微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数，则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f .8、设曲线kx y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 9、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =，则=∂∂∂yx z2 . 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d .12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝ .二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ ） （A ）1（B ）2（C ）4（D ）82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-，则=)(xf （ ） (A)21x(B) 21x - (C) x 2e - (D) x2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=⎰)(d )(，则必有（ ）B（A ）)(d )(x F t t f x a =⎰ （B ）)(]d )([x F t t F x a ='⎰ （C ）)(d )(x f t t F x a='⎰（D ）)()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上的平均值是（ ）（A ）2)()(b f a f + （B ）⎰b a x x f d )(（C ）⎰-b a x x f a b d )(1 （D ）⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与（ ）有关。

（A ）x t s ,,（B ）t s ,（C ）t x ,（D ）s6、下列方程中变量可分离的是 ( )（A ）2d d t t x t x+=（B ）t txxx t sin e d d += （C ）22d d t x tx+=（D ）)ln(d d t x tx= 7、( ) 是微分方程0d ln d ln =+y y x x x y 满足条件21e e21-==x y 的特解。

（A ）0ln ln 22=+y x （B ）2ln ln 22=+y x （C ）0ln ln 22=+y x（D ）21ln ln 22=+y x 三、计算题1、计算下列不定积分： (1) ⎰--xx x 1)2(d (2)x x x d ln ⎰ (3) ⎰x x d ln 2(4)⎰++311d x x(5)⎰-x x xd 1122(6) ⎰+x xxd 2cos 122、计算下列定积分：(1)⎰20d sin eπx x x(2)x x d ln 22e e 1⎰(3) x x x x d arctan 110 22⎰+(4)⎰-+5ln 0xxx d 1e 3e e x (5) ⎰-12112d ex x (6)⎰-102d 1arctan x x x(7)⎰-12122d 1x x x (8) ⎰+40d 12x x x3、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=02 ,2120 ,41)(2x x x xx f ，求⎰-20d )1(x x f .4、设⎩⎨⎧<+≥=-0,10,e )(2x x x x f x ,求⎰-31d )2(x x f 。

5、设),(y x f z =是由方程yz z x ln =确定的隐函数，求y z x z ∂∂∂∂,。

6、设)ln(22y x z +=，求yy xx z z '''',。

7、yx y x y x y x f arctan arctan ),(22-=，求y x f ∂∂∂2。

8、已知 233=++yz z x ，求x z ∂∂，yz∂∂。

9、求函数)2(e ),(22y y x y x f x++=的极值。

10、计算二重积分⎰⎰Dy x x xd d sin ，其中}10,{≤≤≤≤=y y x y D 。

11、计算二重积分⎰⎰-Dy x x d d 12，其中D 是以)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形区域。

12、计算⎰⎰-1x10d e d 2y x y .13、计算⎰⎰+10132d 1d x y yxy x .14、计算⎰⎰-1121d sin d y x xxy 。

15、求微分方程满足初始条件的特解：0d d =+xyy x ，4)3(=y . 16、求微分方程 0e =-+'xy y x 的通解。

17、求方程2x x y x y -+-='e 22的通解。

18、求微分方程042)1(22=-+'+x y x y x 的通解。

19、求解微分方程 0d )ln (d ln =-+x x y y x x ，1|e ==x y .四、应用题1、求2x y =与2y x =所围成的图形的面积及它绕x 轴旋转而成的旋转体体积。

2、求2x y -=与x y =所围成的图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

3、过曲线0,3≥=x x y 上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形D 的面积S 为43。

(1) 求点A 的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积。

4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x 和y 时，销售利润的增加是yyx x +++1025550（万元）。

现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？5、某厂生产产量分别为x 和y 的两种产品，总成本50010104),(22++-++=y x y x y x y x c ，需求函数分别为 p x 25.070-=，q y 5.0120-=，(q p ,为产品单价)，且产品需求要受限制,502=+y x 求工厂获最大利润时的产量和单价。

6、设某企业的总产量函数为y x y x P 2005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大。

7、生产某种产品需要C B A ,,三种原料，且产量与C B A ,,原料的用量z y x ,,的关系为z y x Q 2005.0=，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？五、证明题1、设)(x f 在]10[，上连续,证明：⎰⎰=2d )(sin 2d )(sin ππt t f t t f 。

2、设)(x f 在]10[，上连续,证明：⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x f x 。

