Matlab第4章 解数值计算
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第四章 数值计算
4.1 数值微积分 4.2 矩阵和代数方程 4.3 多项式运算和卷积
4.1 数值微积分
4.1.1 近似数值极限及导数
4.1.2 数值求和与近似数值积分
4.1.3 计算精度可控的数值积分
4.1.4 函数极值的数值求解
4.1.5 常微分方程的数值解
4.1.1 近似数值极限及导数
MATLAB提供了与“求导”概念 有关的“求差分”指令： dx=diff(X) FX = gradient(F) [FX,FY] = gradient(F)
i 1
i 1 m
j
Sct=cumtrapz(x, y)
采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量x 的累计积分
〖说明〗 假如X是 (m n) 的数组，那末sum(X)的计算结果Sx是一个 (1 n) 的数组，其中Sx(k)，就是X第k列全体元素的和。而cumsum(X)的计 算结果Scs仍是 (m n) 数组，它第( i, k)元素，就是X数组第k列前i个元素
输入量options用于配置优化参数。在没有特殊需求情况下， 一般不必自行设置。 输出量exitflag若给出大于0的数，说明成功搜索到极值点。 输出量output给出具体的优化算法和迭代次数。 注意：7.x版“泛函”指令不能通过输入量传递优化函数中的 参数。 求一元函数极小值时，数值计算获得的区间收敛容差不会比
( N n) 矩阵。输出量Y行中第k列Y(:,k)，就是向量y第k分量的解。
【例 4.1-10】
4.2 矩阵和代数方程
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4
矩阵运算和特征参数 矩阵的变换和特征值分解 线性方程的解 一般代数方程的解
4.2.1
矩阵运算和特征参数
术 语 矩阵 加减 标量与矩阵 加减 矩阵 乘积 标量与矩阵 相乘 矩阵的转置
【例4.1-1】 【例4.1-2】 【例4.1-3】
4.1.2 数值求和与近似数值积分
Sx=sum(X) Scs=cumsum(X) St=trapz(x, y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量x 的积分 列方向求和 Sx(k ) X mn (i, k ) 沿列方向求累计和 Scs( j, k ) Xmn (i, k )
MATLAB数值计算中，没有专门求 极限和导数的指令。原因是：有限 精度。但这不意味：数值计算不能 应用于与“导数”等函数邻域概念 有关的问题。事实上，数值计算是 解各类微分方程的最主要途径。
求（两点前向）差分 求一元（函数）梯度（三点中心差分） 求二元（函数）梯度
〖说明〗 •当X是向量时，dx = X(2:n) - X(1:n-1)；当X是矩阵时，dx = X(2:n, : ) - X(1:n-1, : )。注意：dx的长度 •当F是向量时，FX(1) = F(2) - F(1)，FX(end) = F(end) - F(end-1)， FX(2:end-1) = ( F(3:end) - F(1:end-2) )/2。梯度采用“内点中心差 分”计算。注意：Fx的长度与F相同。 •当F是矩阵时，FX, FY是与F同样大小的矩阵。FX的每行给出F相应行元素 间的“梯度”；FY的每列给出F相应列元素间的“梯度”。
数 学 含 义
Amn Bmn [aij bij ]mn
MATLAB表达 A+B, A-B a+B, a-B A*B a*B A'
a Bmn [a]mn [bij ]mn [a bij ]mn
Cmn [cij ]mn aij ml bij ln l aik bkj A ml Bln k 1 mn
aBmn [a bij ]mn
B AH
(bkj ) R i (bkj ) I (a jk ) R i (a jk ) I
【例 4.2-1】
eps 更好。 求多元函数极小值时，数值计算的精度极限是 x
f ( x) eps
【例4.1-8】 【例4.1-9】
x
eps ，
4.1.5 常微分方程的数值解
MATLAB为解决常微分方程初值问题提供一组配套齐全、结构严整的指令
[t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0) 采用4阶Runge-Kutta数值积分法解微分方程 〖说明〗 第一输入量odefun是待解微分方程的函数文件句柄。该函数文件的输出必须是 待解函数的一阶导数。不管原问题是不是一阶微分方程组，当使用ode45求解时 ，必须转化成（假设由n个方程组成）一阶微分方程组形式 y f ( y, t ) 式中y是 (n 1) 向量。 tspan常被赋成二元向量 [t 0 , t f ] ，此时tspan用来定义求数值解的时间区间。 输入量y0是一阶微分方程组的 (n 1) 初值列向量。 输出量t是所求数值解的自变量数据列向量（假定其数据长度为 N ），而Y则是
106
。
【例 4.1-6】
Fra Baidu bibliotek
【例 4.1-7】
4.1.4 函数极值的数值求解
