1.4.1倒格子和布里渊区解析
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
布里渊区通俗理解
布里渊区通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述布里渊区是一个在物理和数学领域中具有重要意义的概念，它主要用来描述在给定条件下某一物体或物体集合的邻域。
布里渊区的概念源于法国物理学家亚历山大·布里渊的研究成果，他发现了一种描述物体在空间中的局部特性的方法。
布里渊区的概念不仅在物理学领域中被广泛应用，同时也在计算机图形学、材料科学、生物学等领域中具有重要作用。
在本文中，我们将深入探讨布里渊区的概念、应用以及重要性，希望能够对读者有所启发和帮助。
通过了解布里渊区的相关知识，我们可以更好地理解物体在空间中的局部结构和特性，为我们探索和应用这些知识提供了理论基础。
在日常生活中，布里渊区的概念也有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解世界的复杂性，促进科学技术的发展和创新。
展望未来，布里渊区的研究和应用将会不断深化和拓展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论布里渊区的通俗理解。
在引言部分，我们将简要介绍布里渊区的概念、文章结构和撰写本文的目的。
在正文部分，我们将详细探讨布里渊区的概念，其在实际应用中的情况以及在各领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结布里渊区的作用，讨论其在日常生活中的意义，并展望未来布里渊区的发展方向。
通过这样的结构安排，读者可以系统地了解布里渊区的相关知识，并深入理解其在现实生活中的应用和意义。
1.3 目的2.正文2.1 布里渊区的概念布里渊区（英文名为Boulevard区）是一种在计算机科学领域中常用的概念，用于描述一种数据结构的布局方式。
布里渊区是指内存中的一段连续地址空间，通常用来存储程序代码、全局变量和静态变量。
在操作系统中，布里渊区还可以用于存放动态链接库和共享库的代码段和数据段。
布里渊区的特点是具有一定的大小和位置，可以在运行时被操作系统动态地分配和回收。
布里渊区的概念主要用于优化内存管理和提高程序的执行效率。
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
倒格子和布里渊区
上述第4点的图示。
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a 2 , a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2 , b3 为正点阵，则其
? iGhkl
?r?) exp(
? iGhkl
? ?Rn
)
K
显然： 即：
? K? e?xp(iG?hkl ?Rn ) ? 1
Ghkl ?Rn ? 2? m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中
的表述之间服从Fourier变换关系。
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说： 倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ? ( ABC )
可以证明：
?
d ? OA ? GG? h1h2h3Βιβλιοθήκη h1h2 h3 h1h2 h3
? ?2?
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基
第二到第九 Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
06 固体物理 1.4.1 倒格子
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
倒格子与布里渊区
2、倒格子
布喇菲格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子元胞体积。
定义
b1 2
a
2
a3
a2 a a 1 a b3 2 b 2
3 1 2
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子元胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
第六节 倒格子与布里渊区
一、倒格子的引入与定义
1、 倒格点
布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3，两种格子元胞间的关系
2
3
倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。
4、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh的关系
正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所对应的倒格子空间找到一 个倒格矢 Kh =h1b1+ h2b2+ h3b3来体现晶面族的法向和面间距。 对于任意给定的倒格矢Kh ´ =h1 ´ b1+ h2 ´ b2+h3 ´ b3都能得到与之 垂直的晶面族的晶面指数（h1h2h3)。 正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。 倒格子的倒格子就是正格子。
傅里叶变换和倒格子
j
3 2
i
1 2
j
2 a
i
1 3
j
,
b2
2
a2 a1 a2
j
2
a
j
ai
a
1 2
i
3 2
j
2 2 j a3
FCC点阵和原胞
BCC点阵的倒易点阵
面心立方倒格子基矢
• 正空间基矢： • 倒易空间中的基矢
a1
1 2
a(i
j), a2
1 2
a(j k),a3
1 2
a(k
i)
b1 2
傅里叶变换、倒格子（倒易空 间）及布里渊区
周期性函数f(x)的傅里叶级数和傅里 叶系数
矩形函数的傅里叶级数展开 （1,2,3,4）
傅里叶变换
,
矩形函数
Sinc函数，矩形函数的傅里叶变换
周期性函数
• 晶体中的周期性函数在每个晶胞中都一样
f ((r) T(n1, n2,...)) f (r)
X射线是电 磁波，衍射条件是光程差D为波长的整数
Rl l1a1 l2a2 l3a3
A
D CO OD CO Rl S0
k0
Rl
OD Rl
（ S
S0）
S
，k0
2
Rl （ k k0） 2 ， k 2 4 sin
S
S0
k
S0，k
O
2
S
k0 n Kh
2n
d hk l
s Kh
k k0 s
I Fh2kl f 2[1 cosn(h k) cosn(h l) cosn(k l)]2 f 2[sin n(h k)sin n(h l) sin n(k l)]2
倒格子与布里渊区
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
倒格子与布里渊区
B
6、倒格矢Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比
d h1h2 h3
a1 K h a1 .(h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) 2π = . = = h1 K h h1 K h Kh
三、布里渊区
1、布里渊区的定义
布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布拉维格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒 格子原胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。
（4）各布里渊区的大小相 同，且都与倒格子原胞大 小相等。
4、简单立方格子的布里渊区
