广告费用与销售价格调整程序设计

数学建模课程设计（程序设计和论文）

题目 1对函数进行麦克劳林展开及误差分析 2 无变位油罐中油量确定及误差分析 3评卷成绩调整程序设计

4 广告费用与销售价格调整程序设计

班级

学号

学生姓名

指导教师

沈阳航空航天大学

课 程 设 计 任 务 书

课 程 名 称 数学建模实践 院（系） 理学院 专业 信息与计算科学 班级 学号 姓名

课程设计题目 1 对函数进行麦克劳林展开及误差分析 2 无变位油罐中油量确定及误差分析 3 评卷成绩调整程序设计 4 广告费用与销售价格的调整程序设计 课程设计时间: 2011 年 6 月 27 日至 2011 年 7 月 15 日 课程设计的内容及要求：

[内容]

1．（1）求函数)(11ln )(x T n x

x

x f n 阶麦克劳林多项式的+-=

（2）编写对任意固定的n 计算多项式)(x T n 函数值的函数M 文件

（3）任取n ，在同一平面内画出函数]3

2,32[),()()(),(),(-∈-=x x T x f x E x T x f n n n 的图形，并进行比较。

2．无变位油罐中油量确定

设油罐中油量V 与高度h 的关系是

()(12)[arcsin ]2

h b V h ab L L b π

-=+

其中，,2/2.1,2/78.1==b a 05.22,4.01==L L

（1）编写计算体积V(h)的函数M 文件fv ；

（2）根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V (h )与实验数据之间的误差WC(h )，并用多项式拟合确定函数WC(h )表达式。

（3）用误差WC(h )调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。

3．评卷成绩调整程序设计

设m 个专家分别对n 名学生的试卷进行评阅，设ij x 表示教师j 对学生i 的试卷所给定的成绩，这样形成成绩矩阵()ij n m X x ?=。由于各专家的评分标准不一致，因此需要对成绩进行一致性调整，具体方法如下：

设x 和s 分别表示整体成绩X 的平均成绩和标准差，j x j 和s 是教师j 的平均成绩和标准差，即X 第j 列数据的平均值和标准差。调整后的成绩为 ()/j j ij ij y x x s s x =-?+

形成调整后的成绩矩阵Y ，则i Y i Y 的第行的平均值i y 就是第i 个学生的最后综合成绩。而

12(,,

,)T n y y y y =是综合成绩向量，依此确定学生获奖情况。

（1）编写函数M 文件，收入成绩矩阵()ij n m X x ?=，输出是综合成绩向量y 。 （2）根据下表是成绩数据

用上述方法计算综合成绩向量y ，并由此确定1个特等奖，1个一等奖，2个二等奖；3个三等奖。

4. 广告模型

某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。李经理认

为，随彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表2）。他问王经理广告有多大的效应。王经理说“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投资3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系有表3。”

表2 售价与预期销售量

表3 广告费与销售增长因子

问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大？

[要求]

1、学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；

2、严格遵守上机时间安排；

3、按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；

4、根据任务来完成数学建模论文；

5、报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规

范”；

7、报告上交时间：课程设计结时上交报告。

8、严谨抄袭行为。

指导教师年月日

负责教师年月日

学生签字年月日

沈阳航空航天大学

课程设计成绩评定单

课程名称数学建模实践

院（系）理学院专业信息与计算科学

课程设计题目1 对函数进行麦克劳林展开及误差分析

2 无变位油罐中油量确定及误差分析

3 评卷成绩调整程序设计

4 广告费用与销售价格的调整程序设计

学号2009041401002 姓名郭婧

指导教师评语：

课程设计成绩

指导教师签字

年月日

目录

目录 .......................................................................................................................... I V 摘要 . 0

正文 (2)

1 题目一 (2)

1.1 问题重述 (2)

1.2 问题求解 (2)

1.3 题目结果 (3)

2 题目二 (4)

2.1 问题重述 (4)

2.2 问题求解 (5)

2.3 题目结果 (9)

3 题目三 (15)

3.1 问题重述 (15)

3.2 问题求解 (16)

3.3 题目结果 (19)

4 题目四 (20)

4.1 问题重述 (20)

4.2 问题求解 (21)

4.3 题目结果 (23)

参考文献 (25)

源程序 (26)