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 求一元函数在区间(x1, x2)中极小值 [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options) 单纯形法求多元函数极值点 〖说明〗 •第一输入量fun是待解目标函数，该目标函数可以采用字符串、内联对象、 匿名函数和M函数文件的函数句柄等不同形式表达。fminsearch被优化目 标函数fun中的多元自变量应采用单一变量名的向量形式表达（见例4.18）。 •fminbnd的第二、三个输入量x1, x2分别表示被研究区间的左、右边界。 输出量x, fval分别是极值点和相应的目标函数极值。 •fminsearch的第二个输入宗量x0可以是一个搜索起点的向量或一组搜索起 点的矩阵。当采用单个搜索起点时，输出量x也是一个单点（向量）。当 采用多个搜索起点（矩阵）时，输出量x就给出多个搜索结果（矩阵）， 该矩阵的每一列代表一个候选极值点。这些搜索到的候选极值点按目标函 数值递增次序排列。极值点x(:,1) 对应的目标函数极小值由fval给出。
【例 4.1-5】
4.1.3 计算精度可控的数值积分
S1=quad(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Simpson法计算积分 S1=quadl(fun,a,b,tol) 采用递推自适应 Lobatto法求数值积分 S2=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重（闭型）数值积分指令 S3=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) 三重（闭型）数值积分指令 〖说明〗 被积函数fun ，可以是字符串、内联对象、匿名函数和M函数文件的函 数句柄。被积函数的自变量一般采用字母x 。在此提醒读者注意：编写 被积函数时，要遵循“数组运算”规则。 对于一重积分指令quad, quadl，其积分下限、上限由输入量a、b传递。 而多重积分指令dblquad, triplequad的由内向外的积分限分别由输入量 xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax传递。 •输入宗量tol是个标量，用来控制绝对误差。缺省时，积分的绝对精度为
的和。
trapz(x,y) 给出采样点(x, y)所连接折线下的面积，即函数y在自变量 区间x上的近似积分。而cumtrapz(x, y)的计算结果Sct是一个与y同样 大小的数组，Sct(k)是的 x ( k ) 近似值。
x (1)
y( x )dx
•在对计算数值积分精度没有严格要求的场合，trapz和cumtrapz是两 条比较方便易用的指令。这两条指令所的数值积分的精度与积分区间 分割的稀密程度有关。采样点数愈多，积分精度愈高，但精度无法定 量控制
4.1 数值微积分 4.2 矩阵和代数方程 4.3 多项式运算和卷积
4.1 数值微积分
4.1.1 近似数值极限及导数
4.1.2 数值求和与近似数值积分
4.1.3 计算精度可控的数值积分
4.1.4 函数极值的数值求解
4.1.5 常微分方程的数值解
4.1.1 近似数值极限及导数
MATLAB提供了与“求导”概念 有关的“求差分”指令： dx=diff(X) FX = gradient(F) [FX,FY] = gradient(F)
i 1
i 1 m
j
Sct=cumtrapz(x, y)
采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量x 的累计积分
〖说明〗 假如X是 (m n) 的数组，那末sum(X)的计算结果Sx是一个 (1 n) 的数组，其中Sx(k)，就是X第k列全体元素的和。而cumsum(X)的计 算结果Scs仍是 (m n) 数组，它第( i, k)元素，就是X数组第k列前i个元素
输入量options用于配置优化参数。在没有特殊需求情况下， 一般不必自行设置。 输出量exitflag若给出大于0的数，说明成功搜索到极值点。 输出量output给出具体的优化算法和迭代次数。 注意：7.x版“泛函”指令不能通过输入量传递优化函数中的 参数。 求一元函数极小值时，数值计算获得的区间收敛容差不会比
( N n) 矩阵。输出量Y行中第k列Y(:,k)，就是向量y第k分量的解。
【例 4.1-10】
4.2 矩阵和代数方程
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4
矩阵运算和特征参数 矩阵的变换和特征值分解 线性方程的解 一般代数方程的解
4.2.1
矩阵运算和特征参数
术 语 矩阵 加减 标量与矩阵 加减 矩阵 乘积 标量与矩阵 相乘 矩阵的转置
【例4.1-1】 【例4.1-2】 【例4.1-3】
4.1.2 数值求和与近似数值积分
Sx=sum(X) Scs=cumsum(X) St=trapz(x, y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于自变量x 的积分 列方向求和 Sx(k ) X mn (i, k ) 沿列方向求累计和 Scs( j, k ) Xmn (i, k )
MATLAB数值计算中，没有专门求 极限和导数的指令。原因是：有限 精度。但这不意味：数值计算不能 应用于与“导数”等函数邻域概念 有关的问题。事实上，数值计算是 解各类微分方程的最主要途径。
