原问题对偶问题一对对偶问题

1. 对称型对偶问题
• 定义1
• 原问题
矩阵形式
• 对偶问题
增加内容
对偶规则
1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m);
2. 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约 束条件的右端常数；
3. 使 问原 题问 目题 标约 函束数条的件系的数右；端常数bi变为其对偶 4. 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其
6 X2 24 0 1 -1/3 1/3
X=(8,24)T Z =184
minW=48y1+120y2
3y1+3y2 5 y1 +4y2 6
minW=48y1+120y2 +My5 +My6 3y1+3y2 -y3+y5 =5 y1 +4y2 -y4+y6= 6
yB M y5 M y6
yB M y5 120 y2
5
Y 0
称为原线性规划问题
max Z CX AX b, X 0
的对偶规划问题。
原问题 Prime Problem 对偶问题 Dual Problem
原问题与对偶问题的对应关系
原问题求极小------ min Z MAX Z
原问题约束方程有“≥”------两边同乘（-1），“≤” 原问题约束方程有“=”------对偶问题？
对偶问题约束条件的系数矩阵； 5. 改变约束条件不等号的方向，即将“=<”改为
“>=”； 6. 原问题“max”型，对偶问题为“min”型．
例3
2. 非对称型对偶问题
例4
对偶规则
原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个 变量是自由变量。
原问题第k个变量是自由变量，则对偶问题 第k个约束为等式约束。
设原问题：
max Z CX
AX b
1
XXB
0
XN
XS
B CB
N CN
I 0
b 0
可用另一形式：
max Z CX
AX IX X,XS
S
0
b
XB XN
I
B1 N
0 C N CB B1 N
XS
B 1
B1b
CB B1 CB B1b
B CB CBB1B 0 2
N CN CBB1N 0 3
工时
4
5
23
利润（元/ 10
20
件）
max Z 10x1 20x2
2 4
x1 x1
3x2 5x2
32 23
问题
• 假设不是安排生产，而是出售材料，出 租工时，问如何定价，可使工厂获利不 低于安排生产所获得的利益，且又能使 这些定价具有竞争力
解决
• 设出售材料的定价为每单位y1元 • 出租工时的定价为每工时y2元
§2 对偶问题的基本性质
• 对称性 • 弱对偶性 • 无界性 • 最优性 • 强对偶性 • 互补松弛性 • 解的对应性
产品A，B产量X1，X2，Z为利润
例1、
maxZ= 5X1 +6X2
机器台时 3X1 +X2 48 劳动工时 3X1 +4X2 120
X1 , X2 0
3X1 +X2 +X3=48 3X1 +4X2 +X4=120
yB
48 y1
120 y2
48
y1
11M
48-4M
5
3
6
1
180+1/2M 18-9/4M
1/2
9/4
3/2
1/4
184
0
2/9
1
13/9
0
120
0
0
y2
y3
y4
120-7M M M
3
-1 0
4
0 -1
0
M 30-3/4M
0
-1 3/4
1
0 -1/4
0
8
24
0 -4/9 1/3
1 1/9 -1/3
M
3. 混合型对偶问题
对偶约束
• 另外，我们把约束条件分为行约束（变 量的线性组合的等式或不等式约束）和 变量的符号约束两部分，而以原问题的 行约束与对偶问题的变量一一对应，原 问题的变量与对偶问题的行约束一一对 应，并且将对应的一对约束称为一对对 偶约束．
例5
例3
用矩阵理论讨论对偶问题
为什么研究对偶理论？
– 对偶问题可能比原问题容易求解 – 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
§1 对偶问题的一般概念 §2 对偶问题的基本性质 §3 对偶问题的解 §4 对偶问题的经济解释——影子价格 §5 对偶单纯形法 §6 原始——对偶单纯形法
§1 对偶问题的一般概念
1. 对偶问题的提出 2. 对偶问题的形式
S 0 CBB1 0
4
令 Y CB B1 , 则由(4)有
表示线性 规划问题已得 到最优解.
Y 0 由(2)和(3),有
C CB B1 A 0, 故有 YA C
因为Z CB B1b Yb, 而Y的上限无限大,所以只存在最
小值.
由上讨论,可得另一个线性规划问题:
minW Yb
YA C
第三章 线Biblioteka Baidu规划的对偶理论
• 线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大 值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性 规划问题与之对应，反之亦然．
• 原问题、对偶问题、一对对偶问题
• 对偶理论（Duality Theory）
– [ dju(:)’æliti ] – 研究对偶问题之间的关系及其解的性质
• 根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得 到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等 有价值的信息，在经济管理中有着广泛的应 用．
M
y5
y6
0
0
1
0
0
1
0 -30+7/4M
1 -3/4
0 1/4
M-8 M-24
minW 32y1 23y2
32yy11
4 y2 5 y2
10 20
max Z 10x1 20x2
2 4
x1 x1
3x2 5x2
32 23
minW 32y1 23y2
2 3
y1 y1
4 y2 5 y2
10 20
1.2 对偶问题的形式
1. 对称型对偶问题 2. 非对称型对偶问题 3. 混合型对偶问题
X1 … X40
560 0
X1 X2 X3 X4
XB 0 5 6 0
0
0 X3 48 3 1 1
0
0 X4 120 3 (4) 0
1
180 1/2 0 0 -3/2
0 X3 18 (9/4) 0 1 -1/4 6 X2 30 3/4 1 0 1/4
184 0 0 -2/9 -13/9
5 X1 8
1 0 4/9 -1/9
1.1 对偶问题的提出
• 资源的合理利用问题，即充分利用资源生产两 种产品
• 大规模定制生产时代，充分利用资源生成所需 的产品
• 对外提供加工服务，收取加工费 • 存在一个矛盾
– 自己要赚钱，定价越高越好 – 定价太高，别人不找你
• 折中——保证不亏的前提下，对方的支出最少
例1
甲
乙
限额
材料
2
3
32