π

2

＜θ＜π}．

例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ

2

是哪个象限的角?

解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+

π2＜θ＜2k π+3π

2

，k ∈Z ． ∴k π+

π4＜θ2＜k π+ 3π

4

，k ∈Z ． ∴θ

2

是第一象限或第三象限角． ① 又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ

2是第三、第四象限的角． ②

由①、②知，

θ

2

是第三象限角． 点评 已知θ所在的象限，求

θ

2

或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错． 【知能集成】

注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式． 【训练反馈】

1． 已知α是钝角，那么α

2 是 （ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一与第二象限角

D ．不小于直角的正角

2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）

A ．

3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 45

3．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )

A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)

B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)

C ．(

π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4

，π) 4．若sinx= － 35，cosx =4

5 ，则角2x 的终边位置在 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π

3

终边相同，则α= ．

6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．

7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

第2课 同角三角函数的关系及诱导公式

【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，

sin α

cos α

=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【知识在线】

1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 94

2．已知sin(π+α)=－3

5，则 ( )

A ．cos α= 45

B ．tan α= 34

C ．cos α= －45

D ．sin(π－α)= 3

5

3．已tan α=3，

4sin α－2cos α

5cos α＋3sin α

的值为 ．

4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 5

9，那么sin2θ等于 ( )

A ．

2 2

3 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 2

3

【讲练平台】

例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

cos(π-α)tan(3π-α)

．

分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．

解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)

(-cos α)(-tan α)

= sin α·

cos α

sin α

cos α

=1 ．

点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．

例2 若sin θcos θ= 1

8 ，θ∈(π4 ，π2

)，求cos θ－sin θ的值．

分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条

件，须将cos θ－sin θ进行平方．

解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 3

4

．

∵θ∈(π4 ，π

2)，∴ cos θ＜sin θ．

∴cos θ－sin θ= －

3

2

． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －

3

2

， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余

之二．

例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．

分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子．

解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ = 25 ． 点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．

2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．

【知能集成】

1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．

2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．

3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ． 【训练反馈】

1．sin600°的值是 （ ） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 3 2

2． sin(π4+α)sin （π

4－α）的化简结果为 （ ）

A ．cos2α

B ．12cos2α

C ．sin2α

D ． 1

2sin2α

3．已知sinx+cosx=1

5，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）

A ．－34

B ．－ 43

C ．±43

D ．－34或－43

4．已知tan α=－13，则1

2sin αcos α+cos 2α = ．

5．

1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°

的值为 ．

6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α

1－tan α．

7．已知2sin θ+cos θ

sin θ－3cos θ

=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．

第3课 两角和与两角差的三角函数（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题． 【知识在线】

1．cos105°的值为 （ ） A ．

6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ． － 6 － 2

4

2．对于任何α、β∈（0，

π

2

），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π

2

，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ）

A ． a+1

B ．－ a+1

C ． a 2+1

D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=1

3，则cot(α+2β)= ．

5．已知tanx=1

2，则cos2x= ．

【讲练平台】

例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=1

2，求cos(α－β)的值 ．

分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cos

β的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．

解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 1

2

， ②

①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 13

36

． ∴cos(α－β)=

72

59

． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

例2 求 2cos10°-sin20°

cos20° 的值 ．

分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解 ∵10°=30°－20°，

∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°

cos20°

=

2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30°

cos20°

= 3 ．

点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．

分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α． 若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．

点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】

1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－4

5

，则sin β等于 （ ）

A ．0

B ．0或2425

C ． 2425

D ．0或－24

25

2．

sin7°+cos15°sin8°

cos7°－sin15°sin8° 的值等于 （ ）

A ．2+ 3

B ．

2+ 3

2 C ．2－

3 D ． 2－ 3 2

3． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）

A ．

π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π

3

4．若α是锐角，且sin(α－

π6)= 1

3

，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π

7

= ．

6．已知tan θ=12，tan φ=1

3，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 4

5，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2

π），求cos2α、cos2β的值．

8． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 1

3，求tan αtan β．

第4课 两角和与两角差的三角函数（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【知识在线】 求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．1

2

（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．

5．11－tan θ－ 1

1＋tan θ= ． 【讲练平台】

例1 求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；

(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2

．

(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°

2 cos24° =?

?-

?24cos 212sin 312cos 3

=??-?=?

???-?48sin 2

1)

12cos 23

12sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3

=

.3448sin )

6012sin(34-=?

?-?

