人教版八年级数学下册181勾股定理电子书
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人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册课件勾股定理_ppt
c
a
对于任意的直角三角形，上述结论是否依然成立？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
运用勾股定理时应该注意什么？
1 八年级下册第十七章第一节
2
S = 4× ab + c 这个图案公元 3 世纪我大国正汉方代形的赵爽在注解《周髀算经》时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”．
2 同学们，你能用你手上的这四个全等的直角三角形拼成一个正方形吗？一起拼一拼吧。
八年级下册第十七章第一节
勾股定理
毕达哥拉斯
公 元 前 5 7 2 - - 前 4 9 2 年 ), 古 希腊著名的哲学家、数学家、
天文学家。
勾股定理
相 传 2500 年 前 ， 一 次 ， 毕 达 哥 拉 斯 去 朋友家作客．在宴席上他看着朋友家的方 砖地面发起呆来．主人觉得非常奇怪，就 想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大 悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.后 来知道是因为他从中发现了直角三角形三 边的数量关系，赶着回家证明去了。
证法2：
勾股定理
s 大正方形= c 2
s
大
正
方
形
=
4
×
1a 2
b
+
（
b
-
a
）
2
=2ab+b2-2ab+b2
=a2+b2
∵ s大正方形=s大正方形 ∴ c 2= a 2+ b 2
a cb
b－a
这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在 注解《周髀算经》时就 已经，(公大元笑前着57跑2-回-前家4去92了年. ),古希腊著名的2 哲学家、数学家、天文学家。
2
∴(a + b) = 4× ab + c 那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么？
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
初中数学 人教版八年级下册 17.1勾股定理 课件
A 解：设这个三角形为ABC，
高为AD，设BD为X，则
AB为（16-X）， 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
8 B XD C
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
3、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝
３,则BC的长为
B 4
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2b2c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
1.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
16
x
20
82+x2=172
162+x2=202
x 172 82 15 x 202 162 12
x 12
52+122=x2 x 52 122 13
2.图中已知数据表示面积，求表示边的未知 数x、y的值.
9 16
144 169
①
②
3.已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
第十七章 勾股定理
17-1 课时1 勾股定理 课时2 勾股定理的应用
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探 索过程。
运用勾股定理进行计算和解决有关问题。
勾股定理（课时1）
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。 你能发现A、B、C面积之间有什么 数量关系吗？
高为AD，设BD为X，则
AB为（16-X）， 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
8 B XD C
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
3、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝
３,则BC的长为
B 4
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2b2c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
1.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
16
x
20
82+x2=172
162+x2=202
x 172 82 15 x 202 162 12
x 12
52+122=x2 x 52 122 13
2.图中已知数据表示面积，求表示边的未知 数x、y的值.
9 16
144 169
①
②
3.已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
第十七章 勾股定理
17-1 课时1 勾股定理 课时2 勾股定理的应用
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探 索过程。
运用勾股定理进行计算和解决有关问题。
勾股定理（课时1）
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。 你能发现A、B、C面积之间有什么 数量关系吗？
人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)
图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是
人教版八年级下册17.1 勾股定理(共36张PPT)
探索勾股定理
畅所欲言:
1、你听说过勾股定理吗？ 2、说说你所知道的勾股定理知识
……
勾股定理知识知多点…
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年
前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
c
那么
a2b2c2
b
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾股定理的发现
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋 友家用砖铺成的地面中反映了 直角三角形的某种数量关系。
SA+SB=SC
AB C
探索活动一：
C A
B 图甲
1对.观于察任图意甲的，等小腰方直格 的 角边三长角为形1都. 有这样 ⑵⑴ 的正性方质形吗A、？B自、己C的在 方面格积本有各探什为索么多…关少C 系？？
风 廉 政 建 设 和廉洁 从政方 面的工 作述职 汇报如 下: 一 、 加 强 学 习,牢固 筑起拒 腐防变 的思想 道德防 线 一 年 来 ,我 根 据区委 、区纪 委制定 的党风 廉政建 设工作 规划,作 好学习 计划,努 力把 加 强 自 身 党 风廉政 建设与 其他业 务工作 紧密结 合,一起 落实,一 起促进。我不仅积极 参 加 区 政 府 办班子 的党纪 政纪学 习,而且 还挤出 时间自 学党风 廉政建 设责任 制的有 关 规定 ,特 别是结 合先进 性教育 活动 ,加 强学习 了《党 章》、 《建立 健全教 育、制 度、 监 督 并 重 的 惩治和 预防腐 败体系 实施纲 要》、 《“三个 代表” 重要思想反腐倡廉理 论 学 习 纲 要 》、《 党员权 利保障 条例》 、《国 共产党 纪律处 分条例 》、《 国共产 党 党 内 监 督 条例(试 行)》 、《国 共产党 领导干 部廉洁 从政若 干准则 (试行)》
畅所欲言:
1、你听说过勾股定理吗？ 2、说说你所知道的勾股定理知识
……
勾股定理知识知多点…
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年
前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
c
那么
a2b2c2
b
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾股定理的发现
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋 友家用砖铺成的地面中反映了 直角三角形的某种数量关系。
SA+SB=SC
AB C
探索活动一：
C A
B 图甲
1对.观于察任图意甲的，等小腰方直格 的 角边三长角为形1都. 有这样 ⑵⑴ 的正性方质形吗A、？B自、己C的在 方面格积本有各探什为索么多…关少C 系？？
风 廉 政 建 设 和廉洁 从政方 面的工 作述职 汇报如 下: 一 、 加 强 学 习,牢固 筑起拒 腐防变 的思想 道德防 线 一 年 来 ,我 根 据区委 、区纪 委制定 的党风 廉政建 设工作 规划,作 好学习 计划,努 力把 加 强 自 身 党 风廉政 建设与 其他业 务工作 紧密结 合,一起 落实,一 起促进。我不仅积极 参 加 区 政 府 办班子 的党纪 政纪学 习,而且 还挤出 时间自 学党风 廉政建 设责任 制的有 关 规定 ,特 别是结 合先进 性教育 活动 ,加 强学习 了《党 章》、 《建立 健全教 育、制 度、 监 督 并 重 的 惩治和 预防腐 败体系 实施纲 要》、 《“三个 代表” 重要思想反腐倡廉理 论 学 习 纲 要 》、《 党员权 利保障 条例》 、《国 共产党 纪律处 分条例 》、《 国共产 党 党 内 监 督 条例(试 行)》 、《国 共产党 领导干 部廉洁 从政若 干准则 (试行)》
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题