1.3三角函数的诱导公式教案

1.3.1三角函数的诱导公式（一）

一、教学目标：

1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：

重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法与教学用具： （1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； （2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程：

创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？

我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2

[ππ

内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想

研探新知

1. 诱导公式的推导

由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：

)

(tan )2tan()(cos )2cos()

(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+α

πααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。 【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成

︒=+︒80sin )280sin(πk ，3

cos

)3603

cos(

π

π

=︒⋅+k 是不对的

【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2

,

0[π

角呢？

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？

若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：

α

αααα

αtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）

特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有

α

απααπα

απtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）

特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有

α

απααπα

απtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； 【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。 2、例题分析：

例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6

π

-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内

角的三角函数的值。

解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）

sin(18060)sin 60=+=-（诱导公式二）

=． （2）4343cos()cos

66ππ

-=（诱导公式三） 77cos(6)cos

66

ππ

π=+=（诱导公式一） cos()cos 66ππ

π=+=-（诱导公式二）

2

=-．

方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化为)0,360

⎡⎣内的三角函数；

③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2 化简23

cot cos()sin (3)

tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--． 解：原式23

cot (cos )sin ()

tan cos ()

ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-

23cot (cos )sin tan (cos )

ααααα⋅-⋅=⋅-

2222

cos sin 1sin cos αααα

=⋅=． 3 课堂练习：

（1）．若)cos()2

sin(απαπ

-=+，则α的取值集合为

（ ）

A ．}4

2|{Z k k ∈+=ππαα

B ．}4

2|{Z k k ∈-=π

παα

C ．}|{Z k k ∈=παα

D ．}2

|{Z k k ∈+=π

παα

（2）．已知,)15

14

tan(a =-

π那么=︒1992sin

（ ）

A ．

2

1||a

a + B ．

2

1a

a +

C ．2

1a

a +-

D ．2

11a

+-

（3）．设角则,635πα-

=)

(cos )sin(sin 1)cos(

)cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）

A ．

33

B ．－

3

3 C ．3 D ．－3 （4）．当Z k ∈时，]

)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为

（ ）

A ．－1

B ．1

C ．±1

D ．与α取值有关

（5）．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且

,5)2000(=f

那么=)2004(f A ．1 B ．3 C ．5

D ．7 （ ）

（6）．已知,0cos 3sin =+αα则=+-α

αα

αcos sin cos sin .

4、课堂练习答案：