中考数学二轮复习动点问题讲义
《中考动点问题》课件
常见的动点问题
1 直线运动问题
涉及到速度、时间和距离的计算。
2 相对运动问题
考察两个或多个物体相对运动的速度、时间和相对距离。
3 抛体运动问题
研究抛体在重力作用下的运动轨迹和最大高度等。
动点问题解决方法
理清问题思路
分析题目，明确问题的具体需求， 确定解题思路。
建立数学模型
将问题抽象成数学表达式或方程， 建立数学模型。
与同学合作
和同学一起讨论解题思路和方法， 互相学习和帮助。
与动点问题相关的个人经验分享
1
方法一
尝试将题目中的信息可视化，利用图表和图像辅助计算。
2
方法二
将问题分解为多个小问题，逐步解决每个小问题，最后将结果汇总。
3
方法三
多多练习，熟能生巧。反复做题，培养解题思维和技巧。
动点问题的影响
发展逻辑思维
通过解决动点问学能力
熟练掌握动点问题的解题方法，提高数学成绩。
如何应对动点问题
1 理解数学原理
掌握动点问题的数学概念和原理，深入理解与运动相关的数学知识。
2 创设实际情境
将学习内容与日常生活相结合，创设实际情境，提高解题的兴趣和动力。
3 勤做练习
通过大量练习，掌握不同类型动点问题的解题技巧。
《中考动点问题》PPT课 件
动点问题是中考中常见的考点之一，本课件将详细介绍动点问题的定义、解 决方法，以及个人经验分享，帮助大家更好地应对和解决这一问题。
动点问题介绍
什么是动点问题？
动点问题是数学中一个重要的概念，它涉及到物体运动的速度、时间和距离等因素，并需要 求解未知数。
动点问题的难点
动点问题常常需要将抽象的数学概念与具体的现实情境相结合，提高了解题的难度。
中考动点问题专题教师讲义带答案
中考动点问题专题教师讲义带答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S 与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C 考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
2020～2021学年中考数学《数轴上的动点问题》专题讲义
《数轴上的动点问题》专题讲义一．动点问题的处理方法“点-线-式”三步二．动点问题的解题步骤1.列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几，向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几。
②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。
例题1：如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度2为每秒个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。
2.列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来数轴上两点之间的距离三种表示方式：①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。
例题2：数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。
3.列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程例题3：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。
若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。
三、动点问题的常用工具1.中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b=2ca2.解绝对值方程：①|a|=b，则a=±b ②|a|=|b|，则a=±b ③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）3.分类讨论思想：例题4：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。
中考数学动点问题专题讲解
E OE OA中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
专题一：建立动点问题的函数解析式例 2.如图 △2在 ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x , CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为 α ,∠DAE 的度数为 β ,当 α , β 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,A又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,DBCE∴△ADB ∽△EAC, ∴ AB = BD ,CE AC图 2∴ 1 x 1= , ∴ y = .y 1 x(2)由于∠ D AB+∠CAE= β - α ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90︒ -α2 ,且函数关系式成立,F∴ 90︒ - α 2 = β - α , 整理得 β -α2 = 90︒ .B当 β - α 2 = 90 ︒ 时,函数解析式 y = 1 x成立.P例 3(2005 年·上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.D点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D, 交线段 OC 于点 E.作 EP ⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.C3(1)●A(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式 ,并写出它的定义域.PFB(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD.根据题意,得 OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.C●D3(2)=,=,AE AD16=∴5-8∴5-8BC=2.∴OC=4-x.∆AOC=此时△AOC的面积y=4-7又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴OD x AD x 3545∴OD=3438 x,AD=x.∴AE=x+x=x. 5555∵△ADE∽△AEP,∴84x x=,∴55.∴y=x(0<x≤AP AE y85x5258).(3)当BF=1时，①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.5x=4,得x=.可求得y=2,即AP=2.58②若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.类似①,可得CF=CE.15x=2,得x=.58可求得y=6,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图△在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x△AOC的面积为y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.1∵∠BAC=90°,AB=AC=22,∴BC=4,AH=2B 1∵S OC⋅AH,∴y=-x+4(0<x<4).2(2)①当⊙O与⊙A外切时,AO H图8C在△R t AOH中,OA=x+1,OH=2-x,∴(x+1)2=22+(2-x)2.解得x=7 6.717此时△AOC的面积y=4-=.66②当⊙O与⊙A内切时,在△R t AOH中,OA=x-1,OH=x-2,∴(x-1)2=22+(x-2)2.解得x=1=.227 2.（2） 设 BE= x ,则 d = AC = 10, AE = 10 - x , 利用（1）的方法 C F = ，综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时△ AOC 的面积为 176 1或 .2专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学第二轮总复习课件专题09探究题运动问题(全国通用)