3、证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .解答：一、填空题1. 12. -2f (2x )3. )(2)2a F a x F(-+4. 1e 2--5. ln26.)1521-( 7. π-+12sin x 8. 21 9. 8 10、y2e 2 11.⎰⎰e e 10d ),(d yx y x f y12.⎰⎰⎰⎰+-++--+-y y y y x y x f y x y x f y 11301101d ),(d d ),(d13、⎰⎰⎰⎰-+2120122d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x二、选择题 1. C 2. B3、解选B利用变上限积分函数的导数)(d )(d d x f t t f x xa=⎰，结合)()(x f x F ='，得(A))()(d )(a F x F t t f x a-=⎰, (C))()(d )(a F x F t t F x a-='⎰, (D) )()(]d )([x f x F t t F xa='=''⎰,故选(B). 4、解选C若函数)(x f 在],[b a 上连续，则称⎰-b ax x f a b d )(1为)(x f 在],[b a 上的平均值，故选 (C). 5、解 选D设x t u =，则tu x =，u t x d 1d =，于是 ⎰=t sx x t f tI 0d )(⎰=s u u f 0d )(，故积分I 与s 有关. 应选(D).6、解 选B由于t tx x xt sin e d d +=可写成t x t x t x sin e e d d ⋅=，故应选(B). 7、解 选D将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 C y x =+22ln 21ln 21， 代入初始条件21e e21-==x y，得41=C ，所求特解为 21ln ln 22=+y x 。

三、计算题1、计算下列不定积分： (1) 解 令x t -=1，则21t x -=，t t x d 2d -=，于是⎰--x x x1)2(d ⎰⋅+⋅-=tt t t )1(d 22⎰+-=21d 2t t C t +-=arctan 2C x +--=1arctan 2. (2) 解 x x x d ln ⎰⎰=)2(d ln 2x x ⎰⋅-=x x x x x d 12ln 222C x x x +-=2241ln 2. (3) 解 ⎰x x d ln 2⎰⋅⋅-=x x x x x x d 1ln 2ln 2⎰-=x x x x d ln 2ln 2⎰⋅+-=x x x x x x x d 12ln 2ln 2C x x x x x ++-=2ln 2ln 2(4) 解 令t x =+31，31t x =+，t t x d 3d 2=，⎰++311d x x ⎰+=t t t d 132⎰++-=t t t d 11132 ⎰++-=t tt d )111(3 C t t t +++-=|1|ln 33232 C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332(5) 解 令t x sec =，t t t x d tan sec d =，C t t t t t t tt x x x+===-⎰⎰⎰sin d cos d tan sec tan sec d 11222C xx +-=12 (6) 解⎰⎰⎰⎰===+x x x x x x x xx x xtan d d secd cos 22d 2cos 1222.|sec |ln tan d tan tan C x x x x x x x +-=-=⎰2、计算下列定积分：(1)解：⎰20d sin eπx x x⎰=20de sin πx x ⎰-=2020d cos e sin e ππx x x xx⎰-=202de cos e ππx x-=2e π]d sin e cos e [220⎰+ππx x x xx-+=1e 2π⎰20d sine πx x x解得⎰20d sin e πx x x )1(e 212+=π.(2) 解：原式x x x x d ln d ln 22e 11e 1⎰⎰+-=x x xx x x xx ln d ln ]ln d ln [2222e 1e 11e1 1e 1⎰⎰-+--=x x d 21e ]d 21e 1[22e 1 21e1 2⎰⎰-+--=22e 212e 31+-=.(3) 解：令t t x t x x t d sec d ,tan ,arctan 2===，则原式t t t d tan 240 ⎰=πt t t d )1(sec 240 -=⎰πt t t t t d d sec 40 240 ⎰⎰-=ππ40240 21tan d ππtt t -=⎰24 0 40321d tan tan πππ--=⎰t t t t 240321sec ln 4πππ--=t 23212ln 214ππ--= (4) 解：令t x =-1e ，则⎰+⋅+⋅+=20222d 124)1(t t t t t t 原式⎰+=2022d 42t t t ⎰+-+=2022d 4442t t t 20)2arctan 2(2t t -=π-=4(5) 解：令t x =-12，则原式⎰=10d e t t t ⎰⎰-==11010d e e de t t t t tt 1=(6) 解 令t x =-21，则 ⎰-102d 1arctan x x x ⎰=102d arctan 21t t⎰+-=1022102d 121arctan 21t t t t t ⎰+-+-⋅=1022d 11121421t t t π 10arctan 2121421x +-⋅=π.214-=π (7) 解 设t x sin =，原式t t t d sin cos 2422⎰=ππ41)cot (d 1)(csc 24242πππππ-=+-=-=⎰t t t t (8) 解 令t x =+12，原式t t t t ⎰-=312d 21310)3(21313=-=t t 。