点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ

1-tan 2θ

．

分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，

证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ =2tan θ

1-tan 2θ ，此式的右边等于tan2θ，

而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

证略

点评 注意倍角公式cos2α=2cos 2α－1，cos2α=1－2sin 2α的变形公式：①升幂公式

1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin 2α，②降幂公式sin 2α= 1-cos2α2 ，cos 2α= 1＋cos2α

2

的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分

析法等．

例3 已知cos(π4+x)= 35，17π

12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx

的值．

解 原式= sin2x （1＋tanx ） 1-tanx =sin2x ×tan π

4＋tanx 1-tan π

4

tanx

=sin2xtan （π

4+x ）

= －cos ［2(x+π4)］tan(x+π4)= －［2cos 2(x+ )－1］tan （π

4+x ）

∵17π12＜x ＜ 7π4， ∴ 5π3＜x+π

4

＜2π． ∴sin(π4+x) = －45 ，∴tan （π4+x ）=－ 4

3．

∴原式 = －

28

75

． 点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan π

4

等；（3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+

π

4

． 【知能集成】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；

asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ． 6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 2

2．a=

2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2

，则 （ ） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c 3．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ

= ．

4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．

5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C

2的值为 ．

6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

第5课 三角函数的图象与性质（一）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质． 【知识在线】

1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是 ． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）

A ．[π2，π]

B ． ［0，π4］

C ． ［－π，0］

D ． [π4，π2]

3．下列函数中，周期为π

2

的偶函数是 （ ）

A ．y=sin4x

B ． y=cos 22x －sin 22x

C ． y=tan2x

D ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性

（1）y=xsinx+x 2cos2x 是 函数；

（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是 函数； （3）y=sin(7π

2

+3x)是 函数．

5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ． 【讲练平台】 例1 （1）函数y=

x

x sin 21)tan 1lg(--的定义域为

(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （C ）

A ．α＞β

B ．α＜β

C ．α+β＜π2

D ． α+β＞π

2

分析 （1）函数的定义域为??

?>>0.

2sinx -10,

tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正

周期为π，y=sinx 的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx

和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π

2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域

为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π6 ，或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π

4 ，k ∈Z} ．

分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π

2

－β)，运用y=sinx 在［0，

π

2

］的单调性，便知答案为C ． 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2 判断下列函数的奇偶性：

(1)y=

x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1x

x x

x +--+

分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)

是否等于f(x)或－f(x) ．

解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2 x

2，所以分

母为偶函数，所以原函数是奇函数．

（2）定义域不关于原点对称（如x=－π2，但x ≠π

2），故不是奇函数，也不是偶函数．

点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3 求下列函数的最小正周期：

（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π

3

) ；(2)y=

.)

3

2cos(2cos )

32sin(2sin π

π

+++

+x x x x

分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．

解 （1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π2－π6)= 12sin(4x －π

3

)，

所以最小正周期为2π4 = π

2

．

（2）y=

23)2(sin 2

1

)2(cos 2cos 23)2(cos 21

)2(sin 2sin ?

-?+?+?

+x x x x x x =x x x x 2sin 2

3

2cos 23

2cos 23

2sin 23

-+ =).62tan(2tan 3

3

133

2tan 2tan 312tan 3π+=-+

=

-+x x

x x x ∴是小正周期为π

2

．

点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k 或y=Acos(ωx+φ) ＋k 或y=Atan(ωx+φ) ＋k 的形式（其中A 、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．

例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+

2

3

5 (x ∈R) ． (1)求f(x)的单调增区间；

（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心． 分析 函数表达式较复杂，需先化简．

解 f(x)= 52sin2x －53×1+cos2x 2＋2

3

5 =5sin(2x －π3)．

（1）由2k π－π2≤2x －π3≤2k π+π2，得［k π－π12 ，k π+5π

12］（k ∈Z ）为f(x)的单

调增区间．

（2）令2x －

π3=k π+π2，得x= k 2π+5π12 （k ∈Z ），则x= k

2π+5π12

（k ∈Z ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x －π3 =k π，得x=k

2π+π6 （k ∈Z ），∴ y=f(x)

图象的对称中心为点（k

2π+π6

，0）（k ∈Z ）．

点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论

y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t ，从而归结为讨论y=Asint 的单调性． 【知能集成】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决． 【训练反馈】

1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ） A ．{x ｜－π3＜x ＜π3} B ．{x ｜－π6＜x ＜π

