大学物理第二章质点动力学

在弹性限度内 f = k x —胡克定律 k 叫劲度系数
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的 一对阻碍相对运动的力,叫做摩擦 力。它们大小相等，方向相反， 分别作用在两个物体上。
f
N
v
f
•静摩擦力: 大小介于0 和最大静力摩擦力 fS 之间， 视外力的大小而定。 •最大静摩擦力： •滑动摩擦力: f S =S N f k =k N
在自然坐标系中：
dv Ft m at m dt 2 Fn m an m v
1、恒力作用的情况
这类情况中常有多个有关联的物体一起运动。 •解题步骤如下： •分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。 •分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立 坐标系。 •写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间 的关系式。 •解方程组，并对计算结果作简短讨论。
第二章
质点动力学
2-1
动量与牛顿运动定律
一．牛顿第一定律、惯性系
牛顿第一定律：“任何物体都要保持其静止或匀 速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这 种状态为止”。 第一定律首先表明，物体都有保持运动状态不 变的特性，这种特性称为物体的惯性。
第一定律还表明，要使物体的运动状态发生变化， 一定要有其他物体对它的作用，这种作用称为力。 第一定律还定义了一种特殊的参考系——惯性系。 只有在惯性系中，不受外力作用的物体才会保持静止 或匀速直线运动状态不变，而惯性定律在其中不成立 的参考系称为非惯性系
2
y

N
A
x mg
相除得
dy tg x g dx
2
O
或
dy xdx g
2
y
A
x mg
N
积分得
2 y x 2g
2
O
说明曲杆的形状为一抛物线。
2、变力作用的情形
当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化 的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法 求解。 例4、质量为m 的物体，从高空由静止开始下落， 设它受到的空气阻力 f = kv ，k 为常数，求物体下 落的速度和路程随时间的变化。 O 解：取y 轴竖直向下为正，设物体由原 点开始下落到 y 处时，速度为 v，受重 力和阻力作用，其运动微分方程为： y
二、国际单位制
基本单位和由它们组成的导出单位构成一套单位 制。如果选取不同的基本单位，就产生了不同的单位 制。1980年11届国际计量大会通过的单位制叫国际单 位制，简称SI。
国际单位制的七个基本量及基本单位：
长度 L－米(m) 质量 M－千克(kg) 物质的量－摩尔(mol) 发光强度－坎得拉 (cd) 时间 T－秒(s) 电流－安培(A) 热力学温度－开尔文(K)
关于牛顿第二定律，应当明确以下几点：
（1）第二定律和第一定律一样只适用于惯性参照系。 （2）第二定律给出了力与加速度之间的瞬时关系。 即F与a同时产生，同时变化，同时消失。 （3）第二定律概括了力的独立性原理或力的叠加原 理：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度 等于每个力单独作用时所产生的加速度的矢量和。 （4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
在力学中仅用到L、T、M 这三个基本量。
千克是质量单位，等于保存在巴 黎国际计量局中的国际千克原器的 质量。（第1和第3届国际计量大会， 1889年，1901年） 国际千克原器 1967年第13届国际计量大会规定时间单位用 铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对应的辐射 的频率为：=9192631770 Hz 1秒=上述跃迁谱线周期的9192631770倍 并依此规定制作出了铯原子钟。
求出：
m g sin cos ( M m) g sin a1 , a 2 M m sin M m sin2 Mg sin cos ( M m) g sin2 a2 x , a2 y 2 M m sin M m sin2 m Mgcos ( m M )Mg N2 , N1 2 2 M m sin M m sin
F21 F 12
第三定律主要表明以下几点：
（ 1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。 （ 2）作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个 不同物体上，各产生其效果，不能相互抵消。
（3）作用力和反作用力是同一性质的力。
F a1 1 g 1.63m / s 2 m1 m2 f 2 m2 a2 3.26N 2 N 2 4.9 N
例2、如图，质量为M 的斜面 放在水平面上，斜面上另一质 量为m 的滑块沿斜面滑下，若 所有的表面都是光滑的，求二 者的加速度和相互作用力。
m M
解：选地面为惯性系，对二者受力分析和运动分析 如图，注意 m 相对地面的加速度为 a2
a1
N2

