布里渊区

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布里渊区通俗理解

布里渊区通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述布里渊区是一个在物理和数学领域中具有重要意义的概念，它主要用来描述在给定条件下某一物体或物体集合的邻域。

布里渊区的概念源于法国物理学家亚历山大·布里渊的研究成果，他发现了一种描述物体在空间中的局部特性的方法。

布里渊区的概念不仅在物理学领域中被广泛应用，同时也在计算机图形学、材料科学、生物学等领域中具有重要作用。

在本文中，我们将深入探讨布里渊区的概念、应用以及重要性，希望能够对读者有所启发和帮助。

通过了解布里渊区的相关知识，我们可以更好地理解物体在空间中的局部结构和特性，为我们探索和应用这些知识提供了理论基础。

在日常生活中，布里渊区的概念也有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解世界的复杂性，促进科学技术的发展和创新。

展望未来，布里渊区的研究和应用将会不断深化和拓展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论布里渊区的通俗理解。

在引言部分，我们将简要介绍布里渊区的概念、文章结构和撰写本文的目的。

在正文部分，我们将详细探讨布里渊区的概念，其在实际应用中的情况以及在各领域中的重要性。

最后，在结论部分，我们将总结布里渊区的作用，讨论其在日常生活中的意义，并展望未来布里渊区的发展方向。

通过这样的结构安排，读者可以系统地了解布里渊区的相关知识，并深入理解其在现实生活中的应用和意义。

1.3 目的2.正文2.1 布里渊区的概念布里渊区（英文名为Boulevard区）是一种在计算机科学领域中常用的概念，用于描述一种数据结构的布局方式。

布里渊区是指内存中的一段连续地址空间，通常用来存储程序代码、全局变量和静态变量。

在操作系统中，布里渊区还可以用于存放动态链接库和共享库的代码段和数据段。

布里渊区的特点是具有一定的大小和位置，可以在运行时被操作系统动态地分配和回收。

布里渊区的概念主要用于优化内存管理和提高程序的执行效率。

布里渊区

2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a a3 2 (i j k )
原胞体积为 a1 (a2 a3 ) a3 / 2
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
px)
p 1
S p sin( a
px)
（2.4.6）
其中 p 是整数， f0 ,Cp , S p 是傅立叶系数。
这个展开式可以写成更简洁的形式
2

2013固体物理-2.3_布里渊区

2k ⋅G = G2
D
GD
k1
k
⋅
1
G
=
1
G
2
2 2
k2 O G/2 GC C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含
了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
3
2.3 布里渊区
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3. 1 简单立方晶格的倒格子
8
2.3 布里渊区
第 2 章晶体衍射和倒格子
最短的倒格矢是以下8个矢量
2π (±i ± j ± k) a
上述8个矢量的垂直平分面围成一个正八面体，另外由以下6个倒格矢
2π (±2i); 2π (±2 j ); 2π (±2k)
a
a
a
的垂直平分面切割这个八面体的6个角，得到的截角八面体或十四面体即为第一布里渊区
K : 2π ( 3 , 3 ,0) a 44
其中 0 < δ < 1, 0 < λ < 1 , 0 < σ < 3
2
4
10
a
a
a
第一布里渊区由上述12个矢量的
垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
2.3 布里渊区
第 2 章晶体衍射和倒格子
体心立方晶格的布里渊区中一些
具有较高对称性的点或轴的坐标
Γ : 2π (0,0,0) a
∆ : 2π (δ ,0,0)
a
Λ : 2π (λ,λ,λ)
a
Σ : 2π (σ ,σ ,0)
a
2.3 布里渊区
第 2 章晶体衍射和倒格子

§5.5 布里渊区

§5.5 布里渊区本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。

一、二维正方格子正格子原胞基矢 a a a a == 2,1；倒格子原胞基矢 ab a b π=π=22,21 。

如图5.10所示，倒格子空间离原点最近的倒格点有四个，相应的倒格矢为b b b b 2,2,1,1--，它们的垂直平分线的坐标是 ak x π±= 及 a k y π±= 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区。

它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示，中心：Γ；边界线中心：X ；角顶点：M; ΓX 线：∆; ΓM 线：∑。

离Γ点次近邻的四个倒格点相应的倒格矢是b b b b b b b b 21,21),2(1,21+--+-+它们的垂直平分线，同第一布里渊区边界围成的区域合起来成为第二布里渊区，这个区的各部分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。