底边BC出发,以2cm/s的速度沿DA方向匀速平移,分别交于AB,AC,AD于点
E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为ts(t＞0)
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形；
AБайду номын сангаас
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存
E H Fm
在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(1)在旋转过程中,BD的最小值为__2___； (2)当α=30º,试判断BD与⌒CD的位置关系,并给予证明；
A
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
A
A
D
D
D
C
O
B
O
O
C
B
E
B
D
C
强化训练
运动问题
提升能力
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC=5,在AC、BC边上分别截取CD=CE=3,
边形中,使OK与AB重合,按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺
时针旋转,使KM与BC重合,完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转,使MN与
CD重合,完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距
离可能是( D ) A.1.4 B.1.1 C.0.8
D.0.5
E
D
FN MC
A(0) B(K)
(即P、D、Q三点在同一直线上)；
P
E
B
(3)当4＜t≤10时,求y与t之间的函数关系式．
D
OQ
Cx
01
知识点
02
03
点的运动 线段的运动 图形的运动
中考数学复习专题二---动点问题题型方法归纳
长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和
BO 运动，当其中一个点停止运动时另一
个点也随之停止运动．设它们的运动的时
间 为 t ( s) ， 连 接 y D
M
C PQ ， 当
3
P
A O
Q Bx
（这里规定：点和线段是面积为 形），解答下列问题：
O 的三角
（ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是
3 时，求 m的取值范围 ( 写出答案即可 ) ．
注 意：发现特殊性， DE∥OA
6
动．
（ 1）直接写出 A、 B 两点的坐标；
（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ
的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系
式；
（ 3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并 5
直接写出以点 O、 P、Q 为顶点的平行四边
形的第四个顶点 M 的坐标．
y B
提示：第（ 2 ）问按点 P 到拐点 B 所有时 间分段分类； 第（ 3 ）问是分类讨论：已知三定点 O 、 P、 Q ， 探究第四点构成平行四 边形时按已知线段身份不同分类 ---- ① OP 为 边 、 OQ 为 边 ， ② OP 为 边 、 OQ 为 对 角 线 ， ③ OP 为 对 角 线、 OQ 为边。然后画出各类的图 形，根据图形性质求顶点坐标。
动时间为 t( s)(0 t 2) ，连结 EF，当 t 为
何值时，△ BEF 为直角三角形． 注意：第（ 3 ）问按直角位置分类讨论
C F
A
OEB
图
2
t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？ 并求出最小值及此时 PQ 的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠ DAB=60 ° 当 △OPQ 面 积 最 大 时 ， 四 边 形
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.HM NG POAB图1xy解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. AEDCB 图2(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ).AC 3(2)C 3(1)(3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,ABCO 图8H在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学二轮专题复习 与动点有关的探究专题 课件
当AM取最大值时,三角形位置关系如解图②所示, 过点P作PE⊥x轴于点E, ∵△A′PA是等腰直角三角形, ∴PE＝AE＝ 2, ∴OE＝OA－AE＝2－ 2 , ∴点P的坐标为(2－ 2, )2；
第1题解图②
如解图③,根据对称性可得,在第四象限点P也符合条件,此时点P(2－ , － 2 )． 2 (3)AM的最大值是3＋2 2 ,此时点P的坐标是 (2－ 2 , 2)或(2－ ,2－ )．2 (10分)
例题图①
【解法提示】∵四边形ABCD是菱形, ∠BAD＝120°, ∴△ABC,△ACD都是等边三角形, ∵∠BAC＝∠EAF＝60°, ∴∠BAE＝∠CAF, ∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴BE＝CF, ∴EC＋CF＝EC＋BE＝BC. 解：(1)EC＋CF＝BC；
例题图①
(2)如图②,当顶点G运动到AC中点时,探究线段EC、CF与BC之间的数量 关系并证明你的结论； 【思路引导】当点G运动到AC中点时,可取BC、CD的___中__点_,分别与点 G连接,构造出菱形,再类比(1)中的方法,抽离图形,利用菱形的性质和三 角形全等将三条线段转化到同一条直线上,从而得到其数量关系；
与动点有关的探究
类型二 与动点有关的探究(2016.22) 例 如图,菱形ABCD中,已知∠BAD＝120°,∠EGF＝60°,∠EGF的顶 点G在菱形对角线AC上运动,∠EGF的两边分别交边BC、CD于点E、F. (1)如图①,当顶点G运动到与点A重合时,线段EC、CF与BC之间的数量 关系是____________；
