高考数学大一轮总复习 第十章 第5讲 椭圆课件 理

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5.P 是椭圆上一定点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2
＝60°，∠PF2F1＝30°，则椭圆的离心率为
.
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解析：在△PF1F2 中，∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，
所以∠F1PF2＝90°，即△PF1F2 是直角三角形．
在 Rt△PF1F2 中，F1F2＝2c(椭圆的焦距)，∠PF2F1＝30°.
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2.若方程2xm2 ＋1－y2m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数
m 的取值范围是( D )
A．(－∞，31)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(0，31)
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解析：依题设及椭圆标准方程可知，
2m>0
1－m>0 1－m>2m
，解得 0<m<13，故选 D.
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3.椭圆 x2＋4y2＝13 的离心率为( A )
A.
3 2
B.43
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
C. 2
D.3
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解析： 1x32 ＋1y32 ＝1， 4
所以 a2＝13，b2＝143，c2＝349，
39
所以 e＝ac＝
2＝ 13
23，故选 A.
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4.设椭圆mx22＋ny22＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线 y2＝8x
的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为( A )
A.1x62 ＋1y22 ＝1
B.1x22 ＋1y62 ＝1
C.4x82 ＋6y42 ＝1
D.6x42 ＋4y82 ＝1
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解析：抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)， 所以椭圆焦点在 x 轴上且半焦距为 2， 所以m2 ＝21⇒m＝4，所以 n2＝42－22＝12， 所以椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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【温馨提示】 求椭圆的标准方程，要先确定焦点在哪 条坐标轴上，再求出方程中 a，b 的值即可．其方法有三种： 一是直接根据定义，先由椭圆上的点到焦点的距离之和得出 a 的值，然后求 b 的值，写出标准方程；二是根据条件中的 a，b，c 的关系列出方程组，求出 a，b 的值，写出标准方 程；三是利用待定系数法，它的步骤有作判断，设方程，找 条件，得方程．
所以(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0)．
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所以 x0＝－35 1－b2，y0＝－b32. 所以点 B 的坐标为(－53 1－b2，－b32)． 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1，得 b2＝23. 所以椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1. 答案：x2＋32y2＝1
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第5讲 椭 圆
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1.椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点 F1 的距离为 4，
则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为( A )
A．6
B．2
C．4
D．3
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解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10， 又|PF1|＝4，则|PF2|＝6，故选 A.
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝
.
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解析：椭圆x92＋y42＝1 中，a＝3. 如图，设 MN 的中点为 D， 则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. 因为 D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点， 所以|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|， 所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
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二 椭圆的几何性质及应用
【例 2】 (1)(2013·课标Ⅱ)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2 ＝30°，则椭圆 C 的离心率为( )
3
1
A. 6
B.3
1
3
C.2
D. 3
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(2)(2013·辽宁)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点 F，
所以 PF2＝ 3c，PF1＝c.
根据椭圆的定义，得 2a＝PF2＋PF1＝(1＋ 3)c，
所以椭圆的离心率为 e＝ac＝1＋2
＝ 3
3－1.
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一 椭圆的定义及标准方程
【例 1】(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0 ＜b＜1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若 |AF1| ＝ 3|F1B| ， AF2 ⊥ x 轴 ， 则 椭 圆 E 的 方 程 为 ____________________．
C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF，若|AB|＝
10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则椭圆 C 的离心率为( )
3
5
A.5
B.7
4
6
C.5
D.7
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【解答过程】 (1)设|PF2|＝x， 因为 PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， 所以|PF1|＝2x，|F1F2|＝ 3x， 又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， 所以 2a＝3x,2c＝ 3x， 所以 C 的离心率为 e＝22ac＝ 33.
三式相加可得 AF1＋AF2＋BF1＋BF2＋CF1＋CF2＝6a， 所以 AB＋AC＋BF2＋CF1＝6a， 因为 BF2＋CF1＞BC， 所以 AB＋AC＋BC＜6a.
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【跟踪训练 2】 (2014·辽宁)已知椭圆 C：x92＋y42＝1，点 M
与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
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【解答过程】根据题意，求出点 B 的坐标代入椭圆方程求 解．
设点 B 的坐标为(x0，y0)． 因为 x2＋by22＝1，
所以 F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)． 因为 AF2⊥x 轴，所以 A( 1－b2，b2)．
因为|AF1|＝3|F1B|，所以 AF1 3 F1B ，
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【跟踪训练 1】 椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的内接三角形 ABC(顶点 A、B、C 都在椭圆上)的边 AB，AC 分别过椭圆的焦 点 F1 和 F2，则△ABC 的周长( )
A．总大于 6a B．总等于 6a C．总小于 6a D．与 6a 的大小不确定
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解析：连接 BF2，CF1，则 AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a， CF1＋CF2＝2a，