布里渊区
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
晶体的倒格子和布里渊区
Gh1h2h3 CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
(
a1 h1
a3 h3
)
2 2 0
G 同理 h1h2h3 CB 0 而且 CA,CB 都在（ABC)面上，
G 所以 h1h2h3 与晶面系 (h1h2h3) 正交。
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh1h2h3 ( ABC)
且有：
d hkl
2
G hkl
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
2. 证 明：
Rn Ghkl (n1a1 n2a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 )
2 (n1h n2k n3l) 2m
(m为整数)
3. 证明：先证明倒格矢 Gh1,h2 ,h3 h1b1 h2b2 h3b3
1. 两个点阵的基矢之间：
ij
1, i 0, i
j j
2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Gh Rn 2 m
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
*
b)3
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 Gh 相互垂直，
Ghkl hb1 kb2 lb3
家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，
可以方便地证明它和正点阵之间有b如i 下 a关j 系：2 ij
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。
高二物理竞赛课件布里渊区
布里渊区
简约型色散关系:平移 倒格矢将第一布里渊区 外色散关系移至第一布 里渊区内.布里渊区边 界出现不同能面或能带.
若有限的周期势存在，布里渊区边界出现
小能隙（实线），即对应每个布里渊区边 界k 存在两个能量值，自由电子的色散仅略
微受到该势场的影响，该结果可以用如下
两种方式解释.
①根据非交叉原理，处于布里渊区边界处
的单电子本征态, 即
Hˆ ati
r
2 2m
2
Vat
ri
r
i
ri
r,
其中 Vat r 是单原子势场,i代表原子的某一
量子态.假定 i r 是归一化的, 非简并.
紧束缚近似下, 晶体中的单电子波函数看
成为N（晶体中的格点数）个简并的原子
二维弱周期势中,第一布里渊区边界出现 能隙.
不同方向色散(存在和不存在二维弱周期 势).
三维电子色散关系 不存在三维弱周期势 三维能带的 复杂性导致 第一布里渊 区抛物能带 的折叠结构.
真实硅电子能带（忽略自旋） 间接带隙
2.原子轨道 线性组合法 （LCAO）
假定 i r 是独立原子与本征能量 i 对应
kb a ki kb 2 a G. 入射波与
反射波相干叠加, 形成驻波: A.由驻波产生波包,群速度为0,即布里渊区 边界色散曲线斜率为0. B.驻波可以表示成k的sin和cos函数形式, 而这两类驻波的最大值分别对应周期势的
最大值和最小值,因此它们平均势能不 同,但是动能相同,因此,总能量不同, 因 此在布里渊区边界处形成能隙. ●二维、 三维弱周期势中电子色散关系 二维周期势不存在情况下, 六角形平面晶 格扩展型色散 关系.
kn
n的简并态通过周期势，发生耦合，
布里渊区图示
a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
布里渊区边界方程证明
布里渊区边界方程证明为了证明布里渊区的边界方程，我们首先需要了解什么是布里渊区。
布里渊区是准周期结构中的第一布里渊区。
准周期结构是一种具有周期性和拓扑性质的结晶结构，如多孔材料、非晶态材料等。
布里渊区类似于正常晶体的第一布里渊区，但在布里渊区中，所有传统的晶格平移矢量都是平均的，而不是具体的。
布里渊区是测量准晶体物理属性的基本单位，并且在固体物理和材料科学的研究中具有广泛的应用。
因此，描述布里渊区边界方程是重要的。
布里渊区的边界方程描述了布里渊区的边界形状，并且是通过一组数学表达式表示的。
边界方程可以用于计算布里渊区的体积、形状和边界的性质。
我们可以通过以下步骤证明布里渊区的边界方程：1.首先，我们需要定义准周期结构的一维倒格矢量。
准周期结构的一维倒格矢量定义为：G(m)=m*G(1)+G⊥其中，m是整数，G(1)是第一布里渊区的倒格矢量，G⊥是垂直于G(1)的倒格矢量。
2.接下来，我们定义一个点P的坐标为P=n1G(1)+n⊥G⊥，其中n1和n⊥是整数。
3.然后，我们定义一个准周期结构的单位胞为一个基本矩形。
单位胞的边界由四条边组成，我们将这四条边分别记为a1、a2、a3和a44.现在，我们来推导布里渊区的边界方程。
根据定义，布里渊区的边界是由单位胞的四条边和倒格矢量之间的关系确定的。
布里渊区边界的方程可以表示为：a1·G(m1)+a2·G(m2)+a3·G(m3)+a4·G(m4)=0其中，m1、m2、m3和m4是整数。