摘 要

在本次课程设计中，我的课程设计题目是四道题。第一道题目里的第一个问号是用Matlab 编写函数)(11ln

)(x T n x

x

x f n 阶麦克劳林多项式的+-=，根据人为设定的n ，函数)(x f 可以任意展开，并且在Matlab 运行界面显示的是展开的多项式。第二个问号里

要求在任意设定的n 阶下，带入自变量的值，然后求出)(x f 的麦克劳林展式的函数值。第三个问号里要求我们通过画图对)(x f 的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及)()(x Tn x f -作比较。在题中已经给定画图区间，在这个区间内画出图形，进行比较。

第二道题目中，给出了一个Excel 表格，里面有无变位进油量表和无变量出油量表。我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的，题中就把这种关

系式给了我们，()(12)[arcsin ]2h b V h ab L L b π

-=+10*，式中的一

些参量已经给出，编写这个式子的程序即可。带入不同的高度可以输出不同的体积。接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据，计算公式V (h )与实验数据之间的误差WC(h )。我们可以先把体积数据保存在Matlab 中，然后用表中已经给了的高度带入V (h )，这时可以求出一系列的体积，然后与真实值进行作差，得到的数据即为误差。再次用多项式拟合确定误差函数WC(h )表达式。最后，用误差函数WC(h )调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。

第三道题目是评卷成绩调整程序设计，题目中给出了一些学生的由不同专家给出的阅卷成绩。要求先求出每一个学生由不同专家给出的成绩的平均值x ，然后求出标准差s 。再求出第j 个专家给出成绩的平均值j x ，然后求出标准差j s 。调整后的成绩为()/j j ij ij y x x s s x =-?+。形成调整后的成绩矩阵Y ，则i Y i Y 的第行的平均值i y 就是第i 个学生的最后综合成绩。而12(,,

,)T n y y y y =是综合成绩向量，依此确定学生获

奖情况。由此最后求出的列向量确定1名特等奖，1名一等奖，2名二等奖；3名三等奖。

第四题是一个广告模型，某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供

日后销售。为了可以很快的收益并且收回大量的资金，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。李经理认为，随彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表格2，随着销售价格的增加，销售量下降。他问王经理广告有多大的效应。王经理说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。通过表格3可知，随着广告费用的升高，销售因子先上升后下降。问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大。

关键词：拟合函数；误差分析；调整矩阵；利益最大化

正文

1 题目一

1.1 问题重述

第一个问号是用Matlab 编写函数)(11ln

)(x T n x

x

x f n 阶麦克劳林多项式的+-=，

根据人为设定的n ，函数)(x f 可以任意展开，并且在Matlab 运行界面显示的是展开的多项式。第二个问号里要求在任意设定的n 阶下，带入自变量的值，然后求出)(x f 的麦克劳林展式的函数值。第三个问号里要求我们通过画图对)(x f 的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及)()(x Tn x f -作比较。在题中已经给定画图区间，在这个区间内画出图形，进行比较。

1.2 问题求解

（1）根据数学分析课程中学到的麦克劳林展开的定义，可知

）（x +1ln =n

n n x n ∑∞

=--0

1)1( （11≤<-x ） （1）

n

n n x n x ∑∞

=--=-0

12)1()1ln( （11<≤-x ） （2）

)1ln()1ln(11ln

x x x

x

+--=+- （11<<-x ） （3） 有了公式（1）（2）（3）就可以对)(x f 编程进行麦克劳林展开，把）（x +1ln 、)1ln(x -用Matlab 语言进行编辑，然后作差即得)(x f 得麦克劳林展式。

（2）再上一个问号中已经把麦克劳林展式求出来，在第二个程序中只需把任意自变量值代入求函数值。把Matlab 中M 文件的函数名由function Tx=myfun1(n)改为function Tx=myfun2(x,n)，输入任意的x 和n 就可以求出任意阶展式的任意函数值。

（3）第三个问号是画图比较，x 的区间已经给出]32

,32[-∈x ，)(x f 用plot 命令可以直

接画出图形调用格式为a(k)=log((1-x(k))/(1+x(k))); plot(x,a,'*')。画用麦克劳林展开的

式子调用格式为Tn(k)=myfun2(x(k),n); plot(x,Tn,'*')。画)()(x Tn x f -图形的调用格式为y(k)=a(k)-Tn(k); plot(x,y,'*')。为了更直观的观察图形之间的关系和差距，最后把三个图形画到同一个图形中，可以用subplot(m,n,p)命令把四个画到同一图中，分为四个小子图，m ，n 为画几乘几的子图，p 为第几个图。

