数值计算方法复习题2

习题二

1. 已知，求的二次值多项式。

2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0,1决定的区间；，当时

3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。0.54667, 0.000470 ；0.54714，0.000029

4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。

5. 已知，求及的值。1，0

6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。，

7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

解：向前插值公式向后插值公式

8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时, 积分？。

9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489

10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

11.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。

13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式, 并估计截断误差。

14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算In 0.54的近似值并估计误差限

解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

15、在-4< x W4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近

似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少？

解：用误差估计式，

16、若，求和

解：由均差与导数关系

于是

互异，求的值，这里17、若

p< n+1.

解：，由均差对称性可知当有

而当P= n+ 1时

于是得

18、求证

解：只要按差分定义直接展开得

19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式可得由于20、给定f(x)=cosx 的函数表

用Newton 等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

解：计算，用n=4 得Newton 前插公式

误差估计

其中计算时用Newton 后插公式( 5.18)

误差估计得

这里仍未0.565

21. 求一个次数不高于四次的多项式

p(x),使它满足

解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1 求出A=，于是

22•令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是[-1,1]

上带权的正交多项式序列

解：因

23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数

法方程为

解得

最小二乘拟合曲线为

均方程为

1) 满足条件插值多项式p(x)=( ).

2) ,则f[1,2,3,4]=？，f[1,2,3,4,5]=？.

3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则=?,=? .

4) 设是区间]0,1]上权函数为p (耳=曲勺最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则=?,=?;