关于中点的几点联想
初中数学中点问题
你口前•学习过哪些和中点有关的知识点，请写出来?知识点一、中点有关联想归类：【知识梳理】一.中点有关联想归类：1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想"三线合一”的性质；2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3. 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4. 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5. 有中点时常构造垂直平分线；6. 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7. 倍长中线。
二.与中点问题有关的四大辅助线：1•出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2. 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3. 出现三角形边上的中点，作中位线；4. 出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。
三.几何证明之辅助线构造技巧：1. 假如作一条辅助线，能起到什么作用；2. 常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。
【例题精讲】例1、(2018•广东)如图，四边形ABCD中，AB = AD=CD,以AB为直径的经过点C,连接AC, OD交于点E.(1) 证明：OD〃BC；(2) 若AC = 2BC,证明：DA与OO相切；【课堂练习】1・如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1, CE=3, H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）2. （2018-南京）如图，在"BC 中，用直尺和圆规作A3、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E,连接3. （2020-徐州）如图，在 RtA ABC 中，ZABC=90°, D 、E 、F 分别为 AB. BC 、CA 的中点，若 BF=5,则 DE4. （2019-泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则△ ABC 的重心是（） A.点DB.点EC •点FD.点GDE.若 BC=Wcm,则 DE= ___________ cm.5. （2020-苏州）如图，在MBC 中，已知AB = 2, AD1BC.垂足为D, BD = 2CD •若E 是AQ 的中 点，则EC =.6. （2020-镇江）如图，在△SBC 中，BC = 3 ,将△SBC 平移5个单位得到△力i/C — 点P 、Q 分别是43、7. （2020黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD 内接于0O ,连接BD ・若AC = BC , Z3DC = 50。
专题22 关于中点的联想_答案
专题22 关于中点的联想例1 、6例2 B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =? 例3 提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE =例4 （1）四边形EFGH 为菱形；（2）成立，连AD ，BC ，由APD D ≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =， 12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边 形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5 证明：延长BD 至P ，使DP DB =，延长CE 至Q ，使EQ EC =，连AP ，AQ ，PC A B A P =，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D ≌APC D ，有PC BQ =，又 MD ，ME 分别是BPC D 与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故 MD ME =例6 （1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ， CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形 （1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm 5.D 6.C 7.C 8.C 9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN = 10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR = 11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D ≌MDH D ，则 FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =?，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ， 1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ， 且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ， 取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ， 1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===， 在11B ME D与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。
关于中点的联想
关于中点的联想
线段的中点把线段分成相等的 两部分，是几何图形中的一个特殊 的点，图形中出现的中点，可以引 发我们丰富的联想。
例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中 点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
练习：在Rt △ABC中， ∠ACB=90 °，点E是AC的中点， 延长BC到点F，使BC=2CF，若AB=10，求EF的长。
B
D
B
D
C
C
A
E
A
E
F
F
EF=5
熟悉一下基本图形：
1、等腰三角形三线合一 2、中线倍长 3、直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线
练习： 在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB， 垂足为E，求DE：EA的值。
A E
B
D
C
DE : EA 3
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线
AD=12，求BC的长。
A
10
26
解：延长AD到E，使得DE AD
12
AD是BC边上的中线， BD CD
AB 10，AD 12， BD 102 122 2 61
BC 4 61
中线与中点联系紧密，中线倍长 是处理中线的常用手段。
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线 AD=12，求BC的长。
A
E
B
D
C
构造中点，中位线是解题的常用技巧。
练习：如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，BC边上的 中线AD=A2，求△ABC的面积。
热点突破-与中点有关的联想(初中几何证明)
.
例2题图
模型解读
遇到直角三角形斜边的中点：连中线构造斜边上的中线.
结论：出现两个等腰三角形.
变式2
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，
CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.若BC＝
10，DE＝6，则△MDE的面积为 12
变式2题图ຫໍສະໝຸດ .类型三见多个中点，联想到中位线
A.3
B.4
第4题图
C.2
B ）
D.3 ��
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC
的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是
第5题图
.
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长
是 .
