第2课棱长与表面积之间的变化关系
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系第一章：棱长与体积的关系1.1 了解棱长的定义：棱长是立方体各个面的边长。
1.2 理解棱长与体积的关系：棱长越大，体积也越大；棱长越小，体积也越小。
1.3 掌握计算公式：体积= 棱长×棱长×棱长。
1.4 进行实际操作：学生分组讨论，通过实际测量和计算，验证棱长与体积的关系。
第二章：棱长与表面积的关系2.1 了解表面积的定义：立方体表面的总面积。
2.2 理解棱长与表面积的关系：棱长越大，表面积也越大；棱长越小，表面积也越小。
2.3 掌握计算公式：表面积= 6 ×棱长×棱长。
2.4 进行实际操作：学生分组讨论，通过实际测量和计算，验证棱长与表面积的关系。
第三章：棱长与体积、表面积的综合关系3.1 理解棱长、体积、表面积之间的相互影响：棱长变化时，体积和表面积也会相应变化。
3.2 掌握计算公式：体积= 棱长×棱长×棱长，表面积= 6 ×棱长×棱长。
3.3 进行实际操作：学生分组讨论，通过实际测量和计算，探究棱长变化时，体积和表面积的变化规律。
第四章：应用题解析4.1 分析应用题的类型：给出立方体的棱长，求体积或表面积；或者给出立方体的体积或表面积，求棱长。
4.2 掌握解题步骤：先根据题目要求，确定使用体积公式还是表面积公式；代入已知数值，进行计算；检查答案的合理性。
4.3 进行实际操作：学生分组讨论，合作解决应用题，巩固棱长、体积、表面积之间的关系。
第五章：总结与拓展5.1 总结棱长、体积、表面积之间的关系：棱长是影响体积和表面积的重要因素，棱长的变化会直接影响到体积和表面积的大小。
5.2 拓展思考：探讨如何在实际生活中应用棱长、体积、表面积之间的关系，例如制作立方体模型、计算物体的体积和表面积等。
5.3 进行实际操作：学生分组讨论，分享自己在生活中应用棱长、体积、表面积之间关系的经验，互相学习和交流。
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习
《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
五年级数学长方体和正方体的表面积(第二课时)教学设计
长方体和正方体的外表积〔第二课时〕教学内容：西师版义务教育教科书五年级下册43页例2及相关习题。
教学目标：1、进一步了解长方体和正方体的外表积计算方法，能根据所求问题的具体特点选择计算方法解决一些简单的实际问题。
2、进一步开展空间观念和数学思考。
3、密切数学与生活的联系，提高学生的学习兴趣。
教学重难点：重点灵活运用长方体、正方体外表积计算方法解决一些简单的实际问题。
难点能根据实际情况分析和判断所求问题。
教具准备：课件、无盖长方体纸盒模型一个，火柴盒一个等教学过程：一、复习准备上节课我们学习了长方体和正方体的外表积，谁能说说什么是长方体〔或正方体〕的外表积？1、指名答复。
2、提问：长方体的外表积怎样求？正方体呢？二、探究新知1、课件出例如2：〔1〕指名读题。
〔2〕启发思考：要求制作这个纸袋至少需要多少平方厘米的纸，实际上就是求什么？可以怎样计算呢？〔3〕在小组里交流自己的想法，并选择一种想法算出结果。
〔4〕集体交流订正。
2、出示练一练〔1〕读题后各自解答，指名两人板演。
〔2〕集体评议让学生说说是怎么想的，每步算式分别表示什么，确认计算结果。
〔3〕指出：计算这样的实际问题，都必须先弄清要计算哪几个面面积的和，再计算结果。
三、稳固练习1、一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？〔1〕指名读题，并说说题中哪些条件，要解决什么问题。
〔2〕学生列式计算，师巡视指导。
2、完成练习二第8题引导学生观察教室，提问：这题要解决什么问题？这两个问题其实分别求得是什么？说说你的想法。
〔1〕自由读题。
