线代08答案 线性代数试题库
2008线性代数A参考答案
2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。
2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。
3、4。
4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。
5、 3 。
6、3。
7、 0 。
8、2。
9、1/λ。
10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。
线性代数2008A答案
上海财经大学成人高等教育线性代数试题参考 答案（2008A 卷）姓名 学号 专业 班级一、 单选题(每小题2分，共计10分)1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( 4 ) .(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( 2 ).(1) 123212025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)123204341⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 123211301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 111011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( 2 ).(1) 100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2)100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 101010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (4) 101011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( 1 ) .(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为 ( 4 ). (1) 1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ (2) 1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭(3) 1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭(4) 1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭二、 填选题(每小题3分，共计30分)6. 行列式 111253_____.4259= （- 6）7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.（ 0 ）……………………………………………………………装订线…………………………………………………8. 设A 是3阶方阵，TA 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T A =； （ 54 ）9. 设211123223,322141113A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 则 _____________AB =； （487731112514⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭）10．设矩阵 120340002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=__________. ； （312212210000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 11. 设矩阵 200030004A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*A =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）； （12000800012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=__________； （12310246003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭）13. 设矩阵 121211212112121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且AP B =,则初等阵P _____________；（1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭） 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.；（ 2 ） 15. 设123(1,1,1),(1,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _____.（ 3 ）三、 计算题（共计47分)16. 求解方程:2452450245x x x++=+ (本题满分10分)解：由于311113111132245(1)024500(1)47245(1)245047x r r x xx x x x x x c c x x a A x xx r r x x ++-+--+=-+-==-++-+++则原方程即2(11)0x x += 因而原方程的解为：120,11x x ==。
全国2008年1月自学考试线性代数(经管类)试题+答案
全国2代码：04184 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列 出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后 的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为三阶方阵且则（ D ） A.-108 B.-12 C.12 D.108 2.如果方程组有非零解,则 k=（ B ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A.AB=BA B. C. D. 4.设A为四阶矩阵，且则（ C ） A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量 中只能是( B ) A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（ C ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出
= 22.设A=,求A. A= 23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X (E-BA) X= = X== 24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 = (1,-1,2,0)的一个极大线性无关组. α1 α2 α4 为极大无关组。 25.求非齐次方程组的通解 通解 26. 设A=,求P使为对角矩阵. = P= = 四、证明题（本大题共1小题,6分） 27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系. 证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系． 略。
《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)
2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等 反过来， （A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价 故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示 令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解； 当 a= 1时，无解； 当 a=-2 时，有无数解。 方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1
2008年07月线性代数(经管类)试题及答案
全国2008年07月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ）A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ）A.正定B.负定C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案
《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分 向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。
9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分 通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解 二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分 所求的平面方程 2230x y z +-=。
广工2008线代试题A-答案
解：设有关系式 ，即
则有
因为 线性无关，所以
………………………………………….4分
齐次线性方程组的系数行列式为
…………….….…6分
即当 为奇数时，齐次线性方程组只有零解，从而 ，即向量组线性无关；
即当 为偶数时，齐次线性方程组有非零解，从而存在不全为零的数 ，使 ，即向量组线性无关………………………………………………………………..……………8分
解答
一、单项选择题（每题4分，共20分）
1、D；2、D；3、D；4、B；5、B；
二、填空题（每题4分，共24分）
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、
三、（11分）法一：
解： = --------------------------------------------4分
---------------------------------------------7分
五、（13分）
解：对增广矩阵进行初等行变换
…………3分
（1） ；……………5分
(2) ；………………………………7分
(3) ；………………………9分
----------------------------------------11分
方程组的通解为：
-----------------------------------------------------13分
4、设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，则（ ）也是它的基础解系
（A） ；（B） ；
ห้องสมุดไป่ตู้(C) (D) .