第6题图
2MN＝6.∴AC＝AD＋DC＝16.
类型四
见中线
联想
倍长中线
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC的长为
（
B ）
例4题图
A.3
B.4
C.5
D.6
变式4
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC
的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，
的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝（
A.2
B.8
第1题图
C.4
A
D.1
）
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝
2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则AE
中点联想
中点联想线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．基本图形：解读：（一）遇到中点时常见的五种思路：1.遇到等腰三角形底边的中点时考虑：三线合一2.遇到直角三角形斜边的中点时考虑：斜边的中线等于斜边的一半。
3.遇到三角形一边上的中线时考虑：倍长中线4.遇到平行线所截线段的中点时考虑：类倍长中线5.多个中点考虑（或构造）：中位线（二）例题：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．2.如图, 在△ABC中,BE,CF分别为边AC，AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。
求证：D M⊥EF3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．（三）练习1.已知，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A 的直线MN//BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF。
求证：DE=DF2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．3.如图, 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，O为BC的中点。
如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保证AN=AM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
4.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，求FG的长．5. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，点E为DC的中点，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.6. 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC的中点，求证：AD与EF互相平分.7.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE 的中点.（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)（2）若AB=8,AD=6,求DF的长.8．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ∙∙（四）中考重现1.如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为；（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中做出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．2.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4..如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。
中点有关的联想
// 1 DG = M N
3．倍长类中线
（1）如图，已知在△ABC中，点D是BC 边中点，点E是AB边任意一点，连接DE．
【辅助线】延长ED至F
，使DE
=
DF
，可得△BDE≌△C DF
，BE
//
=
CF
．
（2）在平行四边形ABCD中，点E是BC 边中点，点F 是AB边任意一点，连接F E． 【辅助线】延长F 和 E DC 相交于点G，可得△BF ≌ E △C ， GE EF = ， EG BF = CG．
中点有关的联想
一、线段中点
如图，若点C 是线段AB的中点，AC
= BC
=
． 1 AB
2
二、三角形的中线
1．三角形中线的定义
三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．
如图，BD
=
C
， 即为 D AD
△ABC
的一条中线．
【拓展】三角形三条中线都在三角形内部且交于一点，交点叫做三角形的重心．
（4）角平分线+垂直出等腰三角形． 如图，OC 平分∠AOB，点D是OC 上的点，ED⊥OC交OA于点E． 【辅助线】延长ED交OB于点F ，可得△EOF 是等腰三角形．
（5）扩展直角三角形为等腰三角形．
如图：△AC B为直角三角形，∠AC B
=
∘
90
．
【辅助线】延长BC 至点D，使CD = BC，连接AD，可得△ABD是等腰三角形．
2
2
C M + F C = F M ⇒ BE + F C = F E
五、中位线
1．三角形中位线的定义
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC 的中点，连接DE，则DE即为△ABC的中位线．
中点的联想
想中位线定理，得出 FG∥BC，FE∥AC，且 AC=2FE.
在 Rt△ADC 中，G 是斜边 AC 的中点，联想到直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，由此得出 AC=2DG，从而得出 FE=DG，
图7
最终求证四边形 EFGD 是等腰梯形 .
联想四：出现“两条平行线所截得的线段的中点”时，联想“八字形”全等三角形 .
3C 37
联想二：出现“直角三角形斜边上的中点”时，联想“斜边上的中线等于斜边的一半”.
联想三：出现“三角形两边的中点”时，联想“三角形的中位线定理”.
例 如图 7，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E，F，G 分别是
BC，AB，AC 的中点，求证：四边形 EFGD 是等腰梯形 .
【分析】因为点 E，F，G 分别是 BC，AB，AC 的中点，可以由此联
学会了这六种关于中点的联想，当你再看到题目出现中点时，一定能快速找到证明的方法 .
1. 如图 a，点 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，连接 AF，CE，且两条线的交点为 G，
3C 39
图a 2. 如图 b，三角形 ABC，D 为 BC 的中点，BE⊥AF，CF⊥AF，求证：DE= DF.