6

｝

C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z}

D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π

6，k ∈Z}

2．如果α、β∈（π

2，π），且tan α＜cot β，那么必有 （ ）

A ．α＜β

B ． β＜α

C ． α+β＜

3π2 D ． α+β＞3π2

3．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）

A ．sinx

B ． cosx

C ． sin2x

D ． cos2x 4．下列命题中正确的是 （ ）

A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin β

B ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π

2），k ∈Z

C ．函数y=

1－cos2x

sin2x

的最小正周期是2π

D ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π

4，k ∈Z

5．函数y=sin x 2+cos x

2在（－2π，2π）内的递增区间是 ．

6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为 ．

7．比较下列函数值的大小：

（1）sin2，sin3，sin4；

(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π

2

）．

8．设f(x)=sin(k 5x+π

3

) (k ≠0) ．

(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；

（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，

函数f(x)至少有一个M 与m ．

第6课 三角函数的图象与性质（二）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式． 【知识在线】

1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象

对应的函数是 （ ） A ．y=cosx+1 B ．y=cosx －1 C ．y=－cosx+1 D ．y=－cosx －1 2．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ ）

A ． (12k π，0)， k ∈Z

B ．（13k π，0）， k ∈Z

C ．（14

k π，0）， k ∈Z D ．（k π，0），k ∈Z

3．函数y=cos(2x+π

2

)的图象的一个对称轴方程为 （ ） A ．x=－－π2 B ．x=－ π4 C ．x= π

8

D ．x=π

4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π

4

)的图象上所有点（ ）

A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B ．横坐标缩短到原来的1

3

倍，纵坐标不变

C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D ．纵坐标缩短到原来的1

3

倍，横坐标不变．

5．要得到y=sin(2x －

π

3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）

A ．向左平移π3

个单位 B ． 向右平移π

3

个单位

C ．向左平移π6个单位

D ． 向右平移π

6

个单位

【讲练平台】

例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π

2

)的最小值为－2，其图象相邻

的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式． 分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω

与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T

2

=3π．得 T=6π，所以

ω=13．所以y=2sin(x

3

+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求

出，易得解析式为y=2sin(x

3 ＋π

6

）．

解略

点评 y=Asin(ωx+φ)中的A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）． 例2 右图为某三角函数图像的一段

（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；

（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T=

13π3－ π

3 =4π． ∴ω=2πT = 1

2

．又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin x

2沿x 轴向右平移 π

3

而得到的．

∴解析式为 y=3sin 1

2 (x －π3

)．

(2)设（x ，y)为y=3sin(1

2 x －π6

）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关

于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(1

2 x －π6

）关于直线x=2π对称的函

数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(1

2 x ＋π6

）．

点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移

（φ＜0）|φ|

ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图

象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

例3 已知函数y=12cos 2x+ 3

2

sinxcosx+1 (x ∈R)．

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 3 2·12 sin2x +1= 1

2sin(2x+π6)+ 54

．

当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 7

4

．

(2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1

2

（纵坐标

不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的1

2

（横坐标不变），最后把图象向上平移

5

4个单位即可．

思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述． 点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化． 【知能集成】

已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心． 【训练反馈】

1．函数y= 1

2

sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ ）

A ．θ=2k π+π2

B ．θ=k π+π

2

C ．θ=2k π+π

D ．θ=k π+π(k ∈Z)

2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π

3

个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，

则所得函数图象对应的解析式为 （ ）

A ．y=sin(－2x+π3 )

B ．y=sin(－2x －π

3)

C ．y=sin(－2x+

2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π

3)

3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成 （ ）

A ．sin(1+x)

B ． sin(－1－x)

C ．sin(x －1)

D ． sin(1－x) 4．y=tan(1

2

x －

π

3)在一个周期内的图象是 （ ）

5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图

形面积是 ． 6．将y=sin(3x －

π

6)的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+π

3）的图像．

-B A C D

7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值1

2，当x=4π9

时取得

最小值－ 1

2，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2

，求该函数的解析表达式．

8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；

（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．

（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．

第7课 三角函数的最值

【考点指津】

掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题． 【知识在线】

1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+

1

tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4

．上述四个等式成立的是 （ ）

A ．（1）（2）

B ．（2）（4）

C ．（3）（4）

D ．（1）（3） 2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+

π

12)的最大值为 ，最小值为 ，当x ∈〔－5π

24， π

24

〕时函数y 的最大值为 ，最小值为 . 3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为 ，最小值为 ． 4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为 ．