5、设A是n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）
（A） ;（B）A的行列式等于1
（C）A的行向量都是单位向量且两两正交；
2008级线性代数试题和答案A卷
经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是 _____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00B AC , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A mn )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（ ）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ）（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nnnn d b d b d b a a a a D 00000022112101=+. 解 分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====n k n k k k nnnk k k k c c d d d d ba a d d d a a a db a a D jjd jb 1210212110;)(000000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i i c c d d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1000210012100121)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解 计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步 求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步 求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵. 证 由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。
2008级《线性代数》考题(2009年12月25用)(1)
2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
最新-2008年-自考-线性代数-经管类-真题详细答案
全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码:-、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分） 1.设A 为3阶方阵，且|A| = 2，则|2A 」卜(D ) A . -4B . -11311|2A| = 23|A| =84 .Ax=0有非零解：二r （A ） :: A 的列向量组线性相关.8 .设3元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为。
=（1,0,2）T , P =（1,一1,3）T ，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2 ,意常数k, k 1, k 2,方程组的通解可表为（ C ） A . k 1（1,0,2）T +k 2（1,-1,3）TB . （1,0,2）T +k （1,-1,3）T041842 .设矩阵 A= (1, 2), B=A . ACBB . ABC（1 I 42323，则下列矩阵运算中有意义的是（5 6C . BACCBA3.设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（TTTA . A + AB . A - AC . AA■a b )*设2阶矩阵A= I ，则 A = ( A)l c d丿(d—b \f-d c 、(-d b 、(d —c \iB .C .D .i<_c a丿b~aJ< c~a)(—ba丿3 -10 -n i-3"i巾-1 'A''1、1 - A .B .C .14 D .33丿I 13丿G 1丿I-1 0 丿设矩阵A=-2A .所有2阶子式都不为零B .所有 2阶子式都为零C .所有3阶子式都不为零D .存在一个3阶子式不为零7 .设A 为mxn 矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A . A 的列向量组线性相关B . A 的列向量组线性无关C . A 的行向量组线性相关D . A 的行向量组线性无关则对于任(A-A T )T 二A T -(A T )T 二 A T — A = -(A-A T )，所以 A - A T 为反对称矩阵.A.)矩阵4 .3的逆矩阵是（1 -1精品文档C . (1,0,2)T +k (0,1,-1)TD . (1,0,2)T +k (2,-1,5)T为鳥 k(： - 一)=(1,0,2)T +k (0,1,-1)T .行成比例值为零.:-(1,0,2)T 是 Ax=b 的特解，：•---(0,1,-1)T 是 Ax=0 的基础解系,所以 Ax=b 的通解可表A . 4B . 3C . 2D . 1人-1-1 -1 3 九一3九一31 1 1| ZE — A|=-1 Z-1 -1=-1 九-1 -1 =仏—3) —1^—1 -1-1-1人—1-1-1 K-1-1 -1 丸—1I 1 11 1 11 1 1 1、■0 1 1 1、1 0 0 0、1 0 0 0 T 1 0 0 0T 0 1 1 1 1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0丿e 0 0 °」<00 0丿 C . B . 3 2，秩为2. A 二10小题，每小题（本大题共1、1的非零特征值为（19 .矩阵A= =（九一3）-3），非零特征值为 ■ =3 .10. 4元二次型 f (X 1,X 2,X 3,X 4)-2x 1x 2 - 2x 1x 3 - 2x 1x 4 的秩为共20分）二、填空题 11 .若 a i b i -0,i =1,2,3,则行列式a 1b 1 a 2b 1a 3b 1 a 1b 2 a 2b 2&3匕ag a 2b 3 &3匕12•设矩阵A=则行列式 |AT A|=__4__. |A TA 円 A T ||A 冃 A| 2*2)2 =4 .13.若齐次线性方程组811X 1 ' 812X 2 ' 813X 3 — 072^+822X2+823X 3=0有非零解，则其系数行列式的值为 031x 1+a 32x 2 +a 33x3 =°14.设矩阵A=10，矩阵B=A —E ，则矩阵B 的秩r （B ）= 1」15 .向量空间 V={ X=(X 1,X 2,0)|X 1,X 2为实数}的维数为__2__ .16•设向量 a =(1,2,3) , P =(3,2,1)，则向量 J B 的内积(a ,B )= _10_ 17 •设A 是4X 3矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0只有零解，则矩阵 A 的秩18 .