图b 3. 如图 c，以△ABC 的边 AB，AC 为斜边向外作 Rt△ABD 和 Rt△ACE， 且∠ABD=∠ACE=α，点 P 是 BC 的中点，求证：DP=EP.
图c
唯美英语哲理 You never get a second chance to make a first impression. 永远没有第二次机会，给人留下第一
首先，我们先来看一道例题 . 例 如图 1，已知 E 点为中点，∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD. 【分析】要想证明 AB=CD，可以联想到两个全等三角形，但是根据题目的条件可知，△ABE 与 △CDE 并不全等，因此我们必须构造出我们需要的全等三角形 . 方法一：如图 2，延长 DE 至 F，使 DE=EF，连接 BF，通过证明△BEF≌△CED，得到 BF=CD，又 因为∠F=∠CDE=∠BAE，得到△ABF 是等腰三角形，从而得出 AB=CD. 方法二：如图 3，延长 DE 至 F，使 EF=EA，连接 CF. 这个方法与方法一类似，只不过构造的全 等三角形是△ABE 和△CFE. 方法三：如图 4，过点 C 和点 B 分别作 DE 边上的垂线，垂足为 G，F，此时△BFE 和△CGE 全 等，得到 BF=CG，又因为∠BAE=∠CDE，所以△ABF≌△DCG，从而得出 AB=CD.
专题22 关于中点的联想_答案
专题22 关于中点的联想例1 、6例2 B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =? 例3 提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE =例4 （1）四边形EFGH 为菱形； （2）成立，连AD ，BC ，由APD D≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =， 12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边 形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5 证明：延长BD 至P ，使D P D B =，延长CE 至Q ，使E Q E C =，连AP ，AQ ，PCA B A P = ，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D≌APC D ，有PC BQ =，又 MD ，ME 分别是BPC D与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故 MD ME =例6 （1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D 皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ，CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形 （1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对 角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm 5.D 6.C 7.C 8.C 9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN = 10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR = 11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D≌MDH D ，则 FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =?，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ， 1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ， 且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ， 取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ， 1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===， 在11B ME D 与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。
中点的妙用(没有相似,适合初二下学期学完平行四边形作总结练习)
中点的妙用班别：______姓名：__________学号：_______联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好地解决问题。
那么看到“中点”，你会想到什么呢？ 1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（特别是八字模型）5、有中点时，常联想“中垂线”；6、有中点时，常联想“面积相等”；7、重要方法：倍长中线。
8、中点三角形性质：已知D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，那么（1）△ABC 和△DEF 的边长关系是___________________；（2）△ABC 和△DEF 的周长关系是___________________； （3）△ABC 和△DEF 的面积关系是___________________； （4）图中有_____个三角形彼此全等；图中有______个平行四边形. 9B例1：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，O 是BC 的中点，如果在AB 和AC 上分别有一个动点M 、N 在移动，且在移动时保持AN=BM ，请你判断△OMN 的形状，并说明理由．练习：如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）.A ．B ．C ．D ．例2：如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、N 分别是边BD 、AC 的中点． （1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AC=8cm ，BD=10cm 时，求MN 的长．练习：如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，DF ⊥CE 于点M ．说明：AM=AD ．例3：已知：△ABC 中，AD 是BC 中线，E 、F 分别是AB 、AC 中点.求证：AD 、EF 互相平分.例4：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：四边形EFGH 是菱形.6595125165练习1：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．练习2：如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC上的点，且BD=EC，连接DC、BE，并分别取中点N、M，连接MN并延长交AB、AC于点F、G，求证：AF=AG.例5：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC. 练习：△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。
中点四大用法
中点四大用法
以下是 6 条关于“中点四大用法”的内容：
1. 中点可以用来找平衡呀！就像走钢丝的时候，中点就是那根让你保持稳定的杆子。
比如你在分食物给小伙伴们的时候，找到中点，不就可以分得很公平啦！大家都开心，多好啊！
