2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一)

学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

知识点一 任意角的三角函数

使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .

思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y

r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

.

思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？

答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

. 梳理 (1)单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；

②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x

(x ≠0).

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域

思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？

答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时y x

无意义，故tan α无意义. 梳理 三角函数的定义域

函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R

正切函数

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π＋π

2，k ∈Z

知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

.当α为第一象限角时，y >0， x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.

梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四 诱导公式一

思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？

答案 它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理 诱导公式一 sin (α＋k ·2π)＝sin

α，

cos (α＋k ·2π)＝cos

α，

tan (α＋k ·2π)＝tan

α，

其中k ∈Z .

类型一 三角函数定义的应用

命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝10

10

x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2

＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r

＝

x

x 2＋9

. 又∵cos θ＝

1010x ，∴x x 2＋9＝1010

x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝

3

12＋32

＝31010，tan θ＝3

1＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝

3

(－1)2＋32

＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.

②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y

r

，cos α＝

x

r

.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解 r ＝(－3a )2

＋(4a )2

＝5|a |.

①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，

sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－3

5

，

∴2sin α＋cos α＝85－3

5

＝1.

②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝3

5，

∴2sin α＋cos α＝－85＋3

5＝－1.

综上所述，2sin α＋cos α＝±1.

命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值

例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3

cos α的值.

解 由题意知，cos α≠0.

设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则

x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.

(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r

＝

－3k

10k

＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，

∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－31010＋310

＝－310＋310＝0.

(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，

sin α＝y r ＝－3k －10k ＝310

10

，

1cos α＝r x ＝－10k k

＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)

＝310－310＝0.

综上所述，10sin α＋3

cos α

＝0.

反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝

b a 2＋b

2

，cos α＝a a 2＋b

2

，tan α＝b

a

. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，