同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。

二、体心立方格子正基矢 )(21k j i a a ++-=， )(22a a +-= ， )(23a a -+= 。

可证倒基矢 )(21k j ab +π= ， )(22k i ab +π= ， )(23i j ab +π= 。

（习题：证明bcc 的倒格子是fcc 。

）倒格矢：图5.10])21()31()32[(2332211k n n j n n i n n ab n b n b n G n +++++π=++= 离原点最近的有12个倒格点，其坐标可一般地写为)21,31,32(2n n n n n n a +++π. 具体写出是)0,1,1(2a π， )0,1,1(2aπ )0,1,1(2a π， )0,1,1(2aπ )1,0,1(2a π， )1,0,1(2aπ )1,0,1(2a π， )1,0,1(2aπ )1,1,0(2a π， )1,1,0(2aπ )1,1,0(2a π， )1,1,0(2aπ 相应的倒格矢长度为 π=22),,(321an n n G 这12个倒格矢的中垂线围成菱形正面体，称为简约布里渊区，如图5.11所示，其体积正好是倒格子原胞的大小。

布里渊区gamma点的物理意义

布里渊区gamma点的物理意义摘要：一、布里渊区的概念及重要性二、gamma点的物理意义三、gamma点在实际应用中的价值四、我国在gamma点研究方面的进展正文：一、布里渊区的概念及重要性布里渊区（Brillouin zone）是晶体中一个重要的概念，它是由法国物理学家布里渊（Brillouin）首先提出的。

布里渊区是指在晶体中，电子或声子等粒子在某一特定能量范围内可以自由传播的区域。

这个区域内的物理性质和结构特征对晶体的宏观性能有着至关重要的影响。

因此，研究布里渊区具有重要的理论和实际意义。

二、gamma点的物理意义在布里渊区中，gamma点是一个特殊的能量点。

gamma点又称为布里渊区中心，是指在布里渊区内，能量最低的状态。

在gamma点附近，晶体内部的电子、离子和声子等粒子的相互作用表现出独特的物理现象。

这些现象包括电子与声子的耦合、电子与磁子的相互作用等。

这些现象在很大程度上决定了晶体的宏观性能，如导电性、磁性、光学性能等。

三、gamma点在实际应用中的价值gamma点的研究对于揭示晶体内部粒子相互作用规律以及优化晶体材料性能具有重要的实际价值。

例如，在新型光电材料、磁性材料、超导材料等领域，gamma点的研究为材料的设计、制备和性能优化提供了理论指导。

此外，gamma点的研究还在半导体器件、光电子器件、微电子器件等方面具有广泛的应用前景。

四、我国在gamma点研究方面的进展近年来，我国在gamma点研究方面取得了显著的进展。

科学家们通过实验和理论计算等方法，对gamma点的物理性质进行了深入探讨，取得了一系列具有重要学术价值的研究成果。

这些成果为我国晶体材料科学研究和产业发展奠定了坚实基础。

在未来，我国将继续加大gamma点研究力度，为材料科学的发展和创新贡献力量。

总之，布里渊区gamma点作为一个关键的能量点，具有重要的物理意义。

研究gamma点不仅有助于揭示晶体内部粒子相互作用的规律，还为优化晶体材料性能和实际应用提供了理论依据。

30 布里渊区的知识

��
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2

a
i
倒格矢的垂直平分面构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割成许多区域
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。

布里渊区

布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有
倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原
点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点
的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类
பைடு நூலகம்
推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同
样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。
见黄昆书图4－13 （p179)
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、晶胞中的原子数目无关。
布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应
的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区里依然可以划分为几个完全等同的区域。
由于布里渊区界面是某倒格矢
r
ur G
的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
Kittel （p28) 黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区