2. 中点也是划分区域的好帮手呢！嘿，你想想，要是把一个房间从中间分开，多清楚呀！像我们画地图一样，找到中点，就能把不同的地方区分开来，这不是很厉害吗，对吧？就好比把操场分成两半，一半踢足球，一半打篮球，多有序呀！
3. 中点还能帮助我们做对称呢！哇哦，对称可是很美的哦。
比如折一只纸鹤，找到中点对折，就能得到完美的对称形状。
你看那蝴蝶的翅膀，不也是以身体中间为点，两边对称多漂亮呀！咱做手工的时候不就经常用这个方法嘛！
4. 中点在测量的时候也超有用的呀！哎呀呀，你说量一条绳子的长度，从中间开始不就容易多了嘛。
就像我们量身高，找到中点做个标记，再往上往下量，多准确呀！难道不是吗？这方法多简单又好用！
5. 中点在解决问题的时候也能派上大用场嘞！比如说，两个人争论一个东西怎么分，找到中点不就解决啦。
就好像分一块蛋糕，从中间切开，一人一半，矛盾不就没啦！这种时候中点就是那个能让一切变得公平合理的关键呀，可不是嘛！
6. 中点有时候还是个重要的标志呢！哈哈，你想啊，比赛的时候中间那个点，多醒目呀！像跑道中间的线，那就是我们要努力奔过去的目标呀！我们生活中有时候也需要一个中点来作为目标呀，难道不是吗？这样我们才有前进的动力呀！
总之，中点的用法真的好多呀，我们可得好好利用起来！。
中点问题六大模型
模型三 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”性质
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
例3题图
模型分析
模型四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，考虑垂直平分线的性质
当三角形一边的垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到（如图）： BE＝CE.
......
针对训练
1.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的 中点，若BD＝16，则EF的长为_____8___．
2. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆O于点D、E，且E为 BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
2
例1题图
模型分析
模型二 已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AD＝BD＝1 AB，来证明线段间的数量关系，
2
而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD
模型二 已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
倍长线段构造全等．
......
模型分析
模型一 见三角形一边的中点，联想三角形中位线
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质可得：
DE∥BC，且
DE＝
1 2
BC
，△ADE∽△ABC.
模型一 见三角形一边的中点，联想三角形中位线
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5 ，BC＝3，点D、E分别是AB、AC 的中点，延长BC至点F，使 CF＝1 BC，连接DF、EF，则EF的长为____1_4___．
关于中点的几点联想
关于中点的几点联想一、与中点有关的知识点：1、 2、 3、二、由中点产生的联想：三、例题：（1）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AD 、BE 相交于点F ，且BF=AC 。
求证：EA=EF 。
（2）如图，在梯形ABCD 中，E 为CD 中点，EF 垂直AB 于F ，且AB=6，EF=8，求梯形的面积。
（3）如图，△ABC 中，BD ⊥AC,CE ⊥AB,M 为BC 中点，且MN ⊥ED,求证：N 为ED 中点。
BCB CM4．如图24-1，已知点D 在AC 上，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形.图24-1（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒45，如图24-2，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.图24-2（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒135，如图24-3，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？ 请说明理由.图24-35．在□ABCD 中，(4)．已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，BE=EF ，∠BEF=90︒，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，联结EG 、CG.（1）探索EG 、CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45︒，再联结DF ，取DF 中点G （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结DF ，取DF 的中点G （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.图1 图2 图3（第25题图）如图：正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共的顶点A ，连接BG, DE, M 为DE 的中点，连AM,1. 图1中AE ，AG 分别与AB ， AD 重合时，AM 和BG 的数量和位置关系分别是（ ）和（ ）2. 如图2中将正方形AEFG 绕A 逆时针旋转∂（090oo<∂<）时1中的结论是否成立，试证明。
第九讲 关于中点的联想
第九讲 关于中点的联想（091107）命题、审核：杨定高 学生姓名：知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边上的中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点是解中点有关问题的关键，由中点可以联想到的是：1. 倍长中线（或位长过中点的连线，构造中心对称全等三角形）2. 作直角三角形斜边上的中线3. 构造中位线熟悉以下基本图形、基本推论：例题选讲：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，A B ＜AC,在AC 上截取CE=AB,M,N 分别为BC,AE 的中点， 求证：MN ∥AD （试用三种不同的方法）2、如图，以△ABC 的边AC 和AB 为斜边向形外作Rt △ABD 和Rt △ACE,且使∠ABD=∠ACE,M 是BC 的中点，猜想DM 和EM 之间的数量关系并加以说明.3、分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边,在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG .点P 是EF 的中点,求证:点P 到边AB 的距离是AB 的一半.4、已知△ABD 和△ABE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE ＝90°，如图1，连结DE ，设M 为DE 的中点。
1：说明BM=MC(2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图2的位置，试问，MB=MC 是否还成立？并证明其结论。
图2图15、如图，△ABC 中，∠B 的平分线BE 与BC 边上的中线AD 垂直，且 BE=AD=4,求△ABC 的三边长6、如图，已知在△ABC 中D 为AB 的中点，分别延长CA,CB 到E,F 使DE=DF,过E,F ,分别作CA,CB 的垂线，相交于P 点。