〔2〕引导学生答复：教室的地面不需要粉刷；算出顶面和四面墙壁的总面积之后，还应扣除门窗及黑板的面积。
〔3〕引导学生列式，集体订正。
四、全课总结同学们，通过这节课的学习，你学会了哪些知识？你觉得在解决问题的过程中我们要注意些什么？五、布置作业练习十三第4、5题板书设计：长方体、正方体的外表积〔二〕长方体的外表积=长×宽×2+长×高×2+高×宽×2= (长×宽+长×高+高×宽)×2正方体的外表积=棱长×棱长×6教学反思：。
表面积变化ppt课件
压力对表面积变化的影响
压力对液体表面的影 响
压力会对液体表面产生压缩或拉 伸作用，导致液体表面的形状发 生变化。
压力对物体表面积变 化的影响
当物体从液体中分离时，随着压 力的变化，液体的表面形状也会 发生变化，从而影响物体表面积 的变化。在一定范围内，随着压 力增大，物体表面积可能会减小 。
压力对表面能的影响
感谢您的观看
结果分析
对模拟结果进行分析，包括物理过程的分析、参 数影响的分析等。
应用
将模拟结果应用于实际问题的解决，如材料科学 研究、工业设计等领域。
06 表面积变化的研究展望
研究现状与存在问题
研究现状
目前对表面积变化的研究已经涉及多个 领域，包括材料科学、生物学、环境科 学等。研究者们通过对不同材料的表面 积进行测量，以及研究生物体表面积的 变化，取得了一些重要的研究成果。
VS
存在问题
尽管取得了一定的进展，但仍存在一些问 题需要解决。例如，对于某些材料的表面 积测量，目前缺乏精确的方法和技术；对 于生物体表面积的变化，仍需进一步探究 其与生理功能之间的关系。
研究趋势与未来发展方向
研究趋势
随着科学技术的发展，未来的研究趋势将更加注重跨学科的合作和研究方法的创新。例如，结合生物学和材料科 学的知识，研究生物体在不同环境下的表面积变化及其与生态和环境的关系；同时，利用先进的计算技术和实验 设备，深入研究材料表面积的微观结构和性能。
表面积变化的计算机模拟实现
建立模型
建立表面积变化的物理模型，包 括表面积变化的数学模型、物理
方程等。
选择合适的算法
根据模型的特点，选择合适的数 值计算算法，如有限元法、有限
差 完成表面积变化的计算机模拟程
第2课 列代数式及求值
答：如果学生人数为38人，买门票至少应付945元．
(2)如果学生人数为34人，买门票至少应付多少钱？ 解：(2)按团体买票需要945元,按人数买票需要：
2×50＋34×25＝950(元)， 945＜950， 答：如果学生人数为34人，买门票至少应付945元． (3)若设学生人数为x(x≥38)人，你能用含x的代数式表示 买门票至少应付多少钱吗？ (3)依题意，得0.9(2×50＋25x)＝(22.5x＋90)(元)，
_4_._8_m__元； (4)体育老师购买了20个相同规格的篮球，共付a元，则
a
每个篮球__2_0_元；
(5)小亮同学买了5本笔记本、12支圆珠笔，若笔记本的 单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小亮共花费 __(5_a_＋__1_2_b_)_元；
(6)若三角形的一边长为a，并且这边上的高为b，则这个 三角形的面积为__12_a_b__．
第三章 整式及其加减 第2课 列代数式及求值
1. 某商品标价为a元/件，打九折销售，则实际售价是( B ) A．9a元/件 B．0.9a元/件 C．(a－0.9)元/件 D．(a－9)元/件
2．填空： (1)王芳今年m岁，她去年_(_m_－__1_)_岁，6年后_(m__＋__6_)岁； (2)棱长为a的正方体的体积是__a_3 _，表面积是_6_a_2___； (3)某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋，则收入
3. 根据下列a，b的值，求代数式a2－2ab＋b2的值． (1)a＝1，b＝－2； 解：(1)当a＝1，b＝－2时， a2－2ab＋b2＝12－2×1×(－2)＋(－2)2＝9. (2)a＝－1，b＝2.