简约布里渊区定义

简约布里渊区定义布里渊区是一种数学概念，它在函数分析和特别是测度论中扮演着重要的角色。

布里渊区是指由笛卡尔坐标系中的一个原点围成的、具有一些特殊性质的平面区域。

它是由布里渊基矢量所生成的晶格的一个基本单元。

为了更好地理解布里渊区的定义，我们需要回顾一些基础知识。

在晶体学中，布拉伐格子是一个周期性排列的点阵，用来描述晶体的结构。

而布里渊区就是由布拉伐格子所生成的晶格的倒格子所围成的区域。

布拉伐格子中的每个点都对应着倒格子中一个向量，这个向量被称为布里渊基矢量。

倒格子中相邻两个基矢量之间的距离被称为布里渊格矢。

简约布里渊区是指由布里渊基矢量所生成的布里渊格点再经过一系列的简约操作得到的最小重复单元。

简约操作包括平移、合并、旋转等操作，通过这些操作可以得到一个具有最小对称性的区域。

简约布里渊区具有许多重要的性质，如对称性、体积等，这些性质对于研究材料的电子结构等问题非常关键。

在实际应用中，布里渊区的定义对于理解材料的能带结构、光学性质等起着重要的作用。

以固体电子学为例，能带结构是描述材料中电子的能量与动量关系的重要概念。

通过布里渊区的划分，我们可以将整个能带结构分割成一些小的区域，这些区域被称为能带。

布里渊区对于分析和理解能带结构中的各种物理现象非常有帮助。

另外，布里渊区还在光学中发挥着重要的作用。

在光学中，布里渊区和能带结构密切相关，通过布里渊区的划分，我们可以得到材料在不同频率下的光学性质。

布里渊区的对称性也决定了材料对不同频率光的响应情况，这对于光学器件的设计和制造非常重要。

总结起来，简约布里渊区定义了由布里渊基矢量所生成的布里渊格点经过一系列简约操作得到的最小重复单元。

布里渊区在函数分析和测度论中具有重要的地位，它对于理解材料的能带结构、光学性质等起着关键作用。

通过对布里渊区的研究，我们可以更好地理解材料的物理性质，并应用于材料科学和工程等领域。

§5.5 布里渊区

§5.5 布里渊区本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。

一、二维正方格子正格子原胞基矢 a a a a == 2,1；倒格子原胞基矢 ab a b π=π=22,21 。

它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示，中心：Γ；边界线中心：X ；角顶点：M; ΓX 线：∆; ΓM 线：∑。

同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。

二、体心立方格子正基矢 )(21k j i a a ++-=， )(22a a +-= ， )(23a a -+= 。

可证倒基矢 )(21k j ab +π= ， )(22k i ab +π= ， )(23i j ab +π= 。

（习题：证明bcc 的倒格子是fcc 。

(精品)§6.2布里渊区

30
2 3
Kn a
4
Kn a
Γ
Χ
Κ
L
波矢k
2 0,0,0
2 1,0,0
2 3 , 3 ,0
2 1 , 1 , 1
a
a
a 4 4 a 2 2 2 31
32
二维长方晶格的布里渊区
33
六角密积结构的第一和第二布里渊区
六角密积结构的第一布里渊区是上下底面为正六边形的多面体。图(a)即是第一布里渊区；图(b)是第二布里渊区的外表面。它与其内的第一布里渊区边界之间的区域是第二布里渊区。

aj,
a3

ak;
倒格子基矢: b1

2
a
i , b2

2
a
j,
b3

2
a
k;
倒格矢: Kh n1b1 n2b2
1.布里渊区的画法
(1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图;
(2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒
格矢的垂直平分面;

b1, b2 , b3
18
第一布里渊区
19
四、体心立方格子的布里渊区
Hale Waihona Puke 1.体心立方正格子基矢a1

a (i 2

j

k )；a2

a (i 2

j

k )；a3

a (i 2

j

k)；
2.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢

b1

2
a
j

k,

固体物理学：布里渊区(brillouin zone )

2π i j k a
2π i j k a
已知体心立方正格基矢:
a1
a
a 2 a
2
i
i
j
jk k
a3
2 a
2
i
jk
可见，面心立方的倒格子是体心立方。
同上例，先写出倒格矢，再写出离原点最近的倒格点坐标，最后做中垂面。
可以得到面心立方的布里渊区。如图所示，为截角8面体或叫14面体。
a
3
2 a
2
i
j
可见，体心立方的倒格子是面心立方。离原点最近邻的有12个倒格点，它们分别位于：
2 (1,1,0); 2 (1,1,0); 2 (1，1,0); 2 (1,1,0);
a
a
a
a
2 (1，0,1); 2 (1,0，1); 2 (1,0，1); 2 (1,0，1);
a
a
a
a
2 (0，1,1); 2 (0,1,1); 2 (0,1,1); 2 (0,1,1)
高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区第二区第三区第四区第五区第六区第七区第八区第九区第十区
例1：简单立方格子
解:
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。
布里渊区（brillouin zone ）（1）布里渊区的定义
在k空间（倒格子空间）中，以任意一个倒格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线（倒格矢）的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，每个区域内 E ~ k 是连续变化的, 而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变, 这些区域称为布里渊区。