求证∠PAE=∠PBF7、已知△OAB 和 △OCD 都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.(1) 如图1，点C 在OA 边上，点D 在OB 边上，连接AD,BC,M 为线段AD 的中点，说明OM 和BC 的位置关系。
中考数学复习《中点联想解析》
中考数学复习中点联想训练本文基于教学实践和反思提出了在初中数学教学中对“中点”的一些认识。
并对中点问题进行了详细分类，对每种类型进行了举例、分析，特别是对各类中点问题的基本思路做了探讨和研究，并且针对学生在解题上存在的问题，提出了中点问题教学的几点建议：（1）在中点问题教学中，要积极培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力。
（2）在中点问题教学中，要培养学生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。
（3）在中点问题教学中，要给学生有专题性的训练，从而提高学生解中点问题的能力。
1．与中点有关的定理(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)等腰三角形“三线合一”的性质．(3)三角形的中位线定理．(4)垂径定理及其推论．2．与中点有关的辅助线(1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点，然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等．(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”．(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形．一、中点在普通三角形中的应用【例题】（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【同步训练】（2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中，，∴△BDG≌△ADC，∴BG=AC，∠BGD=∠C，∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，∴∠EDG+∠FDA=90°，∴DE⊥DF；（2）解：∵AC=10，∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF==5．二、中点在等腰三角形中的应用【例题】（2016·广西桂林·3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH= ．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH=，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案为：．【同步训练】（2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案为4，4．如图2中，连接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接EF．∵AF、BE是中线，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．三、中点在直角三角形中的应用【例题】（2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD 上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．12【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．【同步训练】（2017•黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（）A．60°B．75°C．90°D．105°【考点】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE=，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，∴BC=2CE=，∵AB=2，AC=1，∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，∴∠ACB=90°，∵tan∠A==，∴∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∴∠DCE=60°，∵DE=CE，∴∠CDE=60°，∴∠CDE+∠ACD=90°，故选C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．四、中位线在三角形的应用【例题】（2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD 上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．12【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．【同步训练】(2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．五、中点在圆的性质中的应用【例题】（2017广西百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，∵=，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE=CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF=AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，∴AD=AF，BD=CF，∴DF∥BC，∴=，∵AE==4，∴AM=4×=．【同步训练】（2017呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）求出DC=，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB==2，得出OB=OC=OD=DC=BC=，证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵C是劣弧的中点，∴∠DAC=∠CDB，∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴=，∴DC2=CE•AC；（2）证明：∵AE=2，EC=1，∴AC=3，∴DC2=CE•AC=1×3=3，∴DC=，连接OC、OD，如图所示：∵C是劣弧的中点，∴OC平分∠DOB，BC=DC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==2，∴OB=OC=OD=DC=BC=，∴△OCD、△OBC是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，∵OA=OD，∴△AOD是正三角形；（3）解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH，∵∠COH=60°，∴∠H=30°，∵∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠H=∠BAC，∴AC=CH=3，∵AH=3，AH上的高为BC•sin60°=，∴△ACH的面积=×3×=．六、中点在四边形中的性质应用【例题】（2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．12S B．10S C．9S D．8S【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【同步训练】（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．