已知某个3元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:广0 B=A —E = 0 <0 0 1 ?1 0 , r(B)=2.0 0』r(A)= __3_-2-1，若a(a -1) 方程组无解，则 a 的取值为_0_.a =0时，r(A) =2 ,r(A) =3 .19 .设3元实二次型 f (X 1 , X 2 , X 3 )的秩为3,正惯性指数为2,则此二次型的规范形是 2-y 3.秩r =3，正惯性指数k =2，则负惯性指数r -k =3-2 =1 '1120.设矩阵A= 12 —a e 00、0为正定矩阵，则a 的取值范围是 .3丿 —-1 =1 0,-212 —a1 02 — a 0 =3(1 -a)>0 二 av1 .3三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共54 分)123 23 321 .计算3阶行列式 249 49 9367 677123 23 3解： 249 49 9 =367 67 7「1 0 1 1 0 0『11 1 00 '「10 1 1 0 0210 0 1 0 T 01 -2 -2 1 0 T 0 1 -2 -2 1 0 L3 2 -5 0 0 h<0 2 -2 3 0 h27-2 b'20 2 2 00、'2 0 0-5 2 -1、 1 0 0 —5/2 1-1/2"T 0 1-2 -2 1 0 T 0 1 0 5 -1 1 T 0 1 0 5 -1 127-2 1」Q 0 27-21」0 1 7/2 -1 1/2丿100 20 3 200 40 9 =0 .300 60 71 022. 设A=-3 2 -5求A ，解:解: ■ -1I 入E — A|=-2-2咒T -（咒_^1） ―'4= ■ $ - 2咒―3 = '_1）^ ―3），特征值，1 = -1 ,对于‘1 =「1，解齐次线性方程组（E - A ）x =0 :足一A =「2 一2}]1* ,1—2 -2丿 e 0 丿，X"| =_X 2X 2 =X2'基础解系为单位化为二k 1（-1,1,0,0,0）T k 2（-1,0,-1,0,1）T •25•设矩阵A 」1 2求正交矩阵P ,使P’AP 为对角矩阵.€ 1丿广_5/2 1 —1/2 A 」= 5 -1 1 7/2-11/223•设向量组：1（1,一1,2,1）丁 , :- 2（2,一2,4,一2）丁 , : 3(1)求向量组的一个极大线性无关组;(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.<12 3 0、「1 23 0、 -1 -2 03T0 0 332460 0 0 0 0-2 -1 -4>e-4-4 一4丿1 2 3 0、巾 2 3 0、广1 2 0 -3"1广10 0 -3"0 -4 -4 -4T11 1T0 1 0 0 T0 1 00 0 0 3 30 0 1 1 0 0 110 0 1 1e 0丿1° 0 0 0丿1° 0 0」<0 0 0丿24 •求齐次线性方程组X 1 x 2X 1 X 2 - X 3X 3 X 5 =0=0的基础解系及通解.=01 1 0 0 1、1 10 0 1、1 10 0 1、 解：A = 1 1 -1 0 0 T0 0 -1 0 -1 T 0 0 -1 0 -1e 011 b<0 0 1 11>1。
08年1月线性代数(经管类)试题答案
全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．1082．如果方程组⎪⎩⎪⎨=+=-04043232321kx x x x 有非零解，则k =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D ．1212A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-s 21的秩不为（）的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量7．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关．．A ．||||B A =B ．秩(A )=秩(B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤10002010110．设有二次型321321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定11．若0211=k ，则k =21． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1．)= __1__15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 2+=必有一个特征值__6__．16．方程组0321=-+x x x 的通解是k k )1,0,1()0,1,1(21+-．123__2__18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(++不全为零）（,,k k k ．__-16__20．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值． 解：151500021000210002118021********2110402100021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．26．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ，12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α； 对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000210201，⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-400010002． 四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．证： （1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量，则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=，只有零解0321===k k k ，所以1α,21αα+,321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知，1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．。
线性代数2007-2008第二学期试卷A答案
n 4, 有唯一解 III)a 2且a 1时，r r
综上，a 2且b 1时，方程组无解。
1 0 (2)a 2, b 1时，A 0 0
1 0 a 1时，A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0
3、 设 A, B 均为 3 阶方阵， 且满足 A 2, B 3 ， 则 ( AB ) 6 ； ( AB ) ＝ 36 。
1 1 1 1 1 1 2 3 的秩为 4、矩阵 3 1 5 1 1 3 4 2
4
1 0 ，它的行最简形是 0 0
1
1 3 6 0 0 1 和 2 。 3 6 1 1 3 6
6,3,2
8、 设三阶方阵 A 、B 相似，A 的特征值为 1、 2、 3， 则 B* 的特征值为