布里渊区的名词解释

布里渊区的名词解释布里渊区是指在光学和无线电工程中，光纤或导波管中因材料非线性而产生的相位调制现象。

这个现象是由于不同频率的光波在光纤中传播时，会发生频率的混合与干涉，导致光波的相位发生变化。

在布里渊区内，光纤中的光波与光纤内部的声波相互作用产生布里渊散射。

布里渊散射是指当光纤中的光波与声波相互作用时，部分光能被散射出去。

这种散射现象是由光波与光纤中声波的相互作用引起的。

光纤中的声波可以由光波引导产生。

当光波在光纤中传播时，由于光纤材料的非线性特性，光波的电场强度会随着光纤中的声波的存在而发生变化。

这种变化会导致光波的相位发生调制。

在布里渊区内，声波的频率与光波的频率非常接近，使得声波与光波发生有效的相互作用。

布里渊区的大小取决于光纤的参数以及传输信号的频率。

对于光纤通信系统来说，布里渊区的存在会对信号的传输产生一定的影响。

当信号频率位于布里渊区时，光纤中的声波与光波的相互作用会导致信号的相位失真和功率损耗。

因此，在设计和实施光纤通信系统时，需要考虑布里渊散射对信号传输的影响，并采取相应的措施来减小布里渊区对信号质量的影响。

布里渊区的现象不仅存在于光纤中，还可以在其他一些导波管（如微纳米波导）中观察到。

这些导波管中的布里渊散射现象也会对波导中传输的信号产生影响。

除了在通信领域中的应用，布里渊区的现象还在光纤传感、光子晶体等领域有着广泛的应用。

通过利用布里渊区的特性，可以设计出基于布里渊散射的传感器，用于测量温度、压力等物理量。

此外，在光子晶体中，布里渊散射也起着重要的作用，可以用于控制和调制光子的传输和储存。

总的来说，布里渊区是光纤或导波管中由于材料非线性而产生的相位调制现象。

它在光纤通信、光纤传感和光子晶体等领域都有着重要的应用。

在光纤通信领域，布里渊散射的存在对信号的传输质量产生一定的影响，因此需要在系统设计中考虑并采取相应的措施来减小布里渊区对信号的影响。

布里渊区

a
jk
,
b2

2
a
k＋i
,
b3

2
a
i j

K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a

b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。

＝b1 b2 b3
2 3

(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1

2 N2
b2

3 N3
b3

14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。

布里渊区的几何定义

布里渊区的几何定义稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘但其实也挺有趣的“布里渊区”的几何定义。

你知道吗？布里渊区就像是晶体结构里的一个独特小天地。

想象一下，晶体中的原子们排排站，它们形成的晶格就像一个大迷宫。

而布里渊区呢，就是这个迷宫里划分出来的特别区域。

比如说，它可以看作是在倒格子空间里的一些区域。

倒格子听起来是不是有点晕？别担心，其实就是一种数学上的表示啦。

简单来讲，布里渊区就像是给晶格中的各种波动，比如电子的运动，划分了不同的“领地”。

在每个领地内，这些波动都有自己独特的性质。

比如说，在这个区域里，电子的能量可能会有特定的范围和变化规律。

这就好像每个布里渊区都是电子的一个“专属俱乐部”，只有符合条件的才能进去玩耍。

而且哦，布里渊区的形状和大小，是由晶体的结构决定的。

不同的晶体结构，就有不同形状和大小的布里渊区。

怎么样，是不是觉得布里渊区也没那么难理解啦？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来探索一下布里渊区的几何定义，准备好了吗？咱们先想象一下，晶体是一个超级大的城市，原子们就是城市里的居民。

而布里渊区呢，就像是城市里划分出来的不同街区。

那它到底是怎么划分出来的呢？这就得提到倒格子啦。

倒格子就像是给这个城市画了一幅特别的地图。

在这张地图上，布里渊区就是那些有特殊意义的区域。

比如说，它们能告诉我们晶体中电子的运动情况。

每个布里渊区都有自己的边界，就像街区有自己的围墙一样。

这些边界可不是随便定的，是根据晶体的对称性和周期性来的。

而且哦，布里渊区的大小和形状能反映出晶体的很多特性。

如果布里渊区比较大，可能说明晶体中电子的活动范围比较广；要是形状比较特别，那也暗示着晶体有独特的性质。

再想想，当我们研究晶体的各种物理性质时，布里渊区就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多秘密的大门。

是不是觉得布里渊区挺有意思的？其实只要多想想，这些看似复杂的概念也能变得很简单有趣哟！。

布里渊区

的Wigner-Seitz原胞给出。

金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。

3布里渊区的特殊k点采样问题研究介绍在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。

如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。

这使得计算的效率非常低下。

因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。

而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。

[1]基本思想Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。

考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：其中是对称群的阶数。

设，将上式的求和顺序重新组合可以得到其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。

需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。

方程(3)中的函数满足下列条件：上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。

五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。

对于特殊点法而言，前两条更为重要。

注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。

我们定义，则函数的平均值为：那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：>那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。

