2012年福建省高三质检文科数学试卷及答案

2012年福建省普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
1A 25
A ．45
B ． 45
- C ． 35
D ． 35
-
3．若0.32
0.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是
A ． a b c <<
B ． c a b <<
C ． c b a <<
D ． b c a <<
4．在空间中，下列命题正确的是
A ． 平行于同一平面的两条直线平行
B ． 垂直于同一平面的两条直线平行
C ． 平行于同一直线的两个平面平行
D ． 垂直于同一平面的两个平面平行
5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，
，则下列判断正确的是
6A
7
A
89C ． )6
2sin()(π
+
=x x f
D ． x x f 2sin )(=
10．已知)2,0(),0,2(B A -, 点M 是圆2
2
20x y x +-=上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是 A ．
1- B ． C 1+ D ．11． 一只蚂蚁从正方体1111ABC D A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是
12f 13141516③*M P ⋂=∅．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
等差数列{}n a 的公差为2-，且134,,a a a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1(*)(12)
n n b n n a =
∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18． (本小题满分12分)
在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥,如图
（1）．把ABD ∆沿BD 翻
1912分)
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
cos cos 2sin
sin
2
2
A B A B A B +--=-;
(Ⅱ)若A B C ∆的三个内角,,A B C 满足2
cos 2cos 22sin A B C -=,试判断A B C ∆的形状． (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20． (本小题满分12分)
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
(
21
22
2012年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
1712 ((Ⅱ)由(Ⅰ)可得(12)
(1)
1
n n b n a n n n n =
=
=-
-++，……………………………8分
所以12n n S b b b =++⋅⋅⋅+
11111(1)(
)(
)223
1
n n =-
+-+⋅⋅⋅+-
+111
1
n n n =-
=
++． ……………12分
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，C D BD ⊥ ∴CD A BD '⊥平面， ……………………………2分 又∵AB A BD '⊂平面，∴C D A B '⊥． ……………………………4分
解法一：(Ⅰ)因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， ① c o s ()
c o s
c o s
s i n αβαβαβ-=+， ②………………………2分
①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③……………3分
令,A B αβαβ+=-=有,22A B A B
αβ+-==，
代入③得cos cos 2sin
sin
2
2
A B A B A B +--=-. …………………6分
(Ⅱ)由二倍角公式,2cos 2cos 22sin A B C -=可化为
22
2
12s i n 1
2s i n 2s i n
A B C --
+=
,……………………………8分
20(75,100)内的两天记为12,B B ．
所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． ……………………4分 其中符合条件的有：
11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． …………6分
所以所求的概率6310
5
P =
=
． ……………………8分
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……………………………………………10分
因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环
21F 由①，②得2
2
2
216166y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
，所以4222222560y y -+=． ③ 因为2
(22)42565400∆=--⨯=-<．
所以方程③无解，从而A B C ∆不可能是直角三角形．…………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=
，
得1233x x x ++=，1230y y y ++=．……………………………6分 由条件的对称性，欲证A B C ∆不是直角三角形，只需证明90A ∠≠ ．
(1)当A B x ⊥轴时，12x x =，12y y =-，从而3132x x =-，30y =，
数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为2
()ln f x x a x =+，所以
'()2a f x x x
=+
，
函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+． 由210a +=得：8a =． …………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+． 因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．
又因为8
'()22260F x x x =-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，
所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一
(,)x t ∈+∞时，'()0h x >．
故()h x 在4
(,)t t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增． 又()0h t =，所以当4
(,)x t t ∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >， 即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧． ………………… 13分
（3）当4t t
<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t
∈+∞时，'()0h x >． 故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t
上单调递减．
所以()h x 在()0,+∞上递增．
又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >， 即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。