稀疏矩阵在迭代求解线性方程组中的运用

稀疏矩阵在迭代求解线性方程组中的运用
学院：自动化院
专业：电力系统及其自动化
姓名：张庆磊
学号：111101112
指导老师：杨伟
摘要:对于稀疏矩阵的稀疏存储技术进行了研究，研究了按行存储的检索方式，以便于迭代计算，分别对雅克比法和高斯—赛特法的算法进行理论研究和程序实现，并且比较了两种方法的优劣。

关键词：系数技术；线性方程；迭代
大型稀疏矩阵线性化方程组的求解问题，在电力系统中有着广泛的的运用。

由于电力网本身的结构限制，节点导纳矩阵节点繁多，而仅有少量的非零元，稀疏度很高，若采用传统存储计算方式，会占用大量的存储空间，并且降低运算效率。

在迭代计算中，由于无法分辨零元素，也会无谓地浪费运算时间。

因此稀疏技术在求解方程组中的运用显得尤为重要。

1.稀疏矢量与稀疏矩阵的存储
稀疏矢量与稀疏矩阵的存储特点是排零存储,即只存储其中的非零元和有关的检索信息.存储的目的是为了在计算中方便的访问和运用，这就要求既节省内存，又便于搜索。

论文采用了按行存储格式。

按行顺序依次存储A 中的非零元，同一行元素依次排列在一起，存储格式： V A ——按行存储矩阵A 中的非零元ij a ，共τ个； JA ——按行存储矩阵A 中的非零元的列号，共τ个； IA ——记录A 中每行第一个非零元在V A 中的位置，共n 个。

2.迭代法求解线性方程
设n n
n n
R b R A ∈∈⨯,,考虑线性方程组 Ax=b
一般的，先将式1变为同解方程组 X=Bx+f 形成迭代式
f Bx x k k +=+)()1(
式中：B 为迭代矩阵；
若要求迭代式收敛则需满足1B 1)(<<或B ρ，其中∙为任意范数 式1中，A 可以分裂为 A=M+N
(1)
其中，M 非奇异，则可以得到
b M Nx M x 11--+-=
(2)
令
A M I N M
B 11---=-= (3) b M f 1-=
(4)
对于以矩阵A ，有A=D+L+U
其中D 为对角线矩阵，L 为严格下三角矩阵，U 为严格上三角矩阵 由此构造迭代法，令M=D ，N=L+U
f Bx x k k +=+)()1(
(5)
式中，向量f 和迭代矩阵B 为
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==---A
D I U L D B b
D f 1
11
)( (6)
上式称为Jacobi 迭代。

可简单描述为
ii
n
i j j k j ij i k i
a x a
b x
1,1)()1(*⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠=+ (7)
如果令M=D+L ，N=U ，对应的分裂式有
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+=---A
L D I U L D B b
L D f 1
11
)()()( (8)
便得到Gauss —Seidel 迭代法，即
ii
n
i j k j
ij
i j k j ij i k i
a x
a
x a b x
11
)
(11)
1()1(*⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=∑∑+=-=++ (9)
3.J 迭代法和G —S 迭代法的收敛性
若n n ij R a A ⨯∈=)(满足
),,2,1(,1n i a
a n
i
j j ij
ii ∑≠==>
(10)
则称A 为严格对角占优矩阵。

若A 为严格对角占优矩阵，则Ax=b 的J 迭代法和G —S 迭代法均收敛。

但特别的是，J 迭代法和G —S 迭代法的收敛没有相容性，即J 迭代法下收敛的矩阵在G —S 迭代法上无法确定是否收敛，反之亦然。

4.算法程序的设计
流程图：
开始
输入A 、b 、o
将A 使用稀疏技术存储
O=1
Jacobi 迭代
Gauss-Seidel
迭代
误差>e
误差>e
输出结果以及迭代次数
结束
Y
N
Y
Y
N
N
具体程序：
A=input('Enter Matrix A=')
b=input('Enter Matrix B=')
b=input('Enter n=')
int i;
int j;
int ia;
int ja;
int vl;
int vu;
int vk;
int vd; %%vl:存储下三角 vu:存储上三角 vd:对角元素 vk:对应行号
[ia,ja]=size(A);
VA=zeros(3,ja);
vu=1;
for i=1:ia
vk=0;
for j=1:ja
if((A(i,j)~=0)&(vk==0))
VA(3,i)=vu;
end
if(A(i,j)~=0)
vk=1;
VA(1,vu)=A(i,j);
VA(2,vu)=j;
vu=vu+1;
end
end
end
VA(3,ia+1)=vu;
VA(3,ia+2)=vu;
vs=1;
X=ones(1,ja)
s=2
while((s>0.0001)&(vs<100))
vs=vs+1
s=0
for i=1:ia
for j=VA(3,i):(VA(3,i+1)-1)
if(VA(2,j)==i)
vd=j
end
end
vl=vd-1;
vu=vd+1;
%³Ë¼ÓÏÂÈý½Ç
sl=0
if(vl>=VA(3,i))
for vk=VA(3,i):vl
sl=sl+X(vs-a,VA(2,vk))*VA(1,vk)
end
end
%³Ë¼ÓÉÏÈý½Ç
su=0;
if(vu<=VA(3,i+1))
for vk=vu:(VA(3,i+1)-1)
su=su+X(vs-1,VA(2,vk))*VA(1,vk)
end
end
X(vs,i)=(b(i)-sl-su)/VA(1,vd)
if(s<abs(X(vs,i)-X(vs-1,i)))
s=abs(X(vs,i)-X(vs-1,i))
end
end
end
vs=vs
5.实际算例运行情况
取A=
b=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]T
)0(
x=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]T
获得的稀疏矩阵存储结果：
采用Jacobi迭代的结果：
其中第一行为迭代x初始值，每一行为相应的迭代中间结果，共迭代了11次。

采用G—S法迭代：
共迭代了7次
6.结论
稀疏技术的运用节省了大量的存储空间，加快了运行速度，对于电力系统的运行计算有着重大的意义，对于大多数情况下，J法和G-S法都具有收敛性好，运算速度快的特点，其中，G-S法的算法更优，收敛速度更快。

7.参考资料
[1]林首位等.大型稀疏矩阵线性化方程组的数值解法[J].华北工学院学报，2002 (4)
[2]朱凌志.基于二维链表的稀疏矩阵在潮流计算中的应用[J].电网技术，2005.4。