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分） 得 分
1 3 0
2 3 2 ( 1) 3
3 1 2 1 0 1 1 0 1 A E 5 2 3 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 0 0 1 ( A E ) x 0的基础解系为 1 ， 1 A只有一个线性无关的特征向量，因此A不能对角化。
3310分分设为一向量组12341131151?21893??????317?????????????????????????????????????????????????????????????????1
浙 江 工 业 大 学
《线 性 代 数》试 卷 (A)
2008线性代数考研题
解 (1) 因为 α 1 , α 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 α 1 , α 2 线性无关．假设
2008 线性代数考研题
1．(08-1,2,3,4-04)设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A = O ，则( )． (A) E − A 不可逆， E + A 不可逆． (B) E − A 不可逆， E + A 可逆． (C) E − A 可逆， E + A 可逆． (D) E − A 可逆， E + A 不可逆． 解 应选(C)．
由克莱姆法则知方程组有唯一解， 且有 x1 = (2) 当 a ≠ 0 时， A = ( n + 1) a ≠ 0 ，
n
A1 A
，
其中
1 1 2a 1 0 2a 1 按1列展开 a 2 2a O 2 A1 = M a 2a O = Dn−1 = na n−1 O O 1 M O O 1 a 2 2a 2 0 a 2a
λ1 , λ2 , λ3 互 不 相 同 ， 所 以 存 在 可 逆 矩 阵 P 使 得 P −1 AP = diag(λ1 , λ2 , λ3 ) ．又因为 A = λ1λ2 λ3 = 0 ，所以 λ1 , λ2 , λ3 中有且仅有一个为零，
故 r ( A) = r (diag(λ1 , λ2 , λ3 )) = 2 ． 7．(08-1-11) A = αα + ββ ， α , β 是 3 维列向量， α 为 α 的转置， β 为 β 的转 置． (1) 证 r ( A) ≤ 2 ； (2) 若 α , β 线性相关，则 r ( A) < 2 ．
故 x1 =
A1 A
=
na n −1 n ． = n (n + 1)a (n + 1)a
线性代数经管类试题答案
全国2008年7月高等教育自学考试线性代数经管类试题答案课程代码：04184一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分1．设3阶方阵],,[321ααα=A ,其中i α3,2,1=i 为A 的列向量,且2||=A ,则=+=|],,3[|||3221ααααB CA ．-2B ．0C ．2D ．62．若方程组⎩⎨⎧=-=+002121x kx x x 有非零解,则k = AA ．-1B ．0C ．1D ．2A ．||||||B A AB =B ．111)(---=A B ABC ．111)(---+=+B A B AD ．T T T A B AB =)(4．设A 为三阶矩阵,且2||=A ,则=|)(|A A A ．41 B ．1 C ．2 D ．44321432A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．43,αα线性无关6．向量组s ααα,,,21 的秩为r ,且s r <,则 C A ．s ααα,,,21 线性无关B ．s ααα,,,21 中任意r 个向量线性无关C ．s ααα,,,21 中任意r +1个向量线性相关D ．s ααα,,,21 中任意r -1个向量线性无关 7．若A 与B 相似,则 D A ．A ,B 都和同一对角矩阵相似 B ．A ,B 有相同的特征向量 C ．E B E A λλ-=-D ．||||B A =8．设21,αα是b Ax =的解,η是对应齐次方程组0=Ax 的解,则 B A ．1αη+是0=Ax 的解B ．)(21ααη-+是0=Ax 的解C ．21αα+是b Ax =的解D ．21αα-是b Ax =的解A ．)1,1,1(1=αB ．)1,1,1(2-=αC ．)1,1,1(3-=αD ．)1,1,0(4=α10．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111A ,则二次型Ax x x x f T =),(21是 B A ．正定B ．负定C ．半正定D ．不定11．设A 为三阶方阵且3||=A ,则=|2|A __24__．12．已知)3,2,1(=α,则=||αα__0__．13．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200030021A ,则=*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300020046．__3__123321__2__16．方程组1321=-+xx x 的通解是k k )1,0,1()0,1,1()0,0,1(21+-+．17．设A 满足032=-+A A E ,则=-1A )(3E A -．__24__20．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=221201A 所对应的二次型是323121232132142223),,(x x x x x x x x x x x f ++-+=．三、计算题本大题共6小题,每小题9分,共54分21．计算6阶行列式100200010000001000200100000003000021．解：100200010000001000200100000003000021行展开按第41020001000201000000300021行展开按第41200210000030021行展开按第21202100023-行展开按第11841612216=-⨯-=-）（．22．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3152A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421B ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2512C ,X 满足C B AX =+,求X ．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10013152],[E A →⎥⎦⎤⎢⎣⎡01105231→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21101031→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21531001→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21531001,=-1A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153,=-B C -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2512⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111, =-=-)(1B C A X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3182．