2020届甘肃省兰州市一模数学(理科)试卷及答案

1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
只）
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数为 r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数；
2020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，2，4}
B．{2，4}
C．{1，3，5}
，且 a＝f（0.20.2），b＝f（log34）， 鯠 Ꮨሻ扈
，则
a、b、c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
8．（5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的
散点图，如图所示：
年份
1
2
3
4
5
第 1页（共 21页）
羊只数量（万
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y鯠扈 x 上，则 a＝2b，即 a2＝4b2，
所以 e鯠 鯠 故选：A．
鯠，
6．（5 分）已知集合 鯠 Ꮨ ， ， ， ，
概率是（ ）
，从 A 中任选两个角，其正弦值相等的
A．
B．
C．
D．
【解答】解：集合 鯠 Ꮨ ， ， ， ， 基本事件总数 n鯠 鯠10，
．
16．（5 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，已知 a＝7，b＝5，c＝3，
点 I 是△ABC 的内心，则 IB＝
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在等差数列{an}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．
第 3页（共 21页）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
A．②
B．③
C．①③
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
D．②③
，＜
13．（5 分）已知函数 Ꮨ 鯠
，则 Ꮨ Ꮨሻ扈
鯠
．
，
14．（5 分）已知向量 ， 满足| |鯠 ，向量 ， 夹角为 120°，且（ ）⊥ ，则向量| |
＝
．
15．（5 分）大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正 六边形 ABCDEF，侧棱 AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，
以上判断中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（5 分）已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为
底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知函数 f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数 f（x）的图象与直线 y
的取值
第 6页（共 21页）
2020 年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，2，4}
21．（12 分）已知函数 Ꮨ 鯠
扈 ሻᏘ 扈
（a∈R 且 a≠0）．
（Ⅰ）当 a鯠 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （Ⅲ）若 y＝f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna． 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐 标系与参数方程]
第 2页（共 21页）
①函数 f（x）＝x2﹣2x 是[0，1]上的“保值函数”； ②若函数 g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则 a+b＝1；
③对于函数 h（x）＝x2ex 存在区间[0，m]，且 m∈（ ，1），使函数 h（x）为[0，m]上的
“保值函数”．
其中所有真命题的序号为（ ）
a、b、c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
【解答】解：∵函数 Ꮨ 鯠 ሻᏘᏘ 0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，ሻ扈
的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）， 鯠扈1，
∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34）， 鯠 Ꮨሻ扈 ，
∴b＞c＞a．
19．（12 分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生 态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉” 三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某 种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测 量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层 厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 0 表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观 测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了 相应的频率分布直方图．
蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这
种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方
法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个
房中 BB'＝5 ，AB＝2 ，tan54°44′08''鯠 ，则此蠊房的表面积是
A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
，则
5．（5 分）已知双曲线 扈 鯠 Ꮨ ＞ ， ＞ 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心 率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知集合 鯠 Ꮨ ， ， ， ， 概率是（ ）
，从 A 中任选两个角，其正弦值相等的
A．
B．
7．（5 分）已知函数 Ꮨ 鯠 ሻᏘᏘ
C．
D．