N1
N2
a1
mg
Mg
a2

a
建立坐标系x 轴水平向左，y 轴竖直向上。列出有关 运动方程
N 2 sin Ma1 , N1 N 2 cos Mg 0 N 2 sin m(a1 a cos), N 2 cos mg ma sin
2
积分

v
v0
dv k t dt 2 v m 0
m v0 得 v m kv0t
（2）运动方程改写成
பைடு நூலகம்
dv dv k kv mv 或 dx dx v m
2
积分
dv k x 1 k v m 0 dx 得 l n 2 m x m 或 x l n2 k
v
f
dv mg kv m dt
y
mg
分离变量并作定积分，有

v
0
mg 其中 vT k
dv k t dt v vT m 0
为下落的收尾速度。求出：
k t m
v vT (1 e
再次积分得
)
k t m
y vT (1 e
0
t
k t m
m )dt vT t vT (e k
•常见的惯性系：研究地面附近物体运动时可选地球 为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选太阳为惯 性系；研究天体运动时，可选多个恒星或星系参考 系为惯性系。
不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离 的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系 间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。 •相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也 都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体 则不是惯性系。
•重力：地面附近的物体由于地球的吸引 而受到的力叫重力。在重力作用下，任 何物体产生的加速度都是重力加速度。 忽略地球自转的影响重力近似等于地球 的引力
mg
Mm mg G0 2 R
G0M g R2
•弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。
其表现形式有：正压力、支持力、拉力、张力、弹簧 的恢复力等。
二、动量、牛顿第二定律
1、动量
•定义：质量为m，速度为 v 的质点动量
2、牛顿第二定律
P mv
dP d F (mv ) dt dt dv 质量m不变，有 F m ma dt
物体受到外力作用时，物体的动量将发生变化， 物体所受合外力F等于物体的动量随时间的变化率。
1)
例5、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气 阻力 f = －kv2 ，若子弹出枪口时速率为 v0 ，求：（1） 子弹此后速率，（2）当 v= 0.5 v0 时，它飞行的距离。
解：（1）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气 阻力，因而运动微分方程为：
dv dv k kv m 或 2 dt dt v m
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式： 如在直角坐标系中：
2 dv x d x m 2 Fx m ax m d t d t dv y d 2y m 2 Fy m ay m dt dt 2 dv z d z m 2 Fz m az m dt dt
v0 2 v0
2－2 单位制和量纲
一、基本单位和导出单位 物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各 物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们 的单位之间也就有一定的联系。
选定少数几个物理量作为基本量，并人为地规定
它们的单位，这样的单位叫做基本单位。 其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导 出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本 单位的组合，叫导出单位。
f 2 m2 a2 , N 2 m2 g 0
代入
N1
f1 1 N1 , f 2 2 N2
a1
F
f2
N2
m1g
f1
求出
F [ 2 m2 1 ( m1 m2 )]g a1 0 m1 a2 2 g 2.45m / s 2
这显然是错误的！原因在于误认为m1与m2之间有相 对运动，而实际上此时二者相对静止，式 f 2=2N2 是错误的。去除此式并让 a1 = a2 可求出：
2 dvx d x Fx m ax m m 2 dt dt
d y Fy m ay m m 2 dt dt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
dvy
2
dv Ft ma t m dt
Fn m an m
v
2

三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用 力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反， 分别作用在两个物体上。
对给定的一对接触面，S k ，它们一般都小于1。
•流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。
•在相对速率v 较小时，阻力主要由粘滞性产生，流 体内只形成稳定的层流。此时 f =-kv
k 决定于物体的大小和形状以及流体的性质。
•在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将 与物体运动速率的平方成正比： f = - c v2 •若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。 •常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
例3 一曲杆OA绕y轴以匀角速度ω转动，曲杆上套着 一质量为m的小环，若要小环在任何位置上均可相 对曲杆静止，问曲杆的几何形状？ 解：小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动，受重力mg和 支持力N，设小环所在位置坐标为（x,y），切线倾 角为θ，则有
N sin m x N cos m g 0
四、 四种相互作用和力学中常见的力
1、自然界中的四种相互作用
自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表 中所示： 相互作用 相互作用的物体 力的强度 力 程
1 10－ 2 10－13 10－38 10－15m 无限远 10－18m 无限远
强相互作用 重子、介子 电磁相互作用 带电粒子 弱相互作用 大多数粒子 引力相互作用 一切物体
2、力学中常见的力
•万有引力: 它存在于任何两个物体之间。两个质点 间的引力方向沿二者连线，大小与两质点质量的乘积 成正比，与二者距离的平方成反比：
m1m2 f f G0 2 r
m1
f
r
f
m2
其中G 0 = 6.671011 N· m2kg ，为引力常数。 •原子核中两个相邻的质子之间的万有引力1034N • 相隔1m 的两个人之间的引力约107N。 • 在宇宙天体之间，由于天体质量巨大，引力起着 主要作用。
例1、如图，质量 m1= 1kg 的板放在地上，与地面间 摩擦系数1＝0.5 ，板上有一质量 m2= 2kg 的物体， 它与板间的摩擦系数2=0.25 。现用f =19.6 N 的力水 平拉动木板，问板和物体的加速度各是多少？ m2 F 解：本题似乎很简单，设m1 和 m1 m2 的加速度分别为a1 和a2 ，受力 分析、列方程如下： N2 a2 F f1 f 2 m1a1 f2 m2g N1 N 2 m1 g 0