正四面体表面积与棱长的关系
正四面体表面积与棱长的关系
正四面体（regular tetrahedron）又叫做三角锥，是三角形的高维拓扑形式，由
4个互相垂直的三角形面和6条边构成，其表面积与棱长有密切的关系。
首先，在正四面体的面和边的构造分析上，显然，正四面体上的两个面都相互垂直，每个面都可以看作是同类三角形，它由3条一样长的棱组成，每个以半边长为直角，其余两边相等，因此记正四面体的棱长为a。
正四面体的每个小三角形的面积都相等，因此，正四面体的表面积就等于4个小三角形的面积的总和，即4×
三角形面积。
根据勾股定理可以得到，3条边长都相等，a2+a2+a2=3a2。
按照高等数学中直
角三角形面积计算公式，小三角形的面积为1/2 × a × a ×根号3，由于小三角形有4个，因此正四面体的表面积就是：4 × 1/2 × a × a ×根号3。
因此，正四面体表面积与棱长a有一下简单的线性关系：S=4a2根号3。
从上述推理可以看出，正四面体的表面积和棱长有较为密切的关系，无论正四面体的棱长是多长，都不会影响表面积的大小，只要棱长变成这个值，表面积就会发生变化。
在判断不同棱长的正四面体的表面积大小时，可以直接比较棱长的大小，如果棱长相等时，表面积也相等。
总之，正四面体的表面积与棱长之间存在一定着密切的关系，任何一条边长a
增加，正四面体的表面积都会成正比增加，其关系式为 S=4a 2根号3，因此知道
正四面体一个面的棱长，就可以计算出它的表面积。
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系第一章：引言1.1 教学目标让学生了解棱长、表面积和体积的概念。
让学生理解棱长与表面积、体积之间的基本关系。
1.2 教学内容棱长的定义：棱长是指立方体每个面的边长。
表面积的定义：立方体六个面的总面积。
体积的定义：立方体内部空间的大小。
1.3 教学方法采用讲解、演示和练习相结合的方式进行教学。
1.4 教学步骤1.4.1 导入通过展示立方体模型，引导学生观察和描述立方体的特征。
1.4.2 讲解讲解棱长、表面积和体积的定义。
举例说明棱长、表面积和体积之间的关系。
1.4.3 演示通过实际测量和计算，演示棱长与表面积、体积之间的变化关系。
1.4.4 练习让学生分组进行实践操作，测量和计算不同棱长下的表面积和体积。
第二章：棱长与表面积的关系2.1 教学目标让学生理解棱长与表面积之间的变化关系。
2.2 教学内容棱长与表面积的公式：表面积= 6 (棱长)^2。
2.3 教学方法采用讲解、演示和练习相结合的方式进行教学。
2.4 教学步骤2.4.1 讲解讲解棱长与表面积的公式。
举例说明棱长增加时，表面积的变化情况。
2.4.2 演示通过实际测量和计算，演示棱长增加时表面积的变化。
2.4.3 练习让学生分组进行实践操作，测量和计算不同棱长下的表面积。
第三章：棱长与体积的关系3.1 教学目标让学生理解棱长与体积之间的变化关系。
3.2 教学内容棱长与体积的公式：体积= (棱长)^3。
3.3 教学方法采用讲解、演示和练习相结合的方式进行教学。
3.4 教学步骤3.4.1 讲解讲解棱长与体积的公式。
举例说明棱长增加时，体积的变化情况。
3.4.2 演示通过实际测量和计算，演示棱长增加时体积的变化。
3.4.3 练习让学生分组进行实践操作，测量和计算不同棱长下的体积。
第四章：综合练习4.1 教学目标让学生综合运用棱长、表面积和体积的知识，解决实际问题。
4.2 教学内容综合运用棱长、表面积和体积的知识，解决实际问题。
表面积知识点总结五年级
表面积知识点总结（五年级）一、认识表面积表面积是指一个物体外部覆盖的面积总和。
在数学中，表面积是一个重要的概念，它与几何形状和立体体积密切相关。
在五年级的数学学习中，我们将进一步深入了解表面积的概念和计算方法。
二、认识常见几何形状的表面积计算方法 1. 正方形和长方形： - 正方形的表面积计算公式：边长 × 边长 - 长方形的表面积计算公式：长 × 宽2.三角形：–三角形的表面积计算公式：底边 × 高 ÷ 23.圆的近似表面积：–圆的近似表面积计算公式：3.14 × 半径 × 半径三、认识立体体积和表面积之间的关系 1. 立体体积是指一个物体所占据的空间容量，而表面积是指物体外部的总面积。
2. 通常情况下，立体体积的计算不仅与物体的形状有关，还与物体的尺寸有关。
而表面积的计算仅与物体的形状有关。