（1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子原胞仍为简单立方， 原胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。
2、一维格子的布里渊区
一维晶格
基矢a=ai
一维倒格子空间 基矢b=(2/a)i
各布里渊区分布情况
3、二维正方格子的布里渊区
(1)二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基矢 为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子原胞仍为正方形，原胞大 小为(2/a)2。 （3）由原点O作最近邻、 次近邻等倒格点连线垂直 平分线，得到各布里渊区。
布里渊区的几何定义
布里渊区的几何定义稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘但其实也挺有趣的“布里渊区”的几何定义。
你知道吗？布里渊区就像是晶体结构里的一个独特小天地。
想象一下，晶体中的原子们排排站，它们形成的晶格就像一个大迷宫。
而布里渊区呢，就是这个迷宫里划分出来的特别区域。
比如说，它可以看作是在倒格子空间里的一些区域。
倒格子听起来是不是有点晕？别担心，其实就是一种数学上的表示啦。
简单来讲，布里渊区就像是给晶格中的各种波动，比如电子的运动，划分了不同的“领地”。
在每个领地内，这些波动都有自己独特的性质。
比如说，在这个区域里，电子的能量可能会有特定的范围和变化规律。
这就好像每个布里渊区都是电子的一个“专属俱乐部”，只有符合条件的才能进去玩耍。
而且哦，布里渊区的形状和大小，是由晶体的结构决定的。
不同的晶体结构，就有不同形状和大小的布里渊区。
怎么样，是不是觉得布里渊区也没那么难理解啦？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来探索一下布里渊区的几何定义，准备好了吗？咱们先想象一下，晶体是一个超级大的城市，原子们就是城市里的居民。
而布里渊区呢，就像是城市里划分出来的不同街区。
那它到底是怎么划分出来的呢？这就得提到倒格子啦。
倒格子就像是给这个城市画了一幅特别的地图。
在这张地图上，布里渊区就是那些有特殊意义的区域。
比如说，它们能告诉我们晶体中电子的运动情况。
每个布里渊区都有自己的边界，就像街区有自己的围墙一样。
这些边界可不是随便定的，是根据晶体的对称性和周期性来的。
而且哦，布里渊区的大小和形状能反映出晶体的很多特性。
如果布里渊区比较大，可能说明晶体中电子的活动范围比较广；要是形状比较特别，那也暗示着晶体有独特的性质。
再想想，当我们研究晶体的各种物理性质时，布里渊区就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多秘密的大门。
是不是觉得布里渊区挺有意思的？其实只要多想想，这些看似复杂的概念也能变得很简单有趣哟！。
单层石墨烯倒格子基矢和第一布里渊区
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固体物理_倒格子与布里渊区_2013
a3 (a1 a2 )
所以：
a3 b3 2
a3 b1/ 2 0
采用同样的方法，我们可以得出：
a2 b2 2 a2 b1/3 0
2 ( a 3 a1 ) b2 2 ( a 2 a3 ) b1
二、特性：
1、第一布里渊区： 在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻 倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所 围成的多面体就是第一布里渊区。 除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第 三布里渊区以及更高阶的布里渊区。
晶面:(111) 面间距：
n
(111)
(111)
法线方向： n
3 a 3
2 2 2 kh i j k 倒格矢： a a a
b3
b2 b1
2 3 k a 面间距： h k 3 h h 法线方向： k i jk kh
三、正格子和倒格子的相互关系
右手定律
2、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？
晶面族(h1h2h3) 中最 靠近坐标原点的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3
a1 a2 a3 上的截距为 , , h1 h2 h3
kh (1)倒格矢Kh垂直与晶面族 n kh
2 (2)倒格矢的模量等于面间距的倒数成正比。 k h d
3
正格子元胞与倒格 子元胞体积成反比
课堂练习：
试证体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
面心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 体心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 a a a1 ( j k ) a1 (i j k ) 2 2 a a a2 (i j k ) a2 (k i ) 2 2 a a a3 (i j k ) a3 (i j ) 2 2 面心立方晶格的倒格子基矢如下：
倒格子空间与布里渊区
)
a2 h2
h3b3
和ah33正 格2子 2中 晶 0面族
(h1h2h3)正交
接着我们再证明倒格矢长度为 Gh
2π d h1h2h3
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3)
正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为Gh
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶
面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向， 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
晶体结构
正格子
1. Rn n1a1 n2a2 n3a3
2.与晶体中原子 位置相对应； 3.是真实空间中点 的周期性排列；
4.线度量纲为[长 度]
倒格子
1. Gh h1b1 h2b2 h3b3
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos(g Rn) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
C
由图可知：
h1 h3
CB OB OC a2 a3 h2 h3
O
a3
Gh
B a2
A
a1
Gh CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
a1 h1
a3 h3
2
晶体倒格子和布里渊区
(i
j)
v
a1
(a2
a3
)
a3 4
b1
2 (a2 a3 )
v
2
a
(i
j
k)
b2
2 (a3 a1)
v
2
a
(i
j
k)
b3
2 (a1 a2 )
v
2
a
(i
j
k)
对
a1
a 2
(i
j
k)
比
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a (i 2
j
k)
二者只相差一常数公
因子，因此得证。
由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k
G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
• 二维正方格子的布区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为 d 2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
M R X
K L U W X
布里渊区
布里渊区（1）倒格子在说布里渊区前，得先来说下倒格子。
