高一数学必修4第一章习题

高中数学必修四

第一章 三角函数

一、角的概念的推广

●任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角

按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。

可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。

●象限角、轴线角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k •360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

二、弧度制

●角度定义制 规定周角的

360

1

为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义

1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。

2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r

l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

三、任意角的三角函数

●任意角的三角函数的定义

设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r

（0r =

>）

，那么

1、比值

y

r

叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。

2、比值x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x

r

α=。

3、比值y

x

叫做α的正切，记做tan α，即tan y x α=。

另外，我们把比值

x y 叫做α的余切，记做cot α，即cot x y α=；把比值r

x

叫做α的正割，记做sec α，即sec r

x

α=

；把比值r y 叫做α的余割，记做csc α，即csc r y α=。

对于一个确定的角α，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个

比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。

●诱导公式一

终边相同角的同一个三角函数的值相等。 sin(2)sin k απα+•=， cos(2)cos k απα+•=，

tan(2)tan k απα+•=，以上k ∈Z 。

利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2π角的三角函数值。 ●正弦线、余弦线、正切线

1、如图所示，设任意角α的终边与单位圆交于点P （x,y ）

sin 1y y

y r α=

==， cos 1

x x

x r α===。

过点P （x,y ）作P M ⊥x 轴于M ，我们把线段MP ，OM 了方向的有向线段：当MP 的方向与y 轴的正方向一致时，MP 是正的；当MP 的方向与

y 轴的负方向一致时，MP 是负的。因此，有向线段MP 的符号与点P 纵坐标的符号总是

一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y 。同理也有OM=x 成立。从而sin y MP α==，cos x OM α==。

我们把单位圆中规定了方向的线段MP ，OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线。

2、如图所示，过A （1,0）作x 轴的垂线，交α的终边OP 的

延长线（当α为第一、四象限角时）或这条终边的反向延 长线（当α为第二、三象限角时）于点T ，借助于有向线

段OA ，AT ，我们有tan y AT AT x OA

α=

==。于是，我们 把规定了方向的线段AT 叫做α的正切线。

特别地，当α的终边在x 轴上时，点A 与点T 重合，

tan 0AT α==；当α的终边落在y 轴上时，OP 与垂线平行，正切线不存在。

四、同角三角函数的基本关系

●同角三角函数的基本关系

根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。 由三角函数定义有sin y r α=

，cos x r α=，tan y x

α=。 ①222

2

2

222

2sin cos ()()1y x x y r r r r r

αα++=+===，即22sin cos 1αα+=。 ②当()2k k Z π

απ≠+

∈时，sin tan (,)cos 2

k k Z απ

ααπα=≠+∈，

即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α角的正切（其中,2

k k Z π

απ≠+∈）

。 ●关于公式22sin cos 1αα+=的深化

()

2

1sin sin cos ααα±=±

sin cos αα

=±

sin

cos

2

2

α

α

=+

sin 4cos4sin 4cos4=+=--

sin 4cos 4=-

五、正弦、余弦的诱导公式

●0°~360°之间角的划分

对于任何一个0°到360°的角，以下四种情形有且仅有一种成立：

[0,90)180 [90,180)180 [180,270)360 [270,360)αβαββαβαβ⎧∈⎪

-∈⎪⎨+∈⎪⎪-∈⎩

●诱导公式二

sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=。 ●诱导公式三

sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-。 ●诱导公式四

sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-。

以上几个诱导公式可以叙述为 ：对于2()k k Z απ+•∈，则α-，πα±的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。 ●诱导公式五