23．求向量组)3,1,2,1(1=α,)6,5,1,4(2---=α,)7,4,3,1(3---=α的秩和其一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------743165143121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10550189903121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211021103121→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000021103121,秩为2,21,αα是一个极大线性无关组．24．当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=-=++3)2(321132132321b x a x x x x x x x 有无穷多解 并求出其通解． 解：=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-323211101111b a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11011101111b a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a 10011101111,0,1=-=b a 时,有无穷多解．此时A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011101111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011100201,⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33323112x x x x x x ,通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112010k ．25．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11713A ,求其特征值与特征向量． 解：)10)(4(401411713||2--=+-=---=-λλλλλλλA E ,特征值41=λ,102=λ．对于41=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00117711A E λ,⎩⎨⎧=-=2221x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α,对应的全部特征向量为11αk 1k 是任意非零常数；对于102=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-007/1100171717A E λ,⎪⎩⎪⎨⎧=-=222171x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=17/12α,对应的全部特征向量为22αk 2k 是任意非零常数．26．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112A ,求nA ．解：)3)(1(342112||2--=+-=--=-λλλλλλλA E ,特征值11=λ,32=λ． 对于11=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-001100111111A E λ,⎩⎨⎧==2221x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α；对于32=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00111111A E λ,⎩⎨⎧=-=2221x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α． 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3001D ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111121212121211P ,D AP P =-1,1-=PDP A , 1111)())((----==P PD PDP PDP PDP A n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111121⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 3001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n 313121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=n n n n 3131313121．四、证明题本大题6分27．设α为0=Ax 的非零解,β为b Ax =0≠b 的解,证明α与β线性无关．证：设021=+βαk k ,则0)(21=+βαk k A ,021=+βαA k A k ,0021=+b k k ,由此可得02=k ,从而01=αk ,又0≠α,可得01=k ,所以α与β线性无关．。
2008年4月全国自考线性代数(经管类)真题参考答案
2008年4月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-15B.-6C. 6D.15答案：C2.A. AB. BC. CD. D答案：C3.A. AB. BC. CD. D 答案：B4.A. AB. BC. CD. D 答案：A5.A.-4B.-2C. 2D. 4 答案：B6.A. AB. BC. CD. D答案：D7.A. AB. BC. CD. D答案：D8.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A答案：D9.A. AB. BC. CD. D答案：A10.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.图中空格处答案应为：______答案：02.图中空格处答案应为：______答案：3.图中空格处答案应为：______答案：4.图中空格处答案应为：______答案：25.图中空格处答案应为：______答案：-26.图中空格处答案应为：______ 答案：7.图中空格处答案应为：______答案：08.图中空格处答案应为：______答案：49.图中空格处答案应为：______答案：10.图中空格处答案应为：______答案：三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：四、证明题（本题6分）1.答案：本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。
兰州交通大学2008级线性代数(后八周)试题参考答案
⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 G 为__ x = k ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ___； ⎜ −2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0⎠
10、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1 ， −3 ， 9 ，则
三、计算题（本题共 5 小题，合计 62 分）
1 A = ___ −1 ___； 3
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G 解得特征向量 ξ 2 = 0 ，ξ1 = −1 ，单位特征向量 p2 = 0 ， p3 = ⎜ − 1 ⎟ …..（11 分） ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ G p3 ) = ⎜ 1 0 − 1 ⎟ …………………………….（12 分） 2 2⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝
⎛ 0 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ −1 1 0 ⎞ ⎛ −2 3 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 于是，得 A = PΛP = 1 1 1 0 −2 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ = ⎜ −4 5 −3 ⎟ …（14 分） ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 −1⎟ ⎜ −4 4 −2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G 2 2 2 15、 （本题 14 分）求正交变换 x = Py ，把二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 + 3 x2 + 3 x3 − 2 x2 x3 化
3、设 A、 B 分别为 m × n 和 m × k 矩阵，向量组（I）是由 A 的列向量构成的向量组，向量 组（Ⅱ）是由 ( A, B ) 的列向量构成的向量组，则必有（ C ）
南开大学2008级线性代数试题和答案 B卷
经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (B 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为3×3矩阵, 2=A , 把A 按行分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A A A A , 其中j A （j =1,2,3）是A 的第j行, 则行列式122322010A A A A += _____2. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1 _____3. 设3阶方阵O A ≠, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=15342531t B 且O AB =, 则=t _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n n n n n a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 B , 其中i j a a ≠(j i ≠), 则B X A =T 的解为 _____6. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____7. 若使二次型243132212322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f ++-+++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____ 答案：（1） -4 （2）3)1(n - （3） 2 （4） 4（5） ()1,0,0T⋅⋅⋅ （6） 3 （7） 2>t二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1．设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 3362．设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( ) (A)B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 3. 设)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααααT T E B E A 2 ,+=-=, 则 AB 等于( )(A) O (B) E - (C) E (D) ααTE +4．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价5．设矩阵33)(⨯=ij a A 满足T*A A =, 其中*A 是A 的伴随矩阵, TA 是A 的转置矩阵，1213,,a a a 11若为三个相等的正数, a 11则为（ ）（A ）13 （B ）3( C )(D)6．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ7. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似答案：BCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n 阶行列式12125431432321-=n n n D.解:2121112111211212221-------+-=+-=--+-=n n n n n nn n n n nn n n n n n ）（）（））（（）（）（）（））（（）（）（2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T ，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1000210012100121)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 阶）（）（）（行列式的外边，将第一列的公因子提到列均加到第一列上，并将每第二、三、11111111111111111211111011110111101111043212112112541143132121----+=---+=-+=n n n nn n n n nnn n n n n n D n3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设A 为3阶实对称矩阵, 且满足A 2+A -2E =0, 已知向量T )0,1,0(1=αT )1,0,1(2=α是A 的对应特征值λ=1的特征向量, 求A n , 其中n 为自然数.解：由题设可知(A - E )(A +2E )=0，A 的特征值可能取值为λ=1，-2。