七、中点在其它图形中的综合应用【达标训练】1.（2016·陕西·3分）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C ．2. （2016·山东省东营市·3分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD ＝2．其中正确的结论有( ) A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图F E DB CA【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法【答案】B.【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB ….......................①正确； ∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF ……………………………②正确； 过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH .∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AE ED＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH . ∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . ……………………………………………③正确；第10题答案图G H F E D A C B设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BF AF.∴AF ＝EF •BF ＝1×2＝ 2. ∴tan ∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan ∠CAD ＝tan ∠ABF ＝22.…………④错误. 故选择B.【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键．3. （2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A （1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 （﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0） ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O 为AB 的中点，则当△PAB 为等腰三角形时只能有PA=AB 或PB=AB ，设P 点坐标为（x ，0），可分别表示出PA 和PB ，从而可得到关与x 的方程，可求得x ，可求得P 点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A 、B 两点关于O 对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．4. （2017广西）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（）A．45°B．60°C．75°D．85°【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．【解答】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．5.（2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE=7，∴BC=2DE=14．故答案是：14．6.（2017.江苏宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=2，则线段EF的长是 2 ．【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长，然后根据三角形的中位线定理求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，即CD是直角三角形斜边上的中线，∴AB=2CD=2×2=4，又∵E、F分别是BC、CA的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF=AB=×2=2，故答案为：2．7.（2017宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为8 ．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AC=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8.（2017哈尔滨）已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD=BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论；（3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB ﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH=，sin∠ABO=，设DP=3a，则PM=5a，可得结果．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，∵C是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴OD⊥AB，AD=BD；（2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT∵BT是⊙O的直径∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB又∠ABO=∠APT∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；（3）解：如图3，连接MA，∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，则∠AMP=∠BMN，∴△APM≌△BNM，∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，∴四边形APBK是平行四边形；AP∥BK，∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，∴∠APB+∠MBA=180°∴∠PBK=∠MBA，∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，∴∠NBP=∠KBP，∴△PBN≌△PBK，∴PN=PK=2PD，过点M作MH⊥PN于点H，∴PN=2PH，∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，∵sin∠PMH=，sin∠ABO=，∴，∴，设DP=3a，则PM=5a，∴MQ=6DP=18a，∴．9.（2017黑龙江佳木斯）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4 ．【考点】KQ：勾股定理；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．10.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．【分析】由AB=AC，∠C AB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE=AB，FE∥AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．。
始于联想 终于思维——中点证明问题的解法探究与思考
始于联想终于思维——中点证明问题的解法探究与思
考