1.3 题目结果

（1）第一个问号的运行结果，n=10时的x

x

x f +-=11ln

)(的麦克劳林展式。

图1.3.1

（2）第一个问号运行结果，x=10，n=2时x

x

x f +-=11ln

)(的麦克劳林展式的函数值。

图1.3.2

（3）第三个问号运行结果，取n=1时的)(x f 、麦克劳林展开式、)()(x Tn x f -以及同时在一个图形时的图形。

图1.3.3

2 题目二

2.1 问题重述

第二道题目中，给出了一个Excel 表格，里面有无变位进油量表和无变量出油量表。我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的，题中就把这种V 与

h

的

大

致

关

系

式

给

了

我

们

：

22

()()(12)[arcsin 1]2h b h b h b V h ab L L b b b π

---=+-10*，式中的一些参量已经给出，a=17.8/2、b=12/2、L1=0.4、L2=2.05，编写这个式子的程序即可。带入不同的高度可以输出不同的体积。接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据，计算公式V (h )与实验数据之间的误差WC(h )。我们可以先把体积数据保存在Matlab 中，然后用表中已经给了的高度带入V (h )，这时可以求出一系列的体积，然后

与真实值进行作差，得到的数据即为误差。再次用多项式拟合确定误差函数WC(h )表达式。最后，用误差函数WC(h )调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。

2.2 问题求解

（

1

）

第

一

个

问

号

中

要

求

编

辑

计

算

体

积

的

公

式

()(12)[arcsin ]2h b V h ab L L b π

-=++10*的函数M 文件。根据题目中给出的a 、b 、L1、L2的值以及公式V (h )进行编辑。程序为：

function Vh=myfun4(h) a=17.8/2; b=12/2; L1=0.4; L2=2.05;

Vh=a*b*(L1+L2)*[asin((h-b)/b)+((h-b)/b)*sqrt(1-(h-b)^2/b^2)+pi/2]*10;

（2）要求根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V (h )与实验数据之间的误差WC(h )，并用多项式进行拟合。

误差值=|真实值-公式求解的函数值| （4）

所以我用以下M 文件进行求解误差，此M 文件可以求解每一个进油高度所对应的误差。

function myfun5(X1,X2) for l=1:length(X1) a=17.8/2; b=12/2; L1=0.4; L2=2.05;

Vh(l)=a*b*(L1+L2)*[asin((X1(l)-b)/b)+((X1(l)-b)/b)*sqrt(1-(X1(l)-b)^2/b^2)+pi/2]*10; a(l)=abs(X2(l)+262-Vh(l)); disp(a(l)) end

根据高度和误差进行曲线拟合，拟合命令为： x=X1’;

y=Y’;

plot(x,y,’*’)

polyfit(x,y,n)

hold on

fplot(‘fx’,[0,12],’r’)

我分别对曲线进行了二次，三次，四次，五次拟合，得到以下拟合曲线：二次拟合曲线：

图2.2.1

三次拟合曲线：

图2.2.2

四次拟合曲线：

图2.2.3

五次拟合曲线：

图2.2.4

由以上曲线拟合可知：进行三次和四次多项式拟合的曲线较好，更贴合原图。

（3）用误差WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。把编辑的M文件的求误差的语句中的绝对值去掉后，误差都为负值，所以应在V(h)后减去WC(h)，所以，调整后的V(h)= V(h)-WC(h)。分别用三次多项和四次多项式进行求解误差。

2.3 题目结果

（1）h取10分米时的结果：

图2.3.1（2）求解的误差值：

图2.3.2

图2.3.3

三次拟合出来的曲线为：WC(h)= -0.084*3x+1.5065*2x+5.8216*x-1.7108

四次拟合出来的曲线为：WC(h)= -0.0025*4x-0.0167*3x+0.8876*2x+8.0826*x-4.3828

（3）用三次多项式拟合出的WC(h)调整的结果：

图2.3.4

用三次多项式拟合出的WC(h)图形：

图2.3.5