第1题解图③
2. (2021连云港)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动． (1)△ABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点,且AE＝1,小亮以 BE为边作等边三角形BEF,如图①.求CF的长；
中考数学动点问题专题讲解
中考数学动点问题专题讲解所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP x =,求x =关于x =的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x =的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=x =NH=x =OP=2.(2)在Rt △POH 中, x =, ∴x =.在Rt △MPH 中,.∴x ==GP=x =MP=x = (0<x =<6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x =,解得x =. 经检验, x =是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, x =,解得x =. 经检验, x =是原方程的根,但不符合题意.2222233621419xx x MH PH MP +=-+=+=③PH=GH 时,x =.综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为x =或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=x =CE=x =.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定x =与x =之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为x =,∠DAE 的度数为x =,当x =,x =满足怎样的关系式时,(1)中x =与x =之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴x =,∴x =, ∴x =.(2)由于∠DAB+∠CAE=x =,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=x =,且函数关系式成立,∴x ==x =, 整理得x =x =. 当x =x =时,函数解析式x =成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=x =,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C不重合),设BO=x =,△AOC 的面积为x =. (1)求x =关于x =的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=x =, ∴BC=4,AH=x =BC=2. ∴OC=4-x =.∵x =, ∴x = (x =). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=x =,OH=x =, ∴x =. 解得x =. 此时,△AOC 的面积x ==x =.②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=x =,OH=x =, ∴x =. 解得x =. 此时,△AOC 的面积x ==x =.AOC 的面积为x =或x =.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,AEDCB图23(1)HM NGPOAB图1∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .A3(2)ABCO 图8HC∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。
关键:动中求静。
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程,以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想;（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么，我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1（2000年·上海）如图1,在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G 。
数学中考二轮专题复习-动点问题探究PPT课件
(2)设△ APQ的面积为y( cm2)，求y与t之间的函数 关系。
A
图形面积可以
D
Q
P
直接求，也可
以间接求
B
C
(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与
△ ABC的面积比为7︰15？若存在，求出相
应的t的值；不存在说明理由。
SABC
1 86 2
24
A
y 7
S ABC
15
D
Q
P
4 t 2 4t 7 24
∵点D在线段PQ的中垂线上 ∴DQ=DP
DQ2 DP2
t 2 42 (3 2t)2
∟ G 3t 2 12t 25 0
(12)2 43 25 156 0
∴方程无解 ∴无论t为何值，点D都不可能 在线段QP的中垂线上。
∟G
G ∟
GP AG AP GP AP GP
3 2t
2t 3
(2)设△ APQ的面积为y( cm2)，求y与t之间的函数
关系。
A
A
F
D
P
D
P
Q
∟
Q
E
B
CB
C
解决动点问题的好助手：类似
在RtABC中，C 90
SinA 8 10
AQE 8DFra bibliotekPAQ 10
Q
B
∟
E
QE 8
C
5 t 10
解决动点问题的好 助手：三角函数
QE 4 4 t 5
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， 点P 由点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s， 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
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A．
B．
C．
D．
12. 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD BC,ABC 60 , AB DC 2, AD 1，
R、P 分别是 BC、CD 边上的动点(点 R、B 不重合, 点 P、C 不重合), E、F 分别是 AP、RP 的中点,设 BR x, EF y ,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大
A．
B．
C．
D．
10.如图,在 △ABC 中, AB AC 2 , BAC 20o ．动点 P，Q 分别在直线 BC 上 运动,且始终保持 PAQ 100o ．设 BP x , CQ y ,则 y 与 x 之间的函数关系用图象
大致可以表示为( ).