鯠 （a＞b＞0）的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶点，
点 B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM∥直线 BN，直线 AN、BM 的斜率 分别为 k1 和 k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e 为椭圆的离心率）．
B．{2，4}
C．{1，3，5}
D．{1，2，3，4，5}
【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{x|x＝2n，n∈N}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：B．
2．（5 分）已知复数
鯠
瓐 扈瓐
，则|z|＝（
）
A．
B．5
C．13
D．
【解答】解：因为复数
鯠
瓐 扈瓐
鯠Ꮨ
瓐Ꮨ 扈瓐 Ꮨ
瓐
瓐
2＝i（2+i）+2＝1+2i；
在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算 和 （同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．
附：K2鯠 Ꮨ
ᏘᏘ ܽ扈 Ꮨ ܽᏘ
P（K2≥k）
Ꮨ ܽ． 0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20．（12 分）已知点 F 为椭圆
（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图， 完成列联表：
第 4页（共 21页）
标记
不标记
合计
坡腰
坡顶
合计
并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 和 ，若| 扈 |＞20cm，则可认为此固沙方法
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
鯠扈 扈 鯠
（t 为参数），
以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 鯠
扈ᏘᏘ
，曲线 C2 的直角坐标方程为 鯠 扈 ．
（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度；
第 8页（共 21页）
故选：D． 8．（5 分）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的
散点图，如图所示：
年份
1
2
3
4
5
羊只数量（万
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
只）
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
扈Ꮨ
4．（5 分）若 2sin 扈Ꮨ 鯠
，则 tanα＝（ Ꮨ
）
A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
扈Ꮨ 【解答】解：若 2sin 扈Ꮨ 鯠 Ꮨ ，即 2cos •（﹣sin ）＝2• Ꮨ ，即﹣sin 鯠
第 7页（共 21页）
扈Ꮨ Ꮨ瓐Ꮨ 鯠扈 ，
扈Ꮨ
∴ Ꮨ瓐Ꮨ
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鯠扈
，故 tanα＝﹣4，
故选：C．
5．（5 分）已知双曲线 扈 鯠 Ꮨ ＞ ， ＞ 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心 率是（ ）
∴|z|鯠
鯠；
故选：A．
3．（5 分）已知非零向量 ， ，给定 p：∃λ∈R，使得 鯠 ， ：
鯠
p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
，则
【解答】解：由 q 可得向量 ， 同向共线，
∴q⇒p，反之不成立． ∴p 是 q 的必要不充分条件． 故选：B．
＝1 在（0，π）上有 3 个不同的交点，则ω的范围是
A．（ ， ]
B．（ ， ]
C．（ ， ]
D．（ ， ]
11．（5 分）已知点 M（﹣4，﹣2），抛物线 x2＝4y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，
P 为抛物线上一点，过 P 做 PQ⊥l，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1 与 l 交于点 R，则|QR|+|MR|的最小值为（ ）
D．{1，2，3，4，5}
2．（5 分）已知复数
鯠
瓐 扈瓐
，则|z|＝（
）
A．
B．5
C．13
D．
3．（5 分）已知非零向量 ， ，给定 p：∃λ∈R，使得 鯠 ， ：
鯠
p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
扈Ꮨ 4．（5 分）若 2sin 扈Ꮨ 鯠 Ꮨ ，则 tanα＝（ ）
A．
B．
C．
D．5
12．（5 分）对于定义域为 D 的函数 y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足 f（x）
是[a，b]上的单调函数，且 f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数 f（x）
为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数为 r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数；
以上判断中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以
第 5页（共 21页）
（Ⅱ）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求 范围． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a． （Ⅰ）求不等式 f（x）＞4 的解集； （Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，求 a 的取值范围．
，从 A 中任选两个角，
sin 鯠sin ，sin 鯠 Ꮨ瓐Ꮨ ，sin 鯠 Ꮨ瓐Ꮨ ，sin 鯠 Ꮨ瓐Ꮨ ，
∴其正弦值相等包含的基本事件有 4 个，
∴其正弦值相等的概率为 p鯠 鯠 ．
故选：B． 7．（5 分）已知函数 Ꮨ 鯠 ሻᏘᏘ
，且 a＝f（0.20.2），b＝f（log34）， 鯠 Ꮨሻ扈 ，则
（Ⅱ）设 Ꮨ 鯠 ᏘᏘ
Ꮨ （n∈N*），Tn 为数列{bn}的前 n 项和，若 Ꮨ 鯠 ，求 n 的值．
18．（12 分）如图，在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD
内的射影为 A，PA＝AB＝1，点 A 到平面 PBC 的距离为 ，且直线 AC 与 PB 垂直． （Ⅰ）在棱 PD 上找一点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角 B﹣AC﹣E 的大小．