高中圆锥曲线知识点总结全面经典
(完整版)高三圆锥曲线知识点总结
第八章 《圆锥曲线》专题复习一、椭圆方程.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：2222+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 222b d a=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .1020,PF a ex PF a ex=+=-1020,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-2．双曲线的方程：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.3．双曲线的性质：①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程ca x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=020102014． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by ax .6．共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑶若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= =nm. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注意：⑴x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.⑷px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2; ② |AB|=22sin p θ；③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900；⑤112||||FA FB P+=. 四、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为22x y m n+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。
科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。
下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
高中数学圆锥曲线方程知识总结
高中数学圆锥曲线方程知识总结一、椭圆方程及其性质. 1. 椭圆的第一定义：椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l的距离其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：的参数方程为（）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为③设椭圆：12222=+by ax 上弦AB的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y -,对椭圆：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ 12222=+by ax ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 20πθ ab 2212222=+b x a y , 则k AB=2020a xb y -．弦长AB= ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（可用余弦定理与推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质. 1. 双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线 2.双曲线的简单几何性质：12222=+by ax 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan 2θb a PF PF 221=+的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-注：①双曲线标准方程：.参数方程：或 . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为③焦半径：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）双曲线不带符号）构成满足)0,(1),0,(12222b a bx ay b a by a x =-=-⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x ab 2212222=-by ax 21,F F aex MF a ex MF -=+=0201a MF MF221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB= ⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y-=例如：若双曲线一条渐近线为且过⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b ⑦直线与双曲线的位置关系：三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： x y 21=)21,3(-p 0 p注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②（或）的参数方程为（或）（为参数）.（现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p2. 抛物线上任意一条弦的弦长为(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB中点为00(,)M x y ，直线AB 的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222p x x p k +=+②|AB |＝2p sin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()pp x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=px y 22=py x 22=⎩⎨⎧==pty pt x 222⎩⎨⎧==222pty ptx t③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑤1|FA |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质l e 10 e 1=e 1 e 0=e ac e =b a c ==,0导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆；③取极限得导数：00'()limx y f x x∆→∆=∆ （下面内容必记） 二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x=； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导) ÷下平方) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
高中数学圆锥曲线知识点
高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
焦点三角形面积公式椭圆=b²tan(a／2)=c|y0|双曲线=b²cot（a／2)。
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
椭圆的通径:(2b^2)/a
双曲线的通径:(2b^2)/a
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程
⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
圆锥曲线知识总结
1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A． B．C． D．〔〕；②方程表示的曲线是__ __点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕〔2〕双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
例题讲解:①方程表示椭圆，那么的取值范围为____②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，那么该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：〔1〕椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
高中数学圆锥曲线知识全归纳
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。
