数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析

（p11页）

4 试证：对任给初值x 0,

0)a >的牛顿迭代公式

112(),0,1

,2,......k a

k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：

2112(1)(,0,1,2,....

(2)1,2,......

k

k k x k x x k x k +-=≥=

证明：

（1

）(2

1122k k k k k k

x a x x x x +-⎫⎛=+=

=⎪ ⎝⎭

（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，

a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2

12121

6 证明：

若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤

-1102

1

8， 而()

k k k k k x x x x x 28882182

1-=-⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+=-+ n

n

k k x x 21221102

1

5.22104185

.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：

（设x 的近似数*

x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*

x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为

()11

*

*1021

--⨯≤

-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）

则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21

111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21

122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：

00025.0102

21

333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x

∴其相对误差限为00678.07

.20183.011≈<-x e x

同理对于71.22=x ，有

003063

.071

.20083

.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有

00012.0718

.20003

.033≈<-x e x

备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。

11. 解:

......142857.3722≈，.......1415929.3113

255≈ 2102

1

722-⨯≤-∴

π，具有3位有效数字

6102

1

113255-⨯≤-π，具有7位有效数字 9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。

令1x ,2x ,3x 所对应的真实值分别为*1x ,*2x ,*3x ，则

① ∣1x -*

1x ∣≤

21⨯l -110=2

1

⨯210- ∣1x -*

1x ∣/∣1x ∣＜2

1⨯210-/2.72＜0.00184

② ∣2x -*

2x ∣≤21⨯l -110=2

1⨯510-

∣2x -*

2x ∣/∣2x ∣＜2

1⨯510-/2.71828＜0.00000184

③ ∣3x -*

3x ∣＜21⨯l -110=2

1⨯410-

∣3x -*

3x ∣/∣3x ∣＜2

1⨯410-/0.0718＜0.000697

12.解：

⑴ x 211+－x x +-11=)

1)(21(22

x x x ++

⑵ 1-cosx=x

x cos 1sin 2+=22sin 2x

⑶ 1-x

e ≈1+x+!22x +…+!n x n -1=x+!22

x +…+!

n x n

13.解：⑴ x x 1+

-x

x 1-=x

x x

1x 1x /2-

++

⑵

dt t

x x

⎰

++1

2

11

=)1arctan(+x -x arctan 设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则

)tan(

b a - =b a b a tan tan 1tan tan ⋅+-=)

1(11

++x x

∴)1arctan(

+x -x arctan =)

1(11

arctan ++x x