数值计算方法复习题2
《数值计算办法》试题集及参考答案
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
《数值计算方法》试题集和答案解析
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值计算方法试题库及答案解析
y 2y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为（
）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2
三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：
2
是否为插值型求积公式？为什么？其
代数精度是多少？
七、（9 分）设线性代数方程组 AX b 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， b 0 ，若向
~
~
量 X 是 AX b 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量 r b A X ， 证 明 估 计 式 ：
~
X X
r cond ( A)
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
1
a
xk1 2 (xk xk )
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
3 f (x)dx 3 [ f (1) f (2)]
六、（9 分）数值求积公式 0
六、（下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、 数值积分公式形如
1
0 xf (x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)
（1） （1） 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；（2）设
1
f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，并估计误差。
i 1
的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次
数为 2n 1。 （
）
《数值计算方法》试题集及答案要点
《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。
答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法》试题集和答案(1_6)2
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2
《计算方法》期中复习试题一、填空题:1、已知/（1）= 1°，/⑵=12 /⑶= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求2、/（1）= 7 /⑵=2, /（3） = 11则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为 _____ ,拉格朗日插值多项式为 ________________________ o3、近似值^=0 231关于真值A = 0.229有（2 ）位有效数字;4、设/（X ）可微,求方程x = f^的牛顿迭代格式是（）;5、 对/U ）= X 3 + A + 1J 差商/[0,1,2,3] =（ 1/[0,1,2,3,4] =（）；6、 计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；7、用二分法求非线性方程f （x ）=0在区间（s,®内的根时，二分力次后的误差限b_a为（诃 ）;8、已知f （l ）=2, f （2）=3, f （4）=,则二次Newton 插值多项式中#系数为（ ）;f/Wdv打⑴血-+ 八2^）]11、两点式高斯型求积公式J 。
八^（Jo22血2厲 ），代数精度为（5 ）;“34 6 y = 10 H ------ 1 --------- ------------12、 为了使计算x-1 （x-1）- （x-1）-的乘除法次数尽量地少，应将V2ooi - 71999"改写为、/^55T+Vi^ 。
得丄"如 答案:，用三点式求得广⑴〜 ____________答案：心+1 =心答案1 一广（占）该表达式改写为 y = 10+（3 + （4 — 6小）人 t =x-l ,为了减少舍入误差，应将表达式13、用二分法求方程/（X）= Q + x_ 1 = 0在区间［0, 1］内的根，进行一步后根的所在区间为，1 ，进行两步后根的所在区间为，。
14、计算积分匚5低肚，取4位有效数字。
用梯形公式计算求得的近似值为—，用辛卜生公式计算求得的近似值为梯形公式的代数精度为1 ,辛卜生公式的代数精度为3 。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《数值计算方法》试题集及答案(同名6837)
《数值计算方法》试题集及答案(同名6837)《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组Ax =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
13、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10-=-++=x t t t t y，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU分解为 A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x xx f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰10d )(x x f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案解析
=
9
。
4 8 2 A= 2 5 7 1 3 6 的 A = LU ，则 U = 32、设矩阵
4 8 2 U = 0 1 6 1 0 0 − 2
。
3
33、若 f ( x ) = 3 x + 2 x + 1 ，则差商 f [ 2, 4, 8,16, 32] =
5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 C． 观察与测量 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580 是π的有( B )位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 C )误差。 D． 舍入
4
D． 7
7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A． 模型 B． 观测
1 x +1 + x
27 、若用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 [1,2] 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。
2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 S (x ) = 3 2 x + ax + bx + c, 1 ≤ x ≤ 2 是 3 次样条函数，则 28、设
C． 截断
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 C．防止计算时溢出 B． 减小方法误差 D． 简化计算
x 3 9、用 1+ 3 近似表示 1 + x 所产生的误差是(
D )误差。 D． 截断 )位有效数字。 D． 8
A． 舍入
B． 观测
C． 模型
10、-324．7500 是舍入得到的近似值，它有( C A． 5 B． 6 C． 7
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习题二
1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
解：；，介于x和0,1决定的区间；，当时
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
0.54667, 0.000470 ；0.54714，0.000029
4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知，求及的值。
1，0
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。
，
7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
解：向前插值公式向后插值公式
8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时, 积分？。
9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。
0.3376489
10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。
11.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。
13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式, 并估计截断误差。
14、给定的数值表
用线性插值与二次插值计算In 0.54的近似值并估计误差限
解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限，因，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限，故
15、在-4< x W4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近
似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少？
解：用误差估计式，
16、若，求和
解：由均差与导数关系
于是
互异，求的值，这里17、若
p< n+1.
解：，由均差对称性可知当有
而当P= n+ 1时
于是得
18、求证
解：只要按差分定义直接展开得
19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：根据给定函数表构造均差表
当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式可得由于20、给定f(x)=cosx 的函数表
用Newton 等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.
解：计算，用n=4 得Newton 前插公式
误差估计
其中计算时用Newton 后插公式( 5.18)
误差估计得
这里仍未0.565
21. 求一个次数不高于四次的多项式
p(x),使它满足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
此处可先造使它满足，显然，再令
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1 求出A=，于是
22•令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是[-1,1]
上带权的正交多项式序列
解：因
23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.
解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数
法方程为
解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为
1) 满足条件插值多项式p(x)=( ).
2) ,则f[1,2,3,4]=？，f[1,2,3,4,5]=？.
3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则=?,=? .
4) 设是区间]0,1]上权函数为p (耳=曲勺最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则=?,=?;。