1.2.1任意角的三角函数(第一课时)教案

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1.2.1任意角的三角函数(1)

2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
P(a, b)
1
cos a
x

o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ；（2）x 叫做的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3）叫做的正切，记作，即 tan ( x 0)
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角，这三个比值的大小和 P 点在角的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M

甘肃省永昌县第一中学高一数学 §1.2.1 任意角三角函数(1)学案

甘肃省永昌县第一中学高一数学：§1.2.1 任意角三角函数（1）1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.任意角的正弦，余弦，正切的定义.三角函数的值在各象限的符号.二、自主学习复习：初中锐角三角函数如何定义？预习课本第11到第14页，并完成导学预案自主预习内容三、合作探究探究一：任意角的三角函数的定义新知：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）叫做α的正弦，记做sinα，即。

（2）叫做α的余弦，记做cosα，即。

（3）叫做α的正切，记做tanα，即。

探究二：三角函数符号问题：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第、象限为正（0,0y r>>），对于第、象限为负（0,0y r<>）。

②余弦值xr对于第、象限为正（0,0x r>>），对于第、象限为负（0,0x r<>）。

③正切值yx对于第、象限为正（,x y同号），对于第、象限为负（,x y异号）。

记忆法则：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

探究三：诱导公式问题：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？新知：诱导公式一sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，其中k Z ∈。

其作用是把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

四、精讲点拨例1、求56π的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。

知识拓展：α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则：sin α= ；cos α= ； tan α= 。

五、达标检测1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（）A ．－55B ．－ 5C ．552D ．25 2、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．tan 1α 4、已知角θ的终边在直线y = 33 x 上，则sin θ= ；θtan = 。

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

(完整)《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。

2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。

2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。

2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。

4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。

5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。

8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。

答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

答案：见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。

2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。

重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

“任意角的三角函数—第一课时”教学设计

“任意角的三角函数—第一课时”教学设计初中学生已经学过锐角三角函数，在直角三角形中用边长的比来刻画。

三角函数是基本初等函数，它是刻画周期变化现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

与其他初等函数的学习一样，学习任意角的三角函数，关键在于让学生理解它的概念、图像和基本性质，并能用三角函数解释一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。

本节课基于初中学习锐角三角函数的基础，用单位圆来进一步深入的研究三角函数，为诱导公式的推导，研究三角函数的图象和性质以及三角恒等变换打下了坚实的准备基础。

二、教材地位与作用三角函数是高中数学的重要内容之一.它是学生学习的一些简单函数的延伸和拓展；在教学过程中，学生对这个概念的认识经历了直观感受、文字描述和精确定义三个阶段，从而为高中的后继课程打下基础，与不等式、导数有紧密联系.过去教材习惯于用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义，新教材则用单位圆来定义。

相比而言，用单位圆上的点的坐标定义三角函数有诸多优点。

定义三角函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横纵坐标）之间的对应关系显得更为简洁明了，突出了函数的本质。

其次，使三角函数的数形关系更直接，为后面的三角函数线与定义间的联系更为直接。

更有利于用数形结合的思想去探讨三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系、诱导公式、单调性、周期性、对称性及最值等。

三、教法学法分析建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建.”也就是说，教学过程不只是知识的授受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，考虑到学生的认知水平，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，结合讲练结合法、谈话法等展开教学.教材在给出了三角函数的定义后，并没有直接给出它们的定义域和函数值的正负，而是设置了“探究”，留给了学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论四、教学过程1、问题切入，追寻历史李文林认为“数学史研究具有三重目的，一是为历史而历史，即恢复历史的本来面目；二是为数学而历史，即古为今用，洋为中用，为现实的数学研究的自主创新服务；三是为教育而历史，即将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能”。

[人版]高中数学必修四教学案

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法回忆-观察-讲解-归纳-推广.四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)

第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．梳理诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值【例7】判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号答案二解析由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角．类型三诱导公式一的应用例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点诱导公式一题点诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点诱导公式一题点诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角．二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案－3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．答案32，12，3或－32，－12， 3 解析因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案－1解析原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

1.2任意角的三角函数(1)教案

1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目标：1、借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

2、目标在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力3、在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

教学重、难点：根据定义求三角函数值。

教学过程：一、复习回顾：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则 ,,a b a sinA cosA tanA c c b === ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、新课讲解：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么特别地：当1=r 时有（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y rα=； y =αsin （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； x =αcos （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； xy =αtan （)0≠x 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义； ④除上述情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三个函数统称为三角函数。