"始于联想，终于思维"这句话非常符合数学证明问题，尤其是中点证明问题的解决策略。
联想是解决问题的第一步，而思维则是解决问题的关键。
以下是对这句话的具体解读以及对中点证明问题解法的探究与思考。
一、联想：问题的初步认识与转化
在面对中点证明问题时，首先需要联想到与此相关的知识点和定理。
例如，当看到中点时，应立即联想到中位线的性质和相应的定理。
此外，还需要联想如何将问题转化为已知的或容易解决的问题。
例如，如果遇到一个复杂的问题，可以尝试将其分解为几个简单的小问题，然后逐一解决。
二、思维：深入分析与构造
在联想的基础上，需要对问题进行深入的思维和分析。
首先，需要明确问题的目标，并分析达到这个目标需要哪些条件。
然后，根据这些条件进行逻辑推理和证明。
在这个过程中，可能需要构造一些辅助线或辅助图形来帮助解决问题。
三、中点证明问题的解法探究
中点证明问题通常涉及到三角形、平行四边形或其他多边形的中点。
对于三角形，中点定理是一个非常有用的工具。
对于平行四边形或其他多边形，中点连线性质也是非常关键的。
此外，构造辅助线也是解决这类问题的一个重要技巧。
四、总结与思考
解决中点证明问题需要扎实的数学基础和灵活的思维。
通过不断练习和总结，可以逐渐提高自己的解题能力。
同时，也需要思考如何将这种思维方式应用到其他领域的问题解决中。
看到中点可以联想到的知识点
看到中点可以联想到的知识点
1. 嘿，看到中点能想到啥？那可不就是一场比赛的中途呀！就像跑步比赛，跑到中点时，哎呀，这前面的努力有没有白费可就看这了！比如咱参加的那次长跑，到中点时真觉得累得不行了，但咬咬牙还是坚持下去了。
2. 看到中点，会不会想到人生旅程的中间呀？这时候回头看看走过的路，哇塞，感慨好多啊！就像朋友小李，在中年这个中点时刻，常常回忆过去，他说那都是珍贵的记忆呢！
3. 哎呀呀，说到中点，不就是那部电视剧中间的精彩转折嘛！剧情到了中点，各种冲突都爆发出来了。
就像那部超火的剧，看到中点的时候，人物关系变得特别复杂，看得人揪心啊！
4. 你们说，中点是不是像计划执行到一半的时候呀？这时候得看看进度咋样了。
就像上次我们做项目，到了中点发现有些滞后，赶紧调整策略呢！
5. 嘿，中点不就是一天时间的中午嘛！这可是个重要的节点呢。
比如每天到了中午，都得思考要吃啥好吃的，这可太让人纠结了！
6. 看到中点啊，还能想到友谊的中间阶段呢。
相处到中点的时候，彼此的了解已经很多了，是更加亲密还是会有矛盾呢？像我和那谁，在中点的时候真的经历了一些考验呢！
我的观点结论：中点是个很有意思的概念，能让我们联想到好多不同的方面和经历呀！。
关于中点的知识点总结
关于中点的知识点总结一、中点的定义1. 平面中点的定义在平面几何中，中点是指一条线段的中心点，也是该线段的中央连接点。
如果一条线段的两个端点为A和B，则这条线段的中点通常用M来表示。
中点M可以通过以下方法确定：将线段AB的两个端点连成直线，再将这条直线平分，即可确定中点M。
2. 空间中点的定义在立体几何中，中点是指一个三维空间中的点，它可以被定义为两个端点之间的平均点。
如果一个空间的两个点为A和B，则这两个点之间的中点可以用M来表示。
中点M的坐标可以根据A和B的坐标计算得出。
二、中点的性质1. 对于线段来说，中点到两个端点的距离相等。
证明：假设中点为M，线段的两个端点为A和B。
根据中点的定义，AM=BM。
因此，中点到两个端点的距离相等。
2. 对于三角形来说，连接两个边的中点可得到一个平行于第三边的线段。
证明：假设三角形的三个顶点为A、B和C，连接AB的中点为M，连接AC的中点为N。
根据中点的性质，AM=MB，AN=NC。
根据定理可知，MN平行于BC。
3. 中点可以被用来构造等腰三角形和等边三角形。
证明：假设三角形的两个边长分别为AB和AC，其中M是AB的中点，N是AC的中点。
通过连接AM和AN，我们可以得到一个等腰三角形；通过连接MN，我们可以得到一个等边三角形。
4. 空间中点的性质对于空间中的三维点来说，连接两个点的中点M可以被用来确定这两个点的中点。
如果两个点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则中点M的坐标可以通过计算(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2得出。
这个公式同样适用于四维或更高维空间中的中点。
三、中点的相关定理1. 线段中点定理线段中点定理指出：如果一条线段的两个端点为A和B，连接AB的中点为M，则AM=1/2AB，BM=1/2AB。
这个定理说明了一个性质：线段的中点将线段分成相等的两部分。
2. 中点连线定理中点连线定理指出：连接一个三角形的两边的中点可以得到一个平行于第三边的线段。
八年级奥数：关于中点的联想
八年级奥数：关于中点的联想解读课标线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点．图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想： 中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段；直角三角形斜边中线是斜边的一半，作直角三角形斜边中线是常用辅助线；梯形中位线、三角形中位线与中点息息相关； 中点还与中心对称图形相连等． 熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10cm ，则MD 的长为______________．例2 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ．BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（ ）． A ．38 B ．39 C ．40 D ．41例3 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，延长BA 到点D ，使AD =AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点． （1）求证：DF =BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG =DG ．12例4 如图①，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=P A，PD=PB，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图②，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．例5 如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E，F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．数学冲浪知识技能广场1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长为____________cm．2．如图，若E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，则四边形EFGH是___________．（1）若把条件中的四边形依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别是___________；（2）若把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形或正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是___________．3．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM，若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为__________．4．如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为_____________cm2．5．