【讲练平台】

例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．

解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=

2 sin(2x+π

4)+2

当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π

8

(k ∈Z)时，y max =

2 +2 ．

点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=

a 2+

b 2 sin （x+φ）．

例2 若θ∈［－

π12, π12］，求函数y=cos(π

4+θ）+sin2θ的最小值．

分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．

解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2

(θ+π4

)－1］

=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π

4

)］+1

=－2［cos(θ+π4)－14］2+9

8

．

∵θ∈［－

π12, π

12

］， ∴θ＋π4∈［π6，π

3

］．

∴12≤cos(θ+π4

)≤ 3

2， ∴y 最小值 = 3 －12 ．

点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，

是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．

例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．

解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+3

4

，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，

∴y min =3

4

，y max =3+

2 ．

点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题． 【知能集成】

较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令

sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－1

2

．

【训练反馈】 1．函数y =

1

2+sinx+cosx

的最大值是 （ ）

A ．

2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ． －1－ 2 2

2．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为 （ ）

A ．7，5

B ． 7，－

112 C ． 5，－11

2

D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)=

sinx+1

cosx+1的 （ ）

A ．最大值为2，最小值为1

2

B ．最大值为2，最小值为0

C ．最大值为2，最小值不存在

D ．最大值不存在，最小值为0

4．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π

2

时方程有解，则a 的取值范围是（ ）

A ．［－1，1］

B ．（－1，1）

C ．［－1，0］

D ．（－∞，－5

4

）

5．要使sin α－ 3 cos α=

4m －6

4－m

有意义，则m 的取值范围是 ．

6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π

3

］上的最大值为 2 ，则ω= ． 三、解答题

7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0，

π

3］时函数y 的最大值．

8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b

的值． 9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π

2

］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．

第8课 解斜三角形

【考点指津】

掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 【知识在线】

1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ． 2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．

3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．30°或150° 4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ ） A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150°

5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有

灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ ） A ．10 6 km B ．10 2 km

C ．10( 6 － 2 ) km

D ．10（ 6 ＋ 2 ）km 【讲练平台】

例1 在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及

分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的

对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．

解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3

2

＜a ， ∴此题有两解．

sinC=csinA a = 33×12

3 = 3

2

， ∴∠C=60°，或∠C=120°．

∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．

当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．

点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．

分析 欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．

解 方法一：由余弦定理，得 a ·（

b 2+

c 2—a 22bc ）=b ·（a 2+c 2—b 2

2ac ），

∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或c 2=a 2+b 2．

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．

方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．

∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或2A=π－2B ．

∴A=B ，或A+B=π

2

．

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．

例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，

BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．

分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需

求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 ·

A B C

D O

S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+1

2

BC ·CD ·sinC ．

∵A+C=180°， ∴sinA=sinC ．

故S=1

2

（2×4+6×4）sinA=16sinA ．

在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20－16cosA ． 在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ． ∴20－16cosA=52－48cosC ．

∵cosC=－cosA ， ∴64cosA=－32，cosA=－ 1

2

．

又∵0°＜A ＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 3 ．

点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用．

例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b 下端距水平视线a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大． 分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB

最大，所以需寻找∠APB 的目标函数．由于已知有关边长， 所以考虑运用三角函数解之．

解 设观察者距墙壁x 米的P 处观察，PC ⊥AB ，AC=b ，BC=a(0＜a ＜b)， 则∠APB=θ为视角．

y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =x

a

x b x a x b ?

+-

1 =

b —a x+ab x

≤b —a 2ab ， 当且仅当x= ab

x , 即x=ab 时，y 最大．

由θ∈（0，π2）且y=tan θ在（0，π

2）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．

点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．

【知能集成】

运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用． 【训练反馈】

1．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA=

3

4

，则该三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形或直角三角形

2．在△ABC 中，已知（b+c ）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ） A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°

3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．

5．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 ．

6．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．

7．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小．

8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2，

B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△AB

C ，问点在什么位置时，四边形OACB 大面积．

【单元检测】

单元练习（三角函数）

（总分100分，测试时间100分钟）

一、选择题：本大题共12小时，每小题

3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x

3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π

2，π］，则m 的取值范围为 （ ）

A ．3＜m ＜9

B ． m=8

C ． m=0

D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13

(sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）

A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)

B ．（k π－π8，k π+π

8）(k ∈Z)

C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)

D ．（k π+π8，k π+ 5π

8）(k ∈Z)

5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 （ ）

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形 6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+c

sinA+sinB+sinC 等于 （ ）

A ．3 3

B ．239 3

C ．26 3 3

D ．39

2

7．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π

2）在一个周期

内的函数图象如图，则 （ ）

A ．T=6π5，φ= π4

B ．T=3π2，φ=π4

C ．T=3π，φ=－ π4

D ．T=3π，φ= π

4