由于倒格矢量G(m)可以表示为G(m)=mG(1)+G⊥，我们可以将布里渊区的边界方程改写为：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)+(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=0由于G(1)和G⊥是相互独立的，所以上述方程可以被分解为两个方程：(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G(1)=0(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)·G⊥=05.最后，我们可以进一步简化上述方程以得到布里渊区的边界方程。
布里渊区
布里渊区的形状由晶体结构的布拉菲晶格决定； 布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。
二、 布里渊区
1. 布里渊区定义
在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所
有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒 格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。
第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；
第n+1布里渊区：从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才 能到达的区域(n为正整数)。
K： 2π 3 , 3 ,0 a 4 4
例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。
解：正格基矢：
a1
a
a
a
2 a 2 i 2 a 3 i 2
i
j j
jk k k
Ω a1 (a2 a3 ) 1 a3 2
ak
a1
a2 aj
a3
ai
倒格基矢：
b1
b2
b3
对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?
2.布里渊区作图法
晶体 结构
布拉菲 晶格
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
区分布 里渊区
K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
a
3
a 2
a 2
a 2
jk ik i j
Ω a1 (a2 a3 )
1 a3 4
ak
a1
aj
倒格基矢:
b1
b2
b3
2π
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
平面正六边形晶格的布里渊区
平面正六边形晶格的布里渊区
布里渊区是晶体中重要的概念之一，它是一种特殊的空间区域，用于描述晶体中电子或光子的性质。
对于平面正六边形晶格而言，其对应的布里渊区也具有一定的特殊性质。
平面正六边形晶格的布里渊区是一个六边形，其中心为Γ点。
在该布里渊区内，还存在K点和K'点，它们与Γ点连线的中垂线就是边界线。
K点和K'点的位置是相同的，只是在布里渊区内是以不同的角度表示的。
平面正六边形晶格的布里渊区还存在一个特殊的对称性，即六重旋转对称性。
这意味着，布里渊区沿着任意一条边旋转60度后，布里渊区的形状不变。
这种对称性可以用来简化计算，在研究该晶格的电子性质时非常有用。
总的来说，平面正六边形晶格的布里渊区具有特殊的形状和对称性，这些特性可以帮助我们更好地理解该晶格的电子性质。
- 1 -。
布里渊区的名词解释
布里渊区的名词解释布里渊区是指在光学和无线电工程中，光纤或导波管中因材料非线性而产生的相位调制现象。
这个现象是由于不同频率的光波在光纤中传播时，会发生频率的混合与干涉，导致光波的相位发生变化。
在布里渊区内，光纤中的光波与光纤内部的声波相互作用产生布里渊散射。
布里渊散射是指当光纤中的光波与声波相互作用时，部分光能被散射出去。
这种散射现象是由光波与光纤中声波的相互作用引起的。
光纤中的声波可以由光波引导产生。
当光波在光纤中传播时，由于光纤材料的非线性特性，光波的电场强度会随着光纤中的声波的存在而发生变化。
这种变化会导致光波的相位发生调制。
在布里渊区内，声波的频率与光波的频率非常接近，使得声波与光波发生有效的相互作用。
布里渊区的大小取决于光纤的参数以及传输信号的频率。
对于光纤通信系统来说，布里渊区的存在会对信号的传输产生一定的影响。
当信号频率位于布里渊区时，光纤中的声波与光波的相互作用会导致信号的相位失真和功率损耗。
因此，在设计和实施光纤通信系统时，需要考虑布里渊散射对信号传输的影响，并采取相应的措施来减小布里渊区对信号质量的影响。
布里渊区的现象不仅存在于光纤中，还可以在其他一些导波管（如微纳米波导）中观察到。
这些导波管中的布里渊散射现象也会对波导中传输的信号产生影响。
除了在通信领域中的应用，布里渊区的现象还在光纤传感、光子晶体等领域有着广泛的应用。
通过利用布里渊区的特性，可以设计出基于布里渊散射的传感器，用于测量温度、压力等物理量。
此外，在光子晶体中，布里渊散射也起着重要的作用，可以用于控制和调制光子的传输和储存。
总的来说，布里渊区是光纤或导波管中由于材料非线性而产生的相位调制现象。
它在光纤通信、光纤传感和光子晶体等领域都有着重要的应用。