四、认识常见立体体积与表面积的计算方法 1. 立方体： - 立方体的表面积计算公式：6 × 边长 × 边长 - 立方体的体积计算公式：边长 × 边长 × 边长2.长方体：–长方体的表面积计算公式：2 × (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高)–长方体的体积计算公式：长 × 宽 × 高3.圆柱体：–圆柱体的表面积计算公式：2 × 3.14 × 半径 ×（半径 + 高）–圆柱体的体积计算公式：3.14 × 半径 × 半径 × 高五、实例演练 1. 例题1：一个正方形的边长为5厘米，求它的表面积。
- 解答：根据正方形的表面积计算公式，表面积 = 边长 × 边长 = 5厘米 × 5厘米 = 25平方厘米。
2.例题2：一个长方体的长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米，求它的表面积和体积。
长方体的表面积和体积整理
（2）
（3）
缩成一团的表面积最小， 所以肯定是第（3）种方法了
做一个底面周长是30厘米的盒子，本来要做20厘米， 小明做了28厘米，多用了多少硬纸板？
( ) ×( ) = 侧面积
1、一个长方体，表面积是360cm² ,底面 积是40cm² ，底面周长是28cm，求这个 长方体的体积？
（ 侧面积 ） （
一对一的除： （40÷10）X（14÷4）X（6÷3） 整体包含除：（40 X14 X 6）÷（10 X 4 X 3）
最好选择一对一的除，避免除不尽，计算也更简单。
把一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高4厘 米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体， 一共可以锯成多少个？
这些小正方体的表面积和是多少? 可以先算出一个小正方体 的表面积，再乘总个数
……
共有160个，那么总长是多少厘米呢？
练一练： 棱长为1米的正方体大木头锯成许 多个棱长为1分米的小正方体，摆成一排后， 一共有多少个？总长有多少米？
列式：10×10×10=1000（个） 1000分米=100米
8个棱长为1分米的正方体木块摆在一起， 怎样摆表面积最小，最小的表面积是多少？
（1）
5、有甲、乙两个玻璃容器，甲容器的长是8分 米，宽是6分米，里面盛了5分米高的水，乙容 器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米。 将甲容器的水倒入乙容器中，水面距离容器口 多少分米？
物体变形，体积不变。（ 原来的长方体 ）的体积不变。 后来的长方体
8X6X5
12 X 5 X（ ）
有一个长方体的盒子，从里面量长40cm， 宽14cm，高6cm，在这个盒子里放长10cm， 宽4cm，高3cm的长方体木块，最多能放几 块？
角上挖一个小正方体：表面积不变。 棱上挖一个小正方体：表面积增加2个侧面积。 中间挖一个小正方体：表面积增加4个侧面积。 体积都减少了一个正方体的空间。
棱长总和与表面积对比
棱长总和与表面积对比
执教：程华林
一、复习旧知
立体图形
不同点
棱长总和: 12条棱的长度之和 . 表面积:
长方体棱长总和 (长 宽 高) 4
概念对比
6个面的总面积 .
长方体表面积 (长宽 长 高 宽 高) 2
长方 体 正方 体
C (a b h) 4
1、 涂黄漆的面积 从前面看的面积 2
1号： 40 65 2600 (cm2 ) 2号： 40 (65-10) 2200 (cm2 ) 3号： 40 40 1600 (cm2 )
涂黄漆的面积: (2600 2200 1600) 2 12800 (cm2 )
答 : 涂黄漆的面积是 12800 cm2 .
2、 衣柜布罩需要多少布 .
3 、 邮箱需要多少铁皮 .
在实际生活中 , 要注意 是求几棱的长度 .
在实际生活中 , 要注意 是求几个面的面积 .
2cm
3cm
2.5cm 2cm 2cm 2cm
3cm
4cm
3cm
1 、 计算出各长方体中正面 的面积？
(1).4 2 8(cm )
2
(2).3 3 9(cm )
ab ah bh
上下面:
长方 体
长 宽 长高 宽 高
前后面:
左右面:
一、复习旧知
立体图形
不同点
棱长总和: 12条棱的长度之和 . 表面积:
概念对比
6个面的总面积 .