求（两点前向）差分 求一元（函数）梯度（三点中心差分） 求二元（函数）梯度
〖说明〗 •当X是向量时，dx = X(2:n) - X(1:n-1)；当X是矩阵时，dx = X(2:n, : ) - X(1:n-1, : )。注意：dx的长度 •当F是向量时，FX(1) = F(2) - F(1)，FX(end) = F(end) - F(end-1)， FX(2:end-1) = ( F(3:end) - F(1:end-2) )/2。梯度采用“内点中心差 分”计算。注意：Fx的长度与F相同。 •当F是矩阵时，FX, FY是与F同样大小的矩阵。FX的每行给出F相应行元素 间的“梯度”；FY的每列给出F相应列元素间的“梯度”。
数 学 含 义
Amn Bmn [aij bij ]mn
MATLAB表达 A+B, A-B a+B, a-B A*B a*B A'
a Bmn [a]mn [bij ]mn [a bij ]mn
Cmn [cij ]mn aij ml bij ln l aik bkj A ml Bln k 1 mn
aBmn [a bij ]mn
B AH
(bkj ) R i (bkj ) I (a jk ) R i (a jk ) I
【例 4.2-1】
eps 更好。 求多元函数极小值时，数值计算的精度极限是 x
f ( x) eps
【例4.1-8】 【例4.1-9】
x
eps ，
4.1.5 常微分方程的数值解
MATLAB为解决常微分方程初值问题提供一组配套齐全、结构严整的指令
[t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0) 采用4阶Runge-Kutta数值积分法解微分方程 〖说明〗 第一输入量odefun是待解微分方程的函数文件句柄。该函数文件的输出必须是 待解函数的一阶导数。不管原问题是不是一阶微分方程组，当使用ode45求解时 ，必须转化成（假设由n个方程组成）一阶微分方程组形式 y f ( y, t ) 式中y是 (n 1) 向量。 tspan常被赋成二元向量 [t 0 , t f ] ，此时tspan用来定义求数值解的时间区间。 输入量y0是一阶微分方程组的 (n 1) 初值列向量。 输出量t是所求数值解的自变量数据列向量（假定其数据长度为 N ），而Y则是
106
。
【例 4.1-6】
Fra Baidu bibliotek
【例 4.1-7】
4.1.4 函数极值的数值求解
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 求一元函数在区间(x1, x2)中极小值 [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options) 单纯形法求多元函数极值点 〖说明〗 •第一输入量fun是待解目标函数，该目标函数可以采用字符串、内联对象、 匿名函数和M函数文件的函数句柄等不同形式表达。fminsearch被优化目 标函数fun中的多元自变量应采用单一变量名的向量形式表达（见例4.18）。 •fminbnd的第二、三个输入量x1, x2分别表示被研究区间的左、右边界。 输出量x, fval分别是极值点和相应的目标函数极值。 •fminsearch的第二个输入宗量x0可以是一个搜索起点的向量或一组搜索起 点的矩阵。当采用单个搜索起点时，输出量x也是一个单点（向量）。当 采用多个搜索起点（矩阵）时，输出量x就给出多个搜索结果（矩阵）， 该矩阵的每一列代表一个候选极值点。这些搜索到的候选极值点按目标函 数值递增次序排列。极值点x(:,1) 对应的目标函数极小值由fval给出。
【例 4.1-5】
4.1.3 计算精度可控的数值积分
S1=quad(fun,a,b,tol) 采用递推自适应Simpson法计算积分 S1=quadl(fun,a,b,tol) 采用递推自适应 Lobatto法求数值积分 S2=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重（闭型）数值积分指令 S3=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) 三重（闭型）数值积分指令 〖说明〗 被积函数fun ，可以是字符串、内联对象、匿名函数和M函数文件的函 数句柄。被积函数的自变量一般采用字母x 。在此提醒读者注意：编写 被积函数时，要遵循“数组运算”规则。 对于一重积分指令quad, quadl，其积分下限、上限由输入量a、b传递。 而多重积分指令dblquad, triplequad的由内向外的积分限分别由输入量 xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax传递。 •输入宗量tol是个标量，用来控制绝对误差。缺省时，积分的绝对精度为
的和。
trapz(x,y) 给出采样点(x, y)所连接折线下的面积，即函数y在自变量 区间x上的近似积分。而cumtrapz(x, y)的计算结果Sct是一个与y同样 大小的数组，Sct(k)是的 x ( k ) 近似值。
x (1)
y( x )dx
•在对计算数值积分精度没有严格要求的场合，trapz和cumtrapz是两 条比较方便易用的指令。这两条指令所的数值积分的精度与积分区间 分割的稀密程度有关。采样点数愈多，积分精度愈高，但精度无法定 量控制