在光纤通信领域，布里渊散射的存在对信号的传输质量产生一定的影响，因此需要在系统设计中考虑并采取相应的措施来减小布里渊区对信号的影响。
布里渊区gamma点的物理意义
布里渊区gamma点的物理意义布里渊区是固体中晶格的一个特殊区域，它在固体物理学中具有重要的物理意义。
布里渊区中的Gamma点是布里渊区的中心点，它在固体物理学中也有着重要的物理意义。
下面将详细介绍布里渊区Gamma点的物理意义。
首先，布里渊区Gamma点的物理意义之一是对称性。
Gamma点是布里渊区的中心点，具有最高的对称性。
在Gamma点附近，晶体的物理性质具有最高的对称性，这对于研究晶体的对称性和物理性质非常重要。
通过研究Gamma点附近的对称性，可以揭示晶体的对称性和晶格的周期性，从而深入理解晶体的物理性质。
其次，布里渊区Gamma点的物理意义之二是能带结构。
Gamma点是能带结构的一个重要参考点。
能带结构描述了电子在晶体中的能量分布情况，对于理解固体的电子性质非常重要。
Gamma点附近的能带结构可以提供关于晶体中电子能级和能带宽度的重要信息。
通过研究Gamma点附近的能带结构，可以揭示晶体的导电性、磁性和光学性质等方面的物理机制。
第三，布里渊区Gamma点的物理意义之三是光学性质。
Gamma点附近的光学性质对于研究晶体的光学性质非常重要。
在Gamma点附近，晶体的光学性质通常表现为吸收、发射和散射等现象。
通过研究Gamma点附近的光学性质，可以揭示晶体的吸收谱、发射谱和散射谱等方面的物理机制，从而深入理解晶体的光学性质。
第四，布里渊区Gamma点的物理意义之四是声学性质。
Gamma点附近的声学性质对于研究晶体的声学性质非常重要。
在Gamma点附近，晶体的声学性质通常表现为声波的传播和散射等现象。
通过研究Gamma点附近的声学性质，可以揭示晶体的声速、声衰减和声子散射等方面的物理机制，从而深入理解晶体的声学性质。
第五，布里渊区Gamma点的物理意义之五是磁学性质。
Gamma点附近的磁学性质对于研究晶体的磁学性质非常重要。
在Gamma点附近，晶体的磁学性质通常表现为磁矩的排列和磁场的响应等现象。
布里渊区
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
布里渊区
的Wigner-Seitz原胞给出。
金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。
3布里渊区的特殊k点采样问题研究介绍在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。
如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。
这使得计算的效率非常低下。
因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。
而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。
[1]基本思想Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。
考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：其中是对称群的阶数。
设，将上式的求和顺序重新组合可以得到其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。
需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。
方程(3)中的函数满足下列条件：上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。
五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。
对于特殊点法而言，前两条更为重要。
注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。
我们定义，则函数的平均值为：那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：>那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。
但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
二维矩形格子的布里渊区
二维矩形格子的布里渊区
二维矩形格子的布里渊区是一个正方形，其中包含了矩形格子的所有布里渊区。
布里渊区是指在倒空间中，由晶格点连接而成的区域。
对于二维矩形格子，其晶格常数可以分别记为a和b。
布里渊区的边长可以分别表示为2π/a和2π/b。
因此，布里渊区的面积为(2π/a) * (2π/b) = 4π²/(ab)。
布里渊区的形状取决于晶格的几何形状。
对于二维矩形格子，布里渊区是一个正方形，其边长为2π/a和2π/b。
这个正方形的四个顶点分别对应着倒空间中的四个高对称点。
在布里渊区内，任意两个高对称点之间的连线即为布里渊区的边界。
布里渊区在固体物理中具有重要的意义，它决定了能带结构、电子传导性质等物理性质。
通过研究布里渊区的形状和大小，可以了解材料的电子结构和导电性质等方面的信息。
简约布里渊区定义
简约布里渊区定义
在固体物理学中，简约布里渊区是指倒易格子中第一布里渊区对应的波矢空间区域。