长方 体 正方 体
1 、 棱的上面圈胶带 . 2、 棱的上面装彩带线 . 3 、 棱的上面装角铁 .
1 、 包装箱需要多少硬纸板 .
五年级数学第三单元知识总结
一、长方体和正方体的认识 【知识点1】要素 立体图形棱面 顶点数量 特征 数量 特征数量 特征长方体12互相平行的棱长度相等 6相对的面完全相同 8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体 12 垂直于正方形面的棱长度相等 6 相对两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形 8正方体 12 所有的棱长度都相等6 所有面都是正方形且完全相同8【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和=下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。
需要彩带的长度=高×4+长×2+打结部分长度求棱长和的题型：做正方体（长方体）框架【知识点3】小正方体拼大正方体的规律 由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个二、长方体和正方体的表面积 【知识点1】长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =（ab+ah+bh ）×2 =（前面面积+上面面积+右面面积）×2正方体表面积=棱长×棱长×6=a ×a ×6=6a 2=任意一个面的面积×6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ 【知识点2】长方体表面求法的变形： ① 贴商标类型：只求四周面积。
学大精品讲义五下数学(含答案)第6讲长方体与正方体表面积拓展
第六讲长方体与正方体表面积拓展一、知识梳理1、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长x宽+长x高+宽x高）x 2正方体的表面积=棱长X棱长X62、高的变化引起表面积的变化：长方体表面积增加的=（长x高增加的数+宽X高增加的数）X23、段的变化：把这根木料横截三段，需要截2次，每截一次增加两个截面，所以表面积增加4个截面的面积。
若横截n段，需要截n-1次，每截一次增加两个截面，所以表面积增加2（n-1）个截面的面积4、一个正方体棱长扩大2倍，表面积扩大2倍，表面积增加2 -1倍，一个正方体棱长扩大n倍，表面积扩大n2倍，表面积增加n2 -1倍。
5、把长方体截成两个长方体，增加的表面积就是被切开地方的两个相同面积之和，且与长方体本来的其中一个面的面积相同，即切面与哪个面平行，增加的面积就是这个面的两倍6、把两个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小。
7、大正方体从一个角擦掉的一个小正方体，等于这个大正方体去掉了3个正方形的面积，又新增加了3个小正方形的面积，新图形的表面积与原大正方体的表面积相等、方法归纳根据长方体和正方体表面积计算方法，结合题目实际情况，选用相应的方法1、切：长方体表面积增加的=（长x高增加的数+宽X高增加的数）X22、割：若横截n段，需要截n-1次，每截一次增加两个截面，所以表面积增加2（n-1）个截面的面积3、棱长变化：一个正方体棱长扩大n倍，表面积扩大n2倍，表面积增加n2 -1倍。
4、挖：大正方体从一个角擦掉的一个小正方体，等于这个大正方体去掉了3个正方形的面积，又新增加了 3 个小正方形的面积，新图形的表面积与原大正方体的表面积相等三、课堂精讲1、复习长方体和正方体的表面积计算公式例1.（1）一个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米，这个长方体的表面积是（）平方厘米。
（2）一个正方体的棱长是6分米，它的棱长总和是（），表面积是（）【规律方法】长方体的表面积=（长x宽+长X高+宽X高）X2 正方体的表面积=棱长x棱长X6【搭配课堂训练题】【难度分级】A 1、一个社区要挖一个长22m、宽10m、深2、5m的蓄水池、蓄水池挖好后，要在底部和四周抹一层水泥, 抹水泥的面积有多大?- 22、做一个没有盖的长方体鱼缸，长50cm，宽25cm，高20cm，至少要用多少cm玻璃?2、高的变化引起表面积的变化。
同体积长方体棱长及表面积变化规律
[ ] = （ p + s） －
nk + pk + ns + ps － nk nk（ n + p） （ k + s）
[ ] = （ p + s） －
pk + ns + ps nk（ n + p） （ k + s）
[ ] = （ p + s） －
pk nk（ n + p） （ k + s）
+
nk（
s（ n + p） n + p） （ k
+
s）
[ ] = （ p + s） －
p n（ n + p） （ k + s）
+
nk（
s k+
s）
＞ 0．
这表明：
随着
n
值与
k
值 的 增 加，n
+
k
+
1 nk
的值也在
增加．
（ 2） 在 nk +
1 n
+
1 k
中，
( ) （ n + p） （ k + s）
+
n
1 +
p
+
k
1 +
s
－
nk +
1 n
+
1 k
2
－
2n
+
1 n2
= 2n
+ 2p
－ 2n
+
（
n
1 + p）
2
－
1 n2
[ ] = 2p －
