三角函数和反三角函数

第二章 三角、反三角函数

一、考纲要求

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构

1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2

π

,k ∈Z 第二象限角：2k π+

2

π

＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2

3π

,k ∈Z

第四象限角：2k π+2

3π

＜α＜2k π+2π,k ∈Z

(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ·360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝

2

π

k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π

，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π

，k ∈Z ｝

终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4

π

，k ∈Z ｝

2.弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝

180π弧度，1弧度＝(π

180)° (3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。

扇形面积公式：S=

21lR=2

1｜α｜R 2

3.周期函数：

(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。

(2)几个常见结论：

①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)

也是y=f(x)的周期。 (1)

②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么

ω

T

也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。 ③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=r

y

,cos α=r x ,tg α

=

y r ,ctg α=y x ,Sec α=r x ,csc α=r

y

(如图(1))。 (2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sin α·csc α=1,cos α·sec α=1,tg α·ctg α=1 商数关系：tg α=

ααcos sin ,ctg α=α

α

sin cos 平方关系：sin 2

α+cos 2

α=1,1+tg 2

α=sec 2

α,1+ctg 2

α=csc 2

α

(4)诱导公式：

α

2k π+α

-α

π-α

π+α

2π-α 2

π

-α 2

π

+α 正弦 sin α -sin α sin α -sin α -sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -cos α cos α sin α -sin α 正切 tg α -tg α -tg α tg α -tg α ctg α -ctg α 余切 ctg α -ctg α -ctg α ctg α -ctg α

tg α

-tg α

上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tg α=AT,ctg α=BS

函数y=Asin(wx+ϕ)的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ

(1)y=sinx y=sin(x+ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的

w

1倍 y=sin(wx+ϕ)

0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的

w

1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍

y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w ＞1,横坐标缩短为原来的

w

1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的w

1倍 ϕ＞0，图像左移w

ϕ y=sin(wx)

ϕ＜0,图像右移w

ϕ

A ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍

y=sin(wx+ϕ) y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