现在有一些周期分布的点，这些点和每组晶面有一一对应关系，倒格子的原包的基矢和正格子原包的基矢有数学上得对应关系。
这样将面空间转换倒了点空间，使得分析问题得到了简化。
倒格子和正格子关系（2）第一布里渊区在倒格子中，以一点为原点，从原点出发做出所有倒格点得位置矢量K的垂直平分面，这些平面把倒格空间划分成了一些区域，其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区, 也就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。
由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量和波矢关系。
在第一布里渊区之外，由一组平面所包围的区域叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布区。
（3 ）布区形状：布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。
简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。
它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化。
（4）布理渊区性质:在三维布理渊区中，各布区体积相等。
在二维布理渊区中，各布区的面积相等，等于第一布区面积，每个布区可看做是对应一个晶面族，且其倒格矢长度是该方向晶面间距倒数的2п倍。
布区的不间断看成是晶面族和电子波的散射。
第n布区总是将第n-1布区包着。
下面是一些布理渊区的图片。
二维布里渊区体心立方晶格的 三维布理渊区面心立方布里渊区。
倒格子空间与布里渊区PPT58页
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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c1
同样可以证明：
c 2 a 2 , c3 a 3 ,
r
*
a1 a1
r r
r
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：
倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作 为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 r r r r 当一个点阵具有位移矢量 R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 ( r ) r r r 也应该具有周期性： (r ) (r Rn ) 两边做Fourier展开，有： v v v v v v '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) exp(iGhkl Rn )
2 r r c1 * (b 2 b 3 )
v v v v 2 v 3 又因为： b1 (b2 b3 ) (2 ) (a1 b1 ) (2 ) r 2 (2 ) 2 r r 所以：
*
2 r r 2 r r (2 ) 2 r b 2 b3 ( a 3 a1 ) ( aபைடு நூலகம் a 2 ) a1
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： v v bi a j 2 ij 1. 两个点阵的基矢之间： 1, i j ij 0, i j
v v 2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Ghkl Rn 2 m
4. 证明：先证明倒格矢 Gh1 ,h2 ,h3 h1 a1 h2 a2 h3 a3
与正格子的晶面系 (h1h2h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 (h1h2h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） u r u r u r r r r 在正格子基矢 a1 , a2 , a3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3
uu r v uu r uu r 同理 Gh h h CB 0 而且 CA, CB 都在（ABC)面上， u r 所以 G h h h 与晶面系 (h1h2h3 ) 正交。
1 2 3
1 2 3
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh h h ( ABC)
1 2 3
u r
可以证明：
上述第4点的图示。
u r u u r ur 5. 正点阵和倒易点阵是互易的:由正点阵 a , a , a 给出倒易 1 2 3 r r r r r r 点阵 b1 , b2 , b3 现假定 b1 , b2 , b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为： 利用三重矢积公式： 可以得到： r
r
v v v v v v v v v A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
1.4
倒格子和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例
五. 布里渊区
一. 定义：假设 a1 , a2 , a3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的
格矢为： R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3
d h1h2 h3
v uur Gh h h 2 1 2 3 OA v v Gh1h2 h3 Gh1h2 h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
现在定义 3个新的基矢 r r r b1 , b2 , b3 构成一个新点阵：
（ h,k,l 是整数。） 位移矢量
G hkl hb1 kb2 lb3 就构成了上面点阵的
u r
r
r
r
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
r r r
r
r
r
r
v v v a (a2 a3 ) 原胞体积是： 1
v v v a2 a3 b1 2 v v v a1 a2 a3 v v v a3 a1 b2 2 v v v a1 a2 a3 v v v a1 a2 b3 2 v v v a1 a2 a3
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
v v v v v v v v Rn Ghkl (n1a1 n2 a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 ) 2 (n1h n2 k n3l ) 2 m (m为整数)
3. 证明见习题1.11
2. 证明：
u u r
u r
u r
u r
h1 h2 h3
于是：
CA OA OC CB OB OC
uu r
uu r
uur
a1 h1 a2 h2
r
a3 h3 a3 h3
r
uu r
uu r
uur
r
r
uu r v Gh h h CA
1 2 3
v v v v v a1 a3 ( h1b1 h2b2 h3b3 ) ( ) h1 h3 2 2 0
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
3 v v v (2 ) * b1 (b2 b3 )
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 G hkl 相互垂直， u r r r r 2
Ghkl hb1 kb2 lb3
且有：
d hkl u r G hkl
u r