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系
教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系一、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生理解正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积的定义及计算方法；（2）让学生掌握正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积之间的关系。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力；（2）学会运用数学知识解决实际问题。
3. 情感态度价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生合作、交流、探究的学习态度。
二、教学内容1. 正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积的定义及计算方法；2. 正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积之间的关系。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法及其关系；2. 教学难点：正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积之间的变化关系的理解和应用。
四、教学准备1. 教师准备：正方体和长方体的模型、课件、练习题等；2. 学生准备：笔记本、笔、测量工具等。
1. 导入：（1）教师展示正方体和长方体的模型，引导学生观察它们的特征；（2）学生分享观察到的特征，教师总结。
2. 新课导入：（1）教师引导学生思考：正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积的定义及计算方法；（2）学生分享自己的思考，教师总结并讲解。
3. 课堂探究：（1）教师提出问题：正方体和长方体的棱长总和、表面积和体积之间有什么关系？；（2）学生分组讨论、操作、测量，探究棱长总和、表面积和体积之间的关系；（3）各组汇报探究结果，教师总结。
4. 巩固练习：（1）教师出示练习题，学生独立完成；（2）教师选取部分学生的作业进行讲解、评价。
5. 课堂小结：（1）教师引导学生总结本节课所学内容；（2）学生分享自己的收获，教师给予评价。
6. 布置作业：（1）教师出示课后作业，学生独立完成；（2）教师选取部分学生的作业进行讲解、评价。
1. 教师引导学生思考：除了正方体和长方体，还有其他立体图形的棱长总和、表面积和体积的计算方法及其关系吗？2. 学生分享自己的思考，教师总结并讲解其他立体图形的棱长总和、表面积和体积的计算方法及其关系。
正四面体表面积与棱长的关系
正四面体表面积与棱长的关系
正四面体是几何中的一种特殊的多面体，由四个三角形平行排列组成。
它的平面构成形状可以想象成一个立方体，它的棱长与表面积有着特殊的关系，是几何学中最重要的基础知识。
首先，我们来观察正四面体的形状。
它的形状可以用以下公式来描述：a×a×a，其中a为正四面体棱长。
从这个公式中可以看出，正四面体棱长和它的体积有关系。
其次，我们来要研究正四面体表面积和棱长的关系。
正四面体的表面积计算的公式如下：S=6a，其中S为正四面体的表面积，而a为棱长。
从公式中可以看出棱长和表面积有着线性关系，也就是说，当正四面体的棱长增加一倍时，它的表面积也将增加六倍。
最后，要特别提醒一点就是，正四面体表面积和棱长的关系受到了一般几何公式的限制，因此在使用时要特别注意。
总而言之，正四面体的表面积和棱长有着特殊的关系，是几何学中重要的基础知识。
要想掌握正四面体的表面积和棱长的关系，就必须先要掌握关于几何的基本公式，然后深入学习一些关于正四面体表面积与棱长的特殊公式。
正四面体表面积与棱长的关系关系决定了几何中正四面体在多种领域的运用，但在使用时也要特别注意以免出现问题，只有掌握这一关系才能实现理论与实际的有效结合。
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教案：棱长与表面积、体积之间的变化关系
棱长与表面积、体积之间的变化关系教学前思：古希腊数学学、哲学家毕达哥拉斯曾说：“在数学的天地里，重要的不是我们知道了什么，而是我们怎么知道什么。
”对“棱长与表面积、体积之间的变化关系”一课的组课，源于人教版教材五下年级教材P37中的一道练习题：“一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。
已知长方体的长、宽、高分别是6dm 、5dm 、4dm ，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？”如果仅仅从解决问题的角度来看，这个问题并不难，如果就题解题，我觉得太过简单了，因为它其中蕴含了规律的探究，蕴含了数学美。
如果我们从解题的角度考虑，可以直接告诉孩子们结论，但这显然是不符合数学教学的价值取向的。
“数学是思维的体操”，让学生经历数学探究的过程，这才是我们数学活动的主题。
为此，我设计了这一堂课。
教学目标:1．经历迁移、猜想、验证的数学过程，发现数学中隐含的规律。
2．通过教学，培养学生的归纳能力、思维能力和逻辑推理能力。
