第13章静定结构的内力计算

多跨静定梁 多跨静定梁是指由若干个单跨静定梁用铰连接，并通过支座与 基础相联而成的结构。它是工程中被广泛应用的一种结构形式，
从几何组成上看，多跨静定梁的各个部分可以分为基本部分和附属部 分。例如上述多跨静定梁，其中犃犅部分有三根支座链杆和基础直接 相联结，符合两钢片规则，是几何不变体系，故其不依赖结构中的其 他部分而能独立地维持其几何不变性，被称为基本部分。同理，犆犇 部分也是基本部分。而犅犆部分则必须依靠基本部分才能维持其几何 不变性，故称为附属部分。 显而易见，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变体系。 反之，如果基本部分被破坏或撤除，则附属部分是几何可变体系，将 无法独自维持自身的平衡。为了更加清晰地表示结构中各部分之间的 承关系。 从受力分析来看，由于基本部分直接与基础组成几何不变体系，因此 它能独立承受荷载。当荷载作用于基本部分上时，由平衡条件可知， 将只有基本部分受力，而附属部分不受力。当荷载作用于附属部分上 时，则不仅附属部分受力，由于它是支承在基本部分上的，其反力将 通过连接两部分的铰传给基本部分，因而，使基本部分也受力。因此， 计算多跨静定梁的支座反力的顺序为先附属部分，后基本部分。先求 出附属部分的支座反力后，再将其反向施加于基本部分上，即将其作 为基本部分的外荷载，最后计算出基本部分的支座反力。
（１）轴力N在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力 沿杆轴切线方向的投影代数和； （２）剪力Q在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力 沿杆轴法线方向的投影代数和； （３）弯矩M在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力 对截面形心的力矩代数和。 ３． 利用M（X）、Q（X）和q（x）微分关系绘制内力图假 设外伸梁AB上作用有均布荷载q（x），荷载集度q（x）是 梁横截面位置狓的函数。截取梁上微段ｄ狓为研究对象， q （x）和梁的内力的关系式：
静 定 拱
概述 由在竖向荷载作用下支承处产生水平力的曲杆构成的结构称为 拱。水平力指的是拱的两个支座处指向拱内侧的水平反力或称 为推力。我们将在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构也称 为拱式结构。因此，在竖向荷载作用时，水平力有或无便成为 区别拱式结构和梁式结构的主要标志。拱常见的形式有无铰拱、 两铰拱、三铰拱。前两者为超静定结构，三铰拱为静定结构， 在拱结构中，由于水平力的存在，拱的弯矩要比同跨度、同荷 载作用下的梁的弯矩小。拱截面上的应力分布比较均匀，主要 承受的是压力，这样就可以利用如砖、石和混凝土等抗拉强度 低而抗压强度高的材料建造拱结构，以便充分发挥材料的性能。 在房屋建筑、公路桥梁、水利等工程中，拱结构都得到广泛应
若将此多跨静定梁的弯矩犕图与相应多跨简支梁的弯矩图犕
是后者的最大弯矩值的６８．８％。这说明由于在多跨静定梁 中布置了伸臂梁的缘故，一方面，减少了附属部分的跨度，另 一方面，又使伸臂梁上的荷载对基本部分产生负弯矩，从而部 分抵消了跨中外荷载所产生的正弯矩。因此，多跨静定梁比相 应多跨简支梁在材料用量上较节省，但在构造上较之复杂一些。 静定平面刚架
根据上述关系，可得到各种形式的荷载作用下的梁的内力图形的规律， 现总结如下： （１）均布荷载狇的区段： 当狇≠０，剪力图在该区段为斜直线（狇竖直向下时，直线斜率为负； 狇竖直向上时，直线斜率为正），弯矩图则为抛物线（凸起方向和狇 指向相同）；当狇＝０，剪力图在该区段为水平线，弯矩图则为斜直 线（该段上剪力为正时，斜率为负；该段上剪力为负时，斜率为正）。 （２）集中力区段： 有集中力作用处，剪力图有突变（突变的方向同集中力指向，突变值 大小等于集中力数值），弯矩图有尖角（尖角指向同集中力指向）。 （３）力偶区段： 有力偶作用处，剪力图没有变化；弯矩图则有突变（突变大小等于力 偶值）。熟练掌握上述内力图形状上的这些特征，对于正确快速地绘 制梁的内力图有很大的益处。 用简捷法绘制内力图的一般步骤如下：