1.2.1任意角三角函数1

x
正切为正
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余割为正,其余均为负第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关的正割为正，其余皆为负。
例1：
已知角α 的终边经过点p(2，－3)，
求角α 的正弦、余弦和正切值。
例2
确定下列各三角函数值的符号：
自学检测：
P16 练习：1、 2、
锐角三角函数的定义：

sin _____; _____; _____ cos tan
y r
P(x,y)
x
α
o M
y x y sin ; cos ; tan r r x
定义： y y ①比值叫做的正弦，记作 sin ，即 sin ． r r x x ②比值叫做的余弦，记作 cos ，即 cos ． r r y 叫做的正切，记作 ③比值， tan P(x,y) y x y 即 tan ． r
正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。
y 正切值对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
三角函数值的符号问题
y
正弦为正
o
三角函数全为正
11 (3) tan . 3
7 (1) cos . 12
(2) sin(465);
分层训练
• 必做题 P16 练习：3、4、5 • 选做题 P23 习题：6 • 作业 P23 ：习题：1、5

湖南省长沙市一中高中数学《1.2.1任意角的三角函数(一)》教案新人教A版必修4

4-1.2.1任意角的三角函数〔1〕教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式〔一〕。

能力目标：〔1〕理解并掌握任意角的三角函数的定义；〔2〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；〔3〕通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：〔1〕使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度〔自变量〕与比值〔函数值〕的一种联系方式；〔2〕学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕，以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P 〔除了原点〕的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么〔1〕比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；〔2〕比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=；〔3〕比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；〔4〕比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

必修四第一章三角函数1.2.1第一课时

(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则2θ是第
象限角．
A．一
数
学必
C．一或三
修
④
·
人
教
A
版
B．三 D．任意象限角
( C)
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第一章三角函数
[解析] (1)①π2<3<π，π<4<32π，32π<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标
(a，b)，则对应角的正弦值 sinα＝ a2b＋b2，余弦值 cosα＝ a2a＋b2，正切值 tanα数学Fra bibliotek必＝ab．
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
·
人教
数进行分类讨论．
A
版
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数学必修 ④ · 人教 A 版
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第一章三角函数
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
(A)
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于 25 _____5_．
数学必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
人教
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
A
版

1.2.1.1任意角三角函数

第1课时任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同．不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一三角函数线的作法【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。

任意角的三角函数,(第一课时)教案

第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。

【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。

2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。

案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。

学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。

教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。

学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。

师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。

同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。

教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。

人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(1)(教师版)

课题：§1.2.1任意角的三角函数(1)总第____课时班级_______________【学习目标】1．掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义；2【重点难点】学习重点：任意角的正弦，余弦，正切的定义.学习难点：理解三角函数的定义,掌握三角函数的定义域和值域【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：初中课本中是如何定义锐角三角函数的？问题2：如右图，点P是半径为R的圆O上一点，点P在圆O上运动，当点P从点A位置运动到点P位置时，∠AOP =α. 如果我们以O为坐标原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系。

我们是不是可以用（r，α）来准确地表示点P的位置？点P的位置可以用它的坐标(x，y)来表示，你能找出（r，α）与(x，y)的关系吗？问题3：填表（课前先完成30°，45°，60°填空）：二、知识建构与应用：1．给出任意角三角函数的定义:如图：在平面直角坐标系中，设角α的终边上除原点外任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。

我们规定：αsin = ;αcos = ，αtan = .问题：点P 的位置不同，会不会改变三角函数值？2．三角函数的定义域3．由定义指出每个象限内的角对应的三角函数值的符号，总结规律.三、例题例1 已知α的终边经过点P(2,-3)，分别求α的正弦、余弦、正切值.变式⑴：已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值.变式⑵：已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0) 求2sin α+cos α的值.例2 确定下列三角函数值的符号：（1）cos 7π12 ; (2)sin(-465°) ; (3) tan 11π3例3 （1）若0sin <α且0tan <α,试确定α为第几象限角. （2）使0cos sin <⋅αα成立的角α的集合.例4 确定下列三角函数的符号：（1）sin2 (2)cos(-3) (3) )108tan(310cos 0-四、巩固练习1．已知角α的终边经过点P ，求α的正弦、余弦、正切值。

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)

§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
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§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时，无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2

思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能像锐角一样定义其三种三角函数呢？