这个区域内的波矢对应于固体中可能的电子态。
简约布里渊区通常用于描述周期性结构中电子的运动行为，以及电子在固体中的能带结构。
简约布里渊区的定义是，在倒易格子中，将第一布里渊区对应的波矢空间区域进行简化，得到的一个抽象概念。
这个区域的波矢表示了固体中电子可能的运动状态，而简约布里渊区正是由这些波矢构成的。
它常被用于研究周期性结构中电子的量子行为，以及电子在固体中的能带结构。
简约布里渊区的定义是指倒易格子中第一布里渊区对应的波矢空间区域。
这个区域内的波矢对应于固体中可能的电子态。
在物理学中，布里渊区是一个重要的概念，它描述了电子在固体晶格中的运动行为和能量状态。
通过研究简约布里渊区，科学家们可以更好地理解固体晶格中的电子结构和物理性质，为材料科学、电子工程等领域的发展提供理论支持。
简约布里渊区是固体物理学中的一个重要概念，它描述了电子在固体晶格中的运动行为和能量状态。
通过研究简约布里渊区，科学家们可以更好地理解固体晶格中的电子结构和物理性质，为材料科学、电子工程等领域的发展提供理论支持。
简约布里渊区的定义是，在倒易格子中，将第一布里渊区对应的波矢空间区域进行简化，得到的一个抽象概念。
这个区域的波矢表示了固体中电子可能的运动状态，而简约布里渊区正是由这些波矢构成的。
它常被用于研究周期性结构中电子的量子行为，以及电子在固体中的能带结构。
1。
§6.2布里渊区
a
倒格矢的长度为:
K n
4
a
次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的 六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体)
29
八个面是 正六边形, 六个面是 正四边形
30
2 3
Kn a
4
Kn a
Γ
Χ
Κ
L
波矢k
2 0,0,0
2 1,0,0
2 3 , 3 ,0
2 1 , 1 , 1
a
a
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状
每个布里渊 区经过适当 的平移之后 和第一布里 渊区重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小 区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级构 成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒 格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
所有点的集合称为第二布里渊区……从原点出发跨过(n-1)个 垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点
(1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1
b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
b3
2
a
i j－k
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
- n1 n2 n3 i n1 - n2 n3 j n1 n2 - n3 k
常用结构的布里渊区
常用结构和布里渊区(参考书： C.J. Bradley, A.P. Cracknell, “The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups”, Oxford, Clarendon Press, 1972)1. 简单立方: Cubic Primitive, c Γ , m3m (O h )正格子：（a,0,0），（0,a,0），（0,0,a ）， 正格体积 a 3倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2a π，倒格体积 338aπ 布里渊区： Fig. 3.13Γ=(0, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), M=(1/2, 1/2, 0), R=(1/2, 1/2, 1/2) [注：以上各高对称点单位为： ),,(321b b b , 图上的i i b g=]2. 面心立方: Cubic Face-centred, c f Γ , m3m (O h )正格子：（0,a/2,a/2），（a/2,0,a/2），（a/2,a/2,0）， 正格体积 a 3/4即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321j i a a i k a a k j a a（下同）倒格子： )1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，倒格体积 3332aπ 即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a b k j i a b k j i a bπππ （下同） 布里渊区：Fig. 3.14Γ=(0, 0, 0), X=(1/2, 0, 1/2), L=(1/2, 1/2, 1/2), W=(1/2, 1/4, 3/4),K=U=(3/8, 3/8, 3/4)3. 