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AC杆和CD杆上轴力不变，为常数，故轴力图为直线。CE杆、EB 杆由于荷载与杆轴垂直，轴力为零，则利用各杆端轴力即可绘 出轴力图。按规定，轴力图可画在杆轴线的任一侧，但必须注 （５）校核。绘出的内力图是否正确，可应用平衡条件来校核。 方法是任取一结点或杆件为隔离体，根据隔离体所受的荷载及 内力画出其受力图，然后利用平衡方程检查它们是否满足平衡 条件。例如取结点犇点为隔离体，读者可自行校核。
刚架的内力 绘制静定刚架的内力图，特别是弯矩图和剪力图，完全可以采 用绘制静定梁内力图的方法。因此，有关梁的内力图形状特征 的描述和用叠加法绘制犕图等，同样适用于刚架中各杆件。为 了明确表示各截面内力，特别是为了区别相交于刚结点处的不 同杆端截面的内力，一般情况下，在内力符号右下角采用两个 脚标。其中，第一个脚标表示内力所属截面，第二个脚标表示 该截面所属杆的另一端。例如犕犃犅表示犃犅杆件犃端截面处 的弯矩值，犕犅犃则表示犃犅杆犅端截面处的弯矩值。下面通 过例题来说明刚架内力图的绘制步骤。
合理拱轴线 由前节已知，当荷载及三个铰的位置给定后，三铰拱的反力就可 以确定，而与各铰间拱轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线 形状有关。当拱上所有截面的弯矩都等于零（可以证明，从而剪 力也为零）而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料 能得以最充分利用。单从力学观点看，这是最经济的，故称这时 的拱轴线为合理拱轴线。 合理拱轴线可以根据弯矩为零的条件来确定。在竖向荷载作用下， 三铰静定拱任一截面犓截面的弯矩可由公式犕犓＝犕０犓－犚犃 狓狔犓计算，则合理拱轴线方程可由下式求得
单跨静定梁
１． 单跨静定梁的形式 所示。
２． 单跨静定梁的内力 ２所示。可见，在任意外荷载作用下，在梁的截面上，一 指定梁截面内力的基本方法是截面法，即将杆件在指定截 面断开，取左边部分或右边部分为隔离体，利用隔离体建 立平衡方程，计算出此截面的内力。一般规定：轴力以拉 力为正；剪力以绕隔离体顺时针转者为正；弯矩以使梁下 部受拉为正。由截面法可以得出截面内力如下：
由此可知，两者的受力状态完全相同，故两者的弯矩图也是相 等的。可得出结论：结构中绘制任意区段梁的弯矩图的问题可 把单个荷载作用下的简支梁的弯矩图利用叠加原理竖向叠加， 就可以得到相应的简支梁在荷载共同作用下的弯矩图，这就是 所谓的分段叠加法。 分段叠加法绘制任意直杆件的弯矩图，可归纳为如下几个步骤： （１）选取杆上外荷载变化（不连续处）的位置（如集中力、 力偶作用点、分布荷载的起点和终点等）作为控制截面，计算 出该截面上的弯矩值。 （２）根据各控制截面之间有无均布荷载狇绘制弯矩图。当控 制截面间无均布荷载作用（狇＝０）时，可用直线依次连接各 控制截面的弯矩值绘制出该区段内弯矩图；当控制截面有均布 •荷载作用（狇≠０）时，先用直线依次连接各控制截面的弯矩 值，然后再叠加上该区段上相应简支梁的弯矩图
【 】 集中力P１ 和P２ 加法绘制该梁的弯矩图。
•解：先将荷载分为两组：集中力P１ 和P２ 各为一组，分别绘制 出在各自单独作用下的弯矩 •图M１ 和M
５． 分段叠加法 静定结构中，在绘制梁的弯矩图时，可采用分段叠加法，这 （ａ）所示的简支梁，梁上作用的荷载包括两部分：均布荷 载狇、端部的力偶犕犃和犕犅。当均布荷载狇单独作用在梁 端部力偶犕犃和犕犅分别单独作用在梁上时，弯矩图［图１
在弯矩图的基线相应位置上依次定出上述各控制截面处的竖标 （弯矩值），利用剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系绘制 各区段间的弯矩图：在梁的左端犃点控制截面处有力偶犕作用， 弯矩图在该处会出现竖向突变，突变值的大小等于该处集中力 偶犕的大小，突变的指向（顺时针集中力偶，突变竖直向下； 逆时针集中力偶，突变竖直向上）； AB、CD、DE和EG段上无均 布荷载（q＝０），可用直线依次将各控制截面的竖标相连；在 连接犅、犆两点的弯矩值，然后以该直线为基线，竖向叠加上 相应的简支梁在相同均布荷载作用下的弯矩图，即可绘制出整
