数学问题杂谈 (42)

在（2）中令
.得解：
改写上式为： 由此式可得倒水方案一. 在（2）中令 .得解：
，代入（1）可得
改写上式为： 由此式可得倒水方案二. 利用（2），可以证明方案一是最优方案。
研究过程：
1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题 3.探索解决问题2的策略 4.问题的引申
案例3
“一个数学命题推广的研究”
一.解决问题概述
1.备受关注的解决问题 2.问题的含义
问题是一种状态,这种状态要求人 们去完成一个任务,而对于这个任务, 由他们的经验,没有一个现成的可供 使用的完成任务的策略。因此,解决 问题中的问题,主要指非常规问题。
练习与解决问题的特征比较
练习的特征 着重寻找答案 往往针对某个知识点或技 能点,着重对某项数学技能 进行练习 可以对某一类习题反复演 练 对思考的要求相对比较低 解决问题的特征 着重寻找解决问题的过程 着重思考如何将一般知识 和技巧运用到新情况中,具 有综合性的特点 解决问题中的“问题”具 有新颖性 对思考的要求相对比较高
研究过程：
1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题
问题1：上述两个倒水方案，哪 个更优？ 问题2：是否还有更优的倒水方 案？
研究过程：
1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题 3.探索解决问题2的策略
用方程思想解决这一问题：
设倒满7斤桶 次，倒满3斤桶 次（若 或 取负值，则表示倒 出）。这样，找倒水方案就转化为求不定方程 （1） 的整数解。 方程（1）的通解为 （t是整数）（2） ，代入（1）可得
三.课改为解决问题搭建平台
案例1
“上网方式与费用研究” 教 学 设 计
研究过程： 第一阶段：收集有关资料 — 丰富研究背景 第二阶段：研究讨论 — 解决问题 1.创设情景,提出课题 2.探索研究,解决问题 3.总结反思,举一反三 第三阶段：任务后延 — 自主研究
案例2
“用桶分水问题研究”
问题： 一只大桶装了10斤水，另有两只 桶，一只恰好能装3斤水，一只恰好 能装7斤水。现在要把这10斤水平分 为5斤的两分，问如何倒法？
2
2 5
2 某 程 甲 乙 队 包2 天 以 成 需 付 工 由 、 两 承 ， 可 完 ， 支 1800元 ； 5 3 由 、 两 承 ， 天 以 成 需 付 乙 丙 队 包3 可 完 ， 支 1500元 由 、 ； 甲 4 6 丙 队 包2 天 以 成 需 付 两 承 ， 可 完 ， 支 1600元 在 证 个 。 保 一 7 星 内 成 项 程 前 下 选 哪 队 独 包 用 期 完 这 工 的 提 ， 择 个 单 承 费 最 ？ 少
（） 1
（） 2
y z 解 1 ， x = 4， = 6， = 10. （） 得 解 2 ， u = 455 v = 295. （） 得 ， xu yv 又 = 1820， = 1770 ∴ 乙 单独 包 项 程 用 由 队 承 这 工 费 最少 .
二.解决问题的基本过程
1.几种模式
奥苏贝尔—四阶段模式
第一步了解问题 未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？可能满足条件吗？ 画一个图，导入适当的符号 第二步找出已知数和未 你以前曾见过它吗？ 知数间的关系 你知道什么有关的问题么？ （假使你不能找出关系， 注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题 就得考虑辅助问题，最 这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？ 后应想出一个计划） 你若不能解这问题，试先解一个有关问题。你能想出一个更容 易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？ 一个类似的问题？你能解问题的一部分吗？ 你用了全部条件吗？ 第三步实行你的计划 实行计划 实行你的解题计划，校核每一个步骤 回顾 你能验证结果吗？你能验证论证吗？ 你能用不同的方法得出结果吗？ 你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？
命题：正三角形内任意一点到其三边的距离之和 为一定值。 推广一：(取消边数的限制) 正n边形内任意一点到其各边的距离之和 为一定值. 推广二：(取消平面图形的限制) 正多面体内任意一点到其各面的距离之和 为一定值. 推广三：(取消点在三角形内的限制) 正三角形所在平面内任意一点到其三边所 在直线的有向距离之和为一定值.
一.解决问题概述
1.备受关注的解决问题 2.问题的含义 3.问题应具备的基本条件 — 接受性,障碍性,探究性
接受性： 学生愿意接受这个问题，并且具备了解决这 个问题所必须具备的知识、技能与能力。 障碍性： 学生对解答问题的最初尝试往往以失败而告 终。 探索性： 学生需要对失败的尝试进行反思，重新进行 探索，并排除思维定势，寻找新的解决问题 的方案。
命题：正三角形内任意一点到其三边的距离之和 为一定值。 推广一：(取消边数的限制) 正n边形内任意一点到其各边的距离之和 为一定值. 推广二：(取消平面图形的限制) 正多面体内任意一点到其各面的距离之和 为一定值.