体心立方: Cubic Body-centred, c v Γ , m3m (O h )正格子：)1,1,1(2-a ，)1,1,1(2-a , )1,1,1(2-a , 正格体积 a 3/2 倒格子： )1,1,0(2a π，)1,0,1(2a π，)0,1,1(2a π，倒格体积 3316a π 布里渊区：Fig. 3.15Γ=(0,0,0), H=(1/2,－1/2, 1/2), P=(1/4, 1/4, 1/4), N=(0, 0, 1/2)4. 简单六角: Hexagonal primitive, h Γ , 6/mmm (D 6h )正格子： )0,,0(a -，)0,21,23(a a ，),0,0(c ， 正格体积 c a 223 即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=k c a j a i a a j a a3212123 原胞图：？重要！： 倒格子： )0,1,31(2-a π，)0,0,32(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 23316π 布里渊区： Fig.3.12Γ=(0, 0, 0), M=(0, 1/2, 0), A=(0, 0, 1/2), L=(0, 1/2, 1/2),K=(－1/3, 2/3, 0), H=(－1/3, 2/3, 1/2)5. 简单四角: Tetragonal primitive, q Γ, 4/mmm (D 4h )正格子： (a, 0, 0)，（0, a, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 a 2c倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 238π 布里渊区： Fig. 3.9Γ=(0, 0, 0), M=(1/2, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2), A=(1/2, 1/2, 1/2),R=(0, 1/2, 1/2), X=(0, 1/2, 0)6. 简单正交: Orthorhombic primitive, o Γ, mmm (D 2h )正格子： (0,-b, 0)，（a,0, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 abc倒格子： )0,1,0(2-b π，)0,0,1(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 abc38π 布里渊区： Fig. 3.5Γ =(0, 0, 0), Y=(－1/2, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2),U=(0, 1/2, 1/2), T=(－1/2, 0, 1/2), S=(－1/2, 1/2, 0), R=(－1/2, 1/2, 1/2)通常大家遇到的就是以上这些。
布里渊区
１.二维正方格子的布里渊区
正格子原胞基矢 a ai , a aj 1 2
2 2 b1 a i , b2 a j
• 倒格子原胞基矢：
• 倒格子空间离原点最近的倒格点有四个，相 应的倒格子矢为 b1 , b1 , b2 , b2 ，它们的垂直平 分线的方程式是
倒格子原胞的体积，也即布里渊区的体积为
a a • 这些垂直平分线围成的区 域就是简约布里渊区，也 称第一布里渊区。
kx
及k y
• 继续找次近邻倒格点，倒格子矢为
b1 b2 ,(b1 b2 ), b1 b2 ,(b1 b2 )
相应倒格矢的垂直平分线围成区域，构成第二 布里渊区。 • 离原点再远一点的倒格点也是4个，倒格子矢 为
2b1 ,2b1 ,2b2 ,2b2
相应倒格矢的垂直平分线围成区域，构成第三 布里渊区。 用同样的方法作出更高一级的布里渊区。
5.5.2 简立方格子
正格子基矢为 倒格子基矢为 离原点最近的有6个倒格点，它们是 它们的中垂面因成的区域，便是第一布里渊区．容易想象得 是—个立方体，其体积
次近邻的倒格点有12个
布里渊区
• 布渊区定义：
在倒格子中，以某一倒格点为坐标原点，作所 有倒格矢的垂直平分面，倒格子空间被这些平面 分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为 布里渊区。其中最靠近原点的平面所围的区域称 第一布里渊区。第一布里渊区界面与次远垂直平 分面所围成的区域为第二布里渊区。第一、第二 布里渊区界面与再次远垂直平分面围成的区域为 第三布里渊区，依此类推。
由这12个倒格矢的中垂面围成一个菱形12面体，容易验 证，该菱形12面体的体积为 从菱形12面体中减去第一布 里渊区，便是第二布里渊区， 它是由6个分离的四棱锥构成， 显然它们的体积和等于第一布 里渊区体积．
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布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
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固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