静定平面桁架 桁架概述 所示。桁架结构中，依杆件所在位置不同，可分为弦杆和腹 杆两类。上下缘的杆件分别称为上弦杆和下弦杆，上下弦杆 间的杆件称为腹杆，腹杆包括斜杆和竖杆。两个相邻弦杆间 的水平距离称为结点长度，桁架两个支座间的水平距离称为 跨度。支座连线至桁架最高点的距离犺称为桁高。
值得注意的是，在静定刚架结构中，充分利用弯矩图的形状特 征，可以不求或少求反力而迅速绘出弯矩图。可总结如下几点： （１）直杆的无荷载区段弯矩图为斜直线。 （２）刚架的铰结处的弯矩为零。 （３）刚架的刚结点处的弯矩：根据力矩平衡条件，用叠加法 作弯矩图。 （４）外力与杆轴重合时不产生弯矩，外力与杆轴平行及外力 偶产生的弯矩是常数。（５）对称性的利用。上述的几点特征 都会给绘制弯矩图带来极大的方便。至于剪力图，则可以根据 弯矩图的斜率或杆端的平衡条件求得。然后，根据剪力图利用 结点投影平衡条件又可以作出轴力图和支座反力。静定刚架的 内力分析，不仅为强度计算所必需，而且是位移计算和分析超 静定刚架的基础，尤其是弯矩图的绘制，以后应用很广，它是 本课程最重要的基本功之一，读者务必通过足够的习题切实掌 握。
第１３章 静定结构的内力计算
学习目标
• 通过本章的学习，熟悉静定梁 受力分析，能进行静定平面刚 架、静定拱、静定平面桁架的 内力计算。
静定梁
•静定梁是建筑工程中最常见的结构，它构造简单、 施工方便，所以在实际工程中被广泛采用。静定 梁通常分为单跨和多跨两种形式。单跨静定梁的 内力分析在前面的章节已经做过讨论，在这里我 们加以回顾和补充，以便使读者能更熟练掌握。
•在剪力图的基线相应位置上依次定出上述各控制截面处竖标， 利用剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系绘制各区段间的剪 力图：AB、CD、DE和EG段上无均布荷载（q＝０）作用，剪力值 为常数（Q＝C），故剪力图为一条水平线，犅犆段上有均布荷 载（q≠０）作用，剪力是一次曲线，故剪力图为一条斜直线。
（１）计算支座反力。 （２）以荷载不连续的点（如集中力、力偶等）作为分段点， 将梁分段。 （３）建立各段的平衡方程，计算控制截面（如集中力、力偶 作用点的两侧的截面等）的内力值。 （４）连线。根据各段的内力形状，用直线或曲线依次连接各 控制截面。 （５）在图上确定最大内力的位置及数值。 ４． 叠加法绘制弯矩图结构在几个荷载作用下的某一参数值 （如反力、内力、应力、变形等）的大小，等于各个荷载单独 作用时所引起的该参数值的代数和称为叠加原理。叠加原理在 力学计算中应用得较为广泛。当梁上同时作用多个荷载时，可 先分别绘制各个荷载单独作用下，梁的剪力图和弯矩图，然后 应用叠加原理，将其对应横截面处的剪力和弯矩值代数值竖向 叠加，即可得到多个荷载同时作用时，梁的剪力图和弯矩图。 必须指出：所谓叠加，在各个单个荷载作用下，将同一截面处 的弯矩图纵坐标叠加。
• 概述 刚架是直杆组成的具有刚性结点的结构。刚架结构在土木工程 中使用较为广泛。如加油站或火车站站台的雨篷，由三根直杆 用刚结点相连接所组成，柱子固定于基础中，由于横梁倾 斜坡度不大，可以近似的水平直杆来代替。
当刚架受力而产生变形时，汇交于刚结点的各杆件之间的夹角始 终不变，刚结点的这一特性，是对刚架进行分析的出发点。如果 构成刚架的杆件的轴线都在同一平面，且所受的荷载也作用在该 平面内，则称此刚架为平面刚架。平面刚架可分为悬臂刚架［图
利用上述关系式，可以借助简支梁的支座反力和内力的计算结 果来求三铰拱的支座反力。只受竖向荷载作用的三铰拱，两固 定铰支座的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应 简支梁截面犆处的弯矩与拱高的比值。由于拱轴线为曲线，三 铰拱的内力计算较为复杂，但也可以借助相应的简直梁的内力 计算结果，来求拱上任意截面的内力。
端部力偶犕犃、犕犅同时作用在梁上时的弯矩图（犕图），
图叠加，是指纵坐标的叠加，而不是指弯矩图形的简单
•对于结构中直杆件任意区段的弯矩图，也可以利用上述的竖
狇，还有杆件内力（包括杆端弯矩犕犃、犕犅，剪力犙犃、
承受相同的均布荷载狇和相同的杆端部力偶犕犃、犕犅。简 支梁 中，建立平面力系的平衡方程，容易得出：