在一个四边形ABCD中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件（）．A．垂直B．相等C．垂直且相等D．不再需要条件6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）．A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm7．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．1 B．5 C．2 D．38．如图，小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（）．A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹；9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．10．如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．11．在图①至图③中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图①，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）如图①中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图②，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图②中的CE 缩短到图③的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗?（不必说明理由）思想方法天地 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF =2，ED =3，GC =4，则△ABC 的周长为____________．13．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ =∠FQP ，若BD =10，则AC =___________．14．如图，正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2、3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为____________．15．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，M 、N 是BC 边上的点，BM =MN =NC ，如果AM =4，AN =3，则MN =___________． 16．如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD =4，CE =6，那么△ABC 的面积等于（ ）．A ．12B ．14C ．16D ．1817．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 中点，N 为AB 中点，则（ ）．A ．B ．C ．D ．无法确定MN 与18．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用S 、P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；用S 1、P 1分别表示四边形EFGH的面积和)(21BC AD MN +>)(21BC AD MN +<)(21BC AD MN +=1()2AD BC+周长．设K =，，则下面关于K 、K 1的说法正确的是（ ）． A ．K 、K 1均为常数 B ．K 为常数，K 1不为常数C ．K 不为常数，K 1为常数D ．K 、K 1均不为常数19．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是（ ）．A ．B ．C ．D ．20．已知：如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ， AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG =（AB +BC +AC ）．若（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．21．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并把AB 、OB 、OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连结起来，设DEFG 能构成四边形．．（1）如图，当点O 在△ABC 内时，求证：四边形DEFG 是平行四边形； （2）当点O 移动到△ABC 外时，（1）的结论是否成立?画出图形，说明理由； （3）若四边形DEFG 为矩形，则点。
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关于中点的几点联想
一、与中点有关的知识点：1、 2、 3、
二、由中点产生的联想：
三、例题：（1）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AD 、BE 相交于点F ，且BF=AC 。
求证：EA=EF 。
（2）如图，在梯形ABCD 中，E 为CD 中点，EF 垂直AB 于F ，且AB=6，EF=8，求梯形的面积。
（3）如图，△ABC 中，B D ⊥AC,C E ⊥AB,M 为BC 中点，且M N ⊥ED,求证：N 为ED 中点。
B C
B
C
M
4．如图24-1，已知点D 在AC 上，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形.
图24-1
（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒45，如图24-2，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.
图24-2
（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒135，如图24-3，
（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？ 请说明理由.
图24-3
5．在□ABCD 中，
(4)．已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，BE=EF ，∠BEF=90︒，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，联结EG 、CG.
（1）探索EG 、CG 的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45︒，再联结DF ，取DF 中点G （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结DF ，取DF 的中点G （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.
图1 图2 图3
（第25题图）
如图：正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共的顶点A ，连接BG , DE, M 为DE 的中点，连AM,
1. 图1中AE ，AG 分别与AB ， AD 重合时，AM 和BG 的数量和位置关系分别是（ ）和（ ）
2. 如图2中将正方形AEFG 绕A 逆时针旋转∂（090o
o
<∂<）时1中的结论是否成立，试证明。
3. 若图3中将正方形AEFG 绕A 逆时针旋转∂（90180o
o
<∂<）时1中的结论是否成立，试证明。
D
A G
F E C B
G F
E
C B A
D D G F
E C B A A
E B
C
D
G P
M F
F
M
P
G
D
C
B
E
A F
M
G
D
C
B
E
A。