Байду номын сангаас
有向距离定义：
设 为 所在平面上的一个点， 在 上的射影为点 ，定义 到 的有 向距离 为： 若点 与点 位于 同侧，则 ； 若点 与点 位于 两侧，则 ； 若点 在直线 上，则 。 点 到 ，点 到 的有向距离同 上定义。
第一阶段：呈现问题情景命题 第二阶段：明确问题最终目标与已知条件 第三阶段：填补空隙过程 第四阶段：解答之后的检验
杜威—五步模式
第一步：产生困惑 第二步：尝试从情景中识别出问题 第三步：将问题情景中命题与已有的认知 结构联系起来 第四步：对假设作检验 第五步：将成功的答案组合到认知结构中
波利亚—“怎样解决问题”表
定义在整数集上,且满足
求
例3. 设a、b、c、d是四个正实数，且其中 有两个小于1. 求证：(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d
例4. 任意一圆和 (A)至多2点 (C)至多6点
的图象相交的交点 (B)至多4点 (D)可以多于6点
“高中数学课程应提供基本内容的实际背 景,反映数学的应用价值,开展‘数学建模’ 的学习活动,设立体现数学某些重要应用 的专题课程。高中数学课程应力求使学 生体验数学在解决实际问题中的作用、 数学与日常生活及其他学科的联系,促进 学生逐步形成和发展数学应用意识,提高 实践能力”
“根据以学生发展为本的观念,新的课程 体系必须正确处理教材、教师、学生三 者关系,要坚持加强基础,要特别重视发挥 学生主体在认识活动中的主动和能动作 用,重视由此导致的从问题出发、设计以 解决问题的活动为基础的数学认识过 程。”
1.几种模式 2.解决问题与数学思考
（1）特殊化与一般化 （2）猜测与验证
3.解决问题的教学模式对数学课堂 教学改革的启示
例5. 若对非零常数
,函数
满足
求证：
是周期函数
证明:
问题: 1.设 2.为什么由 进行式的变形?
是如何想到的? 出发
例6. 已知 是定义在正整数集上,又在正 整数集上取值的函数,并且 1. 2.对任何正整数 ,有 3.当 时, 求证： 对一切正整数 成立.
数学学习与解决问题
主讲：汪纯中
一.解决问题概述 二.解决问题的基本过程 三.课改为解决问题搭建平台
一.解决问题概述
1.备受关注的解决问题
“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析 现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的 问题” 具体要求包括: 1. 逐步学会从数学的角度提出问题,理解问题,并 能综合运用所学知识和技能解决问题; 2. 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略 的多样性,发展实践能力与创新精神; 3. 学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和 结果,逐步形成评价与反思的意识.
第四步验证所得的解答
二.解决问题的基本过程
1.几种模式 2.解决问题与数学思考
（1）特殊化与一般化
特殊化 —— 考虑特殊情况，取特殊值，简化 问题，作图作表格等
例1. 证明:长为4 的闭曲线L,一定可以用一个 半径为 的圆把它覆盖住,并且该圆是所 有能覆盖曲线L的圆中的最小一个圆.
l
例2. 函数
z ， 解 设甲 乙 丙 队单 承 这 工 各需x、y、 天 ： 、 、 三 独 包 项 程 而 天 费 分 为u、 、 元 每 的 用 别 v w . 1 1 5 x + y = 12 1 1 4 则 + = y z 15 1 1 7 + = z x 20
1800 × 5 u + v = 12 1500 × 4 v + w = 15 1600 × 7 w + u = 20
二.解决问题的基本过程
1.几种模式 2.解决问题与数学思考
（1）特殊化与一般化
特殊化 — 考虑特殊情况，取特殊值，简化问 题，作图作表格等 一般化 — 建立模型，符号化，逆推，反证， 推广等
二.解决问题的基本过程
1.几种模式 2.解决问题与数学思考
（1）特殊化与一般化 （2）猜测与验证
二.解决问题的基本过程
研究过程：
1.学生自主操作，也可小组讨论
倒水方案一：
大桶 3斤桶 7 7斤桶
10 3 0 0 0 7 3 3 4 6 0 4 6 3 1 9 0 1 9 1 0 2 1 7 2 3 5 5 0 5
倒水方案二：
大桶 3斤桶 7斤桶
10 7 0 0 3 0 7 0 3 4 3 3 4 0 6 1 3 6 1 2 7 8 2 0 8 0 2 5 5 3 0 2 5