A．
B．
C．
D．
11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4, E 是 BC 边上的一个动点, AE EF , EF 交 DC 于 F , 设 BE x, FC y ,则当点 E 从点 B 运动到点 C 时, y 关于 x 的函数图象是
A．
B．
C．
D．
14.如图,在矩形 ABCD 中, AB 4, BC 3 ,点 F 在 DC 边上运动,连结 AF ,过点 B 作 BE AF 于 E ,设 BE y, AF x ,则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是( ).
A．
B．
C．
D．
15.如图，在 RtVABC 中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A B C 的方向运动，到达点 C 时停止.设 y PC 2 ,运动时间为 t 秒，则能
1.动点与函数图象之线段长度
1.在如图所示的棱长为1的正方体中, A、B、C、D、E 是正方体的顶点, M 是棱 CD 的中点．动点 P 从点 D 出发,沿着 D A B 的路线在正方体的棱上运动,运动到点 B
停止运动．设点 P 运动的路程是 x, y PM PE ,则 y 关于 x 的函数图象大致为
( ).
选项：
A．
B．
C．
D．
2. 如 图 ， A 、 B 、 C 、 D 为 e O 的 四 等 分 点 ， 若 动 点 P 从 点 C 出 发 ， 沿 C D O C 路线作匀速运动，设运动时间为 t ， APB 的度数为 y ，则 y 与 t
之间函数关系的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
8. 已 知 ： 如 图 , 点 P 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 AC 上 的 一 个 动 点 ( A、C 除 外 ), 作 PE AB 于点 E ,作 PF BC 于点 F ,设正方形 ABCD 的边长为 x ,矩形 PEBF 的 周长为 y ,在下列图象中,大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是( ).
A．
B．
C．
D．
5.如图所示，在矩形 ABCD 中，垂直于对角线 BD 的直线 l ，从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到 D ．设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y ，运动时间为 t ，则 y 关于 t 的
函数的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
6. 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 长 为 2 ， 宽 为 1的 矩 形 ABCD 上 有 一 动 点 P ， 沿 A B C D A 运动一周，则点 P 的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函数
A．
B．
C．
D．
17.如图，矩形纸片 ABCD 中， BC 4 ， AB 3 ，点 P 是 BC 边上的动点(点 P 不与 点 B 、 C 重合)．现将△PCD 沿 PD 翻折，得到△PC ' D ；作 BPC ' 的角平分线， 交 AB 于点 E ．设 BP x ， BE y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数Байду номын сангаас系的图象
反映 y 与 t 之间函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
16.在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边的中点，点 F 在对角线 AC 上，连接 FB 、 FE ．当点 F 在 AC 上运动时，设 AF x ， BEF 的周长为 y ，下列图象中，能表示
y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
致是( ).
A．
B．
C．
D．
13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, P 是反比例函数 y 1 x 0 图象上的一个动点,点
x
A 在 x 轴上,且 PO PA, AB 是△PAO 中 OP 边上的高．设 OA m , AB n ,则 下列图象中,能表示 n 与 m 的函数关系的图象大致是( ).
关系式用图象表示大致是（ ）．
A．
B．
C．
D．
7.如图,在平行四边形 ABCD 中, AC 12, BD 8, P 是 AC 上的一个动点,过点 P 作 EF BD ,与平行四边形的两条边分别交于点 E、F ．设 CP x, EF y ,则下列图象 中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ).
3.如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 4 ，动点 P 从 A 点出发，按 A B C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA x ，点 D 到直线 PA 的距离为 y ，则 y 关于 x
的函数图象大致是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4.如图在 RtABC 中， ACB 90 ， BAC 30 ， AB 2 ， D 是 AB 边上的 一个动点（不与点 A、B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E ．设 AD x ， CE y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是（ ）．
大致是( )
A
D
E
C'
B
PC
A．
B．
C．
D．
18.如图,点 E 、 F 是以线段 BC 为公共弦的两条圆弧的中点， BC 6 .点 A 、 D 分别为
A．
B．
C．
D．
9.如图,在矩形 ABCD 中, AB 4, BC 6 ,当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时,直角边 MP 始终经过点 A ,设直角三角板的另一直角边 PN 与 CD 相交于点 Q．BP x,CQ y ,那么 y 与 x 之间的函数图象大致是( ).