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固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
6
固体物理 固体物理
3. 典型格子的第一布里渊区
3.1简单立方晶格的F.B.Z 简单立方晶格的F.B.Z 简单立方晶格的
简单立方晶格的倒格子也是简单立方晶格
可以看出， 可以看出，简单立方倒 格子（即简单立方晶格） 格子（即简单立方晶格） 的F.B.Z也为简单立方体 也为简单立方体
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固体物理 固体物理
1 1 k ⋅ G = G 2 2
2
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6.布里渊区中的K点
• 在各种周期性边界条件的第一性原理计算方法中，需要涉 及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布， 以及金属体系中费米面的确定等等。 如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那 如果采用普通的在布里渊区内均匀选取 点的方法， 点的方法 么为了得到精确的结果点的密度必须很大， 么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致 非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。 非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。 因此，需要寻找一种高效的积分方法， 因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的 点运算取得较高的精度。而这些k点被称之为 点被称之为“ 点运算取得较高的精度。而这些 点被称之为“平均值 或者“特殊点” 点”或者“特殊点”。
(a)
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8.布里渊区和费米面 布里渊区和费米面
空间中能量为常数E 的点构成的曲面。 费米面就是 k 空间中能量为常数 F的点构成的曲面。 *费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 *费米面是能级等于费米能级的等能面 费米面是能级等于费米能级的等能面 * 在 k 空间，自由电子的等能面是球面，所以自由电子的费米面是个球面 空间，自由电子的等能面是球面， *但是在晶体中，电子要受到周期性势场的微扰作用，因此其费米面在 但是在晶体中， 但是在晶体中 电子要受到周期性势场的微扰作用， 布里渊区的边界处发生了畸变
(a)扩展区图： (a)扩展区图：在不同的布里渊区画 扩展区图 出不同的能带。 出不同的能带。 (b)周期区图：在每一个布里渊区中周期 b)周期区图： 周期区图 性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的 (b) 性地画出所有能带(强调任一特定波矢 的 能量可以用和它相差K 的波矢来描述) 能量可以用和它相差 h的波矢来描述)。 (c) (c)简约区图：将不同能带平移适当的 c)简约区图： 简约区图 倒格矢进入到第一布里渊区内表示( 倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在 简约布里渊区内画出所有的能带) 简约布里渊区内画出所有的能带)。 能带理论（ 是讨论晶体（包括金属、 能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体 和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。 和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
d hlk
5
固体物理 固体物理
布里渊区(Brillouin 2. 布里渊区(Brillouin zone) 基本概念
定义：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒 定义：在倒易点阵中，取任意格点为原点， 格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、 格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、围绕着 原点的最小区域称为F.B.Z(第一布里渊区 。 第一布里渊区)。 原点的最小区域称为 第一布里渊区 说明：并不是原点 说明： 仅到最近邻的倒格 点的倒格矢的中垂 面所围成的区域叫 F.B.Z
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固体物理 固体物理
5. 衍射条件在布里渊区诠释
只有从原点到布里渊区的边界的矢量K 才能满足衍射条件。 只有从原点到布里渊区的边界的矢量 h才能满足衍射条件。