但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。

布里渊区

对称的一些原胞称为布里渊区（BZ ）。

⑴第一布里渊区
由于知二维正方格子的倒格子
基矢为
找离原点最近邻的点，见图。

做原点到上述最近邻点的垂直平分线，所围成的区域为第一布里渊区。

(2)自己找出第二BZ 。

⑶布里渊区的特点i 各区面积相等
ii 其它布里渊区的任一点都可
以平移到第一布里渊区，所以把第一布里渊区称为简约布里渊区
⎩⎨
⎧≠===⋅j i j i b a ij j i 022ππδr r j
a
b i a b r
r r r ππ2221==体心立方格子的固体物理学原胞的三个基矢为
)
(k j i a a r r r r ++−=（体心立方的倒格子为面心立方）
面心立方格子的布里渊区
正格子的固体物理学原胞基矢：
（体心立方与面心立方互为倒格子）
)
(k j a a r r r +=。

布里渊区

１.二维正方格子的布里渊区

正格子原胞基矢 a ai , a aj 1 2
2 2 b1 a i , b2 a j
• 倒格子原胞基矢：

• 倒格子空间离原点最近的倒格点有四个，相应的倒格子矢为 b1 , b1 , b2 , b2 ，它们的垂直平分线的方程式是
倒格子原胞的体积，也即布里渊区的体积为

a a • 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区，也称第一布里渊区。
kx

及k y

• 继续找次近邻倒格点，倒格子矢为
b1 b2 ,(b1 b2 ), b1 b2 ,(b1 b2 )
相应倒格矢的垂直平分线围成区域，构成第二布里渊区。 • 离原点再远一点的倒格点也是4个，倒格子矢为
2b1 ,2b1 ,2b2 ,2b2
相应倒格矢的垂直平分线围成区域，构成第三布里渊区。用同样的方法作出更高一级的布里渊区。
5.5.2 简立方格子
正格子基矢为倒格子基矢为离原点最近的有6个倒格点，它们是它们的中垂面因成的区域，便是第一布里渊区．容易想象得是—个立方体，其体积
次近邻的倒格点有12个
布里渊区
• 布渊区定义：
在倒格子中，以某一倒格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点的平面所围的区域称第一布里渊区。第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二布里渊区。第一、第二布里渊区界面与再次远垂直平分面围成的区域为第三布里渊区，依此类推。
由这12个倒格矢的中垂面围成一个菱形12面体，容易验证，该菱形12面体的体积为从菱形12面体中减去第一布里渊区，便是第二布里渊区，它是由6个分离的四棱锥构成，显然它们的体积和等于第一布里渊区体积．

简约布里渊区定义

简约布里渊区定义
在固体物理学中，简约布里渊区是指倒易格子中第一布里渊区对应的波矢空间区域。

这个区域内的波矢对应于固体中可能的电子态。

简约布里渊区通常用于描述周期性结构中电子的运动行为，以及电子在固体中的能带结构。

简约布里渊区的定义是，在倒易格子中，将第一布里渊区对应的波矢空间区域进行简化，得到的一个抽象概念。

这个区域的波矢表示了固体中电子可能的运动状态，而简约布里渊区正是由这些波矢构成的。

它常被用于研究周期性结构中电子的量子行为，以及电子在固体中的能带结构。

简约布里渊区的定义是指倒易格子中第一布里渊区对应的波矢空间区域。

这个区域内的波矢对应于固体中可能的电子态。

在物理学中，布里渊区是一个重要的概念，它描述了电子在固体晶格中的运动行为和能量状态。

通过研究简约布里渊区，科学家们可以更好地理解固体晶格中的电子结构和物理性质，为材料科学、电子工程等领域的发展提供理论支持。

简约布里渊区是固体物理学中的一个重要概念，它描述了电子在固体晶格中的运动行为和能量状态。

通过研究简约布里渊区，科学家们可以更好地理解固体晶格中的电子结构和物理性质，为材料科学、电子工程等领域的发展提供理论支持。

简约布里渊区的定义是，在倒易格子中，将第一布里渊区对应的波矢空间区域进行简化，得到的一个抽象概念。

这个区域的波矢表示了固体中电子可能的运动状态，而简约布里渊区正是由这些波矢构成的。

它常被用于研究周期性结构中电子的量子行为，以及电子在固体中的能带结构。

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