3. 通过数学探索、研究活动，激发学生对数学学习的兴趣。
教学重点:1．使学生通过猜测、比较、验证等活动，理解在棱长总和不变的情况下，长、宽、高越接近，它的体积和表面积越大的规律。
2．理解棱长变化与表面积、体积之间的变化规律。
教学准备：表格纸 教学过程：一、激疑1．一根长24厘米的铁丝，用它围成长方形（正方形），有哪几种不同的围法？ （长、宽取整厘米）学生尝试写出所有围法。
反馈：根据学生回答，完成表格填写（见右图）。
想一想：你发现了什么？小结：在周长相等的长方形中，长和宽越接近， 面积越大。
2．猜想：一根长24厘米的铁丝，用它围成长方体。
在棱长总和相同的长方体中，是不是长、宽、高越接近的长方体表面积和体积越大呢？二、验证1．用一根长24厘米的铁丝可以围成哪些长方体？完成表格填写。
面积宽长11110293847566112027323536（1）学生尝试操作，研究可能的长方体的长、宽、高，并计算表面积和体积，填写在表格中。
第02讲长方体和正方体的表面积-2023年六年级上册数学暑假衔接课(苏教版)
第02讲长方体和正方体的表面积【知识梳理】1、表面积的含义。
物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。
长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。
2、长方体表面积的计算方法。
长方体的表面积=长*宽*2+长*高*2+宽*高*2=（长*宽+长*高+宽*高）*2。
如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。
有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。
3、正方体表面积的计算方法。
正方体的表面积=棱长*棱长*6，如果用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题4、利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。
【典型例题】例1一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体（如图），3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了（）平方厘米。
A．16 B．32 C．480 D．64【分析】通过观察图形可知，一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体，3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了4个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】4×4×4＝16×4＝64（平方厘米）答案：D【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义，关键是明确：一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体，3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了4个切面的面积。
例2一个底面是正方形的长方体铁箱，把它的侧面展开，如果正好得到一个边长是40厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米；如果正好得到一个面积是320平方厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米。
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（长、宽、高取整厘米）
活动二：探索长方体或正方体棱长与面积的变化规律（1）请学生填写下表
（2）观察表中长宽高是如何变化的？表面积呢？
看谁填得又快又准。
长（厘米）（宽厘米）高（厘米）表面积（平方厘
米）表面积（平方厘米）
1 2 3 24 22
2 4 6 48 88
3 6 9 72 198
（3）观察表格中的数据，猜想随着表面积的变化和长宽高变化有和关系？学生反馈，师生共同总结
得出结论：长方体（正方体）的长、宽、高同时扩大到它的a倍，则棱长总和扩大到它的a倍，表面积扩大到它的a²倍。
（4）根据结论，完成下表
长（厘米）（宽厘米）高（厘米）表面积（平方厘
米）表面积（平方厘米）
1 2 3 24 22
2 4 6 48 88
3 6 9 72 198
4
5
巩固练习：
（1）一个正方体的棱长扩大到它的5倍，则表面积扩大到它的（）倍。
（2）一个长方体的长、宽、高6分米、3分米、2分米，现在长宽高分别是同时乘3，变化后长方体的表面积有多大？
（3）一个正方体的棱长是5分米，另一个正方体的棱长是20分米。
大正方体的表面积是小正方体的多少倍？
【课堂小结】
教师：同学们，今天我们探究了探索长方体或正方体棱长与面积的变化规律，你们都掌握了吗？
【布置作业】
拓展练习：蔡老师在超市买了3盒磁带，如果要包装起来，如何包装最省包装纸吗？至少需要多少包装纸？
每盒磁带长10cm，宽2cm，高6cm
【板书设计】
长方体和正方体的练习-棱长与表面积的变化关系
长方体（正方体）的长、宽、高同时扩大到它的a倍，则棱长总和扩大到它的a倍，表面积扩大到它的a²倍。