证明：如右图所示， 为原点， 点为倒易空间任意格点 点为倒易空间任意格点， 证明：如右图所示，以O为原点，D点为倒易空间任意格点，其对应 为原点 点坐标为(h,l,k)) 倒格矢为 G =hb +lb2 +kb3 (即D点坐标为 即 点坐标为 D 1 为原点O出发并终止于 垂直平分面的任意向量。 出发并终止于OD垂直平分面的任意向量 垂直平分面的任意向量。 波失 k 为原点 出发并终止于
则有 k = 2π
λ
, G =
2π ，根据勾股定理有： d hlk
D
GD
2 k sin θ = G ，代入上式，整理可得 ： 2 d hlk sin θ = λ 此即布拉格方程。 同理，对应倒格点 C 点也有此性质 对应波长为 λ ，衍射角 2θ ，衍射晶面指数 hlk
θ
k1
k
O
GC
C
一般用向量方 程来表示布里 渊区此项性质
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固体物理 固体物理
9.MS计算能带实例图 计算能带实例图
半导体SnO2的晶体结构和布里渊区图 半导体
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固体物理 固体物理
25 20 15 10
Energy/eV
5 0 -5 -10 -15 -20
Γ
Z
F
Q
Γ
SnO2的能带结构图，其带隙 的能带结构图， 的大小为2.4eV 的大小为
20
固体物理 固体物理
有了倒格子基矢，可 构成倒格矢。 Kh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子也具有周期性， 其中h1 h2 h3为任意整 数，由倒格矢Kh确定 的空间叫倒格子空间 倒格子空间。 倒格子空间
4
固体物理 固体物理
倒格子和正格子的关系
(1)正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 π)3 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 (2)倒格失 h=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族 倒格失K 倒格失 正交,正格子中一族晶面转化成了倒格 （h1h2h3）正交 正格子中一族晶面转化成了倒格 子中的一个倒格点。 (3)倒格失 h的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成 倒格失K 倒格失 的模与晶面族（ 2π 反比 K =
E4
E3
E2
不连续，能量的突 不连续， 禁 变为： Eg = E+ − E− = 2 U n 允许带带 变为：
允许带
E1
称为能隙，即禁带宽度， 称为能隙，即禁带宽度， 这是周期场作用的结果
15
−
3π −2π π O − a a a
π a
2π 3π a a
k
扩展区图
固体物理 固体物理
7.3布里渊区能带的三种图像表示方法
2
固体物理 固体物理
1.倒易空间
一. 倒格子 （先在基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 定义： 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j ai · bj = 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
固体物理 固体物理
例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝c (A) 其中 为正格子初基元胞体积，同时，由定义 2π a1·b1＝2π , c = （B） Ω 比较（A）,（B）式得 2π b1＝ （a2×a3） Ω 2π 2π 类似可得 b2＝ Ω 3×a1） b3＝ (a1×a2) （a Ω
作二维一、 作二维一、二、三和四价原子正方格子费米面
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固体物理 固体物理
• 由于晶格的周期性，通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片到第一布里渊区，按不 同能带作费米面
Cu的费米面 金属中电子为自由电子，费米面在低温时能较好地解释金属的许多特 性。半导体、绝缘体用价带、导带以及费米能级的关系来确定。
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固体物理 固体物理
4.布里渊区的几何性质 布里渊区的几何性质
倒易空间内的B.Z会无重叠的填满整个波矢空间， 会无重叠的填满整个波矢空间， 倒易空间内的 会无重叠的填满整个波矢空间 并随格点做周期型排列
证明： 证明：如右图所示 O2 d 2 D点为空间内任意一点，O1点为距 点为空间内任意一点， 点为空间内任意一点 点最近的倒格点， 离D点最近的倒格点，O2点为其它 点最近的倒格点 D 任意一倒格点， 任意一倒格点，则d1≦d2. O1 d 1 当d1<d2时，D∈O1的F.B.Z ∈ d1=d2时，D在B.Z边界上 在 边界上 所以D点不能同时在两个倒格点的 所以 点不能同时在两个倒格点的 布里渊区内 F.B.Z就是原胞的一种划分方式，又被称为倒易点阵的维格纳－赛茨 就是原胞的一种划分方式， 就是原胞的一种划分方式 又被称为倒易点阵的维格纳－ 原胞。 原胞。 事实上各级B.Z的体积均相等，都等于倒格子原胞。 的体积均相等，都等于倒格子原胞。 事实上各级 的体积均相等