高考圆锥曲线知识点汇总(精选)
高考圆锥曲线知识点汇总(精选)为左、右焦点，则有以下几何性质：1）顶点为(±a,0)和(0,±b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；2）焦点为(±c,0)，其中c=√(a^2-b^2)为焦距；3）范围为−a≤x≤a，−b≤y≤b；4）对称轴为x=0和y=0，对称中心为原点；5）准线为x=±c；6）离心率为e=c/a，其中e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；7）焦点半径为PF1=a+ex，PF2=a-ex。
二、双曲线方程1.双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线。
其中两个定点F1，F2为双曲线的两个焦点，两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的焦距。
第一定义：当PF1-PF2<2a，无轨迹；当PF1-PF2=2a，轨迹是以F1，F2为端点的线段；当PF1-PF2>2a，轨迹为双曲线。
第二定义：双曲线上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的差等于常数2a。
切记：“点点距为分子、点线距为分母”，其差即为常数2a。
如图：PF1 d1 PF2 cc 或PF2 d2 PF1 ccd1-d2=2a2.双曲线的标准方程：1）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程：x2-y21(a>0)a22）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程：y2-x21(a>0)a23.双曲线的一般方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C≠0)4.双曲线x2/a2-y2/b2=1的几何性质：1）顶点：(±a,0)和(0,±b)；2）渐近线：y=±b/a*x；3）渐近线与双曲线的交点称为双曲线的端点；4）离心率：e=c/a，其中c=√(a^2+b^2)为焦距；5）对称轴：x=0和y=0，对称中心为原点；6）焦点：(±c,0)，其中c=√(a^2+b^2)为焦距。
三、抛物线方程1.抛物线的定义：平面内到定点F的距离等于定点到直线L的距离的点的轨迹叫做抛物线。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结高中数学圆锥曲线知识点总结一、基本概念1、圆锥曲线：圆锥曲线是由一系列圆及其与它们的共轭切面围成的曲线，也可以看作是由一条曲线以及一个光滑曲面所围成的曲线空间。
2、圆弧：圆弧是曲线上一定角度范围内的闭合曲线，实际中常用于表示圆的片段。
3、渐开线：渐开线是由来自同一个圆的两个圆弧构成的弧线，渐开线的共轭切面是一条直线，而此直线又可在空间上做一个新的圆锥曲线。
二、圆锥曲线的性质1、圆锥曲线的曲线部分是由圆弧和渐开线组成的，曲线上每个点都是圆切弧上的一个点；2、圆锥曲线的表面部分是一个椭圆锥曲面，其参数方程由三个椭圆锥参数函数组成，其积分可以计算出圆锥曲面上的面积；3、点P（x，y，z）在圆锥曲线上，则其有连续的x，y，z三个坐标参数，并且满足圆锥曲线的参数方程；4、圆锥曲线的曲线部分是椭圆锥曲线，并且任一点在曲线上的切线方向都是一致的；5、圆锥曲线的曲线与曲面的连接，是一条中间缝合曲线，即渐开线，渐开线也可以看作是空间曲线上的锥面的交线。
6、圆锥曲线的曲线部分与表面部分的连接，是一条中间缝合曲线，被称为椭圆锥曲线，椭圆锥曲线也是一条空间曲线上的椭圆锥面的交线。
7、圆锥曲线的曲线部分与表面部分之间的交点的曲线，也被称为椭圆锥曲线，它也可以看作是圆锥曲线上的椭圆锥线的交点的曲线。
三、圆锥曲线的应用1、圆锥曲线在建筑学上常用于建造拱顶、圆顶、屋顶等，这些曲线具有很好的象征性；2、圆锥曲线在航空和航天工程上常用于设计飞机、火箭的运动轨迹；3、圆锥曲线在汽车制造上常用于设计汽车的底盘，以实现更好的操控性能；4、圆锥曲线在计算机渲染上常用于设计三维物体，以获得更加逼真的渲染效果；5、圆锥曲线在绘画上常用于创作凹凸有致的曲线，以实现更加自然的线条。
总之，圆锥曲线是一种非常有用的曲线，它在不同领域有着广泛的应用。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结___________________________________1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
完整版)高三圆锥曲线知识点总结
完整版)高三圆锥曲线知识点总结第八章《圆锥曲线》专题复一、椭圆方程1.椭圆的第一定义：设F1.F2是平面内两个定点，对于任意点P，有PF1 +PF2 = 2a (a。
0)，则称所有满足该性质的点P的轨迹为椭圆。
椭圆的方程为 PF1 + PF2 = 2a，无轨迹为 PF1 + PF2 = 2a，以F1,F2为端点的线段。
2.椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i。
中心在原点，焦点在x轴上。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a。
b)。
ii。
中心在原点，焦点在y轴上：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 (a。
b)。
②一般方程：Ax^2 + By^2 = 1 (A,B不同时为0)。
③椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ (θ ∈ [0,π])。
注意：椭圆参数方程的推导：设点N(acosθ,bsinθ)，则有PF1 + PF2 = 2a，即√[(acosθ - c)^2 + (bsinθ)^2] + √[(acosθ + c)^2 + (bsinθ)^2] = 2a，整理得到x = a*cosθ，y = b*sinθ。
3.椭圆的性质：①顶点：(±a,0)或(0,±b)。
②轴：对称轴为x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b。
③焦点：(±c,0)或(0,±c)，其中c = √(a^2 - b^2)。
④焦距：F1F2 = 2c，c = √(a^2 - b^2)。
⑤准线：x = ±a/e 或 y = ±b/e，其中e为离心率。
⑥离心率：e = c/a。
⑦焦半径：y = ±(b^2 - x^2)^(1/2) 或 x = ±(a^2 - y^2)^(1/2)。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，坐标为(±c,d/2)，其中d为通径长度。
4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的离心率是e = c/a (c = √(a^2 -b^2))，方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = t (t。
高中数学圆锥曲线方程知识点总结
2.双曲线的第二定义：平面内到定点 F 的距离和它到一条定直线 L（F 不在 L 上）的距离的比为常数 e （e>1） 的点的轨迹叫做双曲线。 其中定点 F 为双曲线的焦点， 定直线 L 为双曲线焦点 F 相应的准线。
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三、抛物线方程
（1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y 2 px
⑴①双曲线标准方程：
x2 a
2
y2 b
2
1(a, b 1(a, b 0) .
一般方程： Ax 2 Cy 2 1( AC 0) . ⑵①i. 焦点在 x 轴上： 顶点： (a,0), ( a,0) 焦点： (c,0), (c,0) 准线方程 x
x2 y2 a2 x y 渐近线方程： 0 或 2 2 0 c a b a b a2 . c
ii. 焦点在 y 轴上： 顶点： (0, a ), (0, a ) . 参数方程： 焦点：(0, c), (0,c) . 准线方程：y
渐近线方程：
y a
y2 x2 x 0或 2 2 0， b a b
c ，当 c 0, a b 时）.【弦长公式 a
AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 】
双曲线 抛物线
2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1．到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. （0<e<1）
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高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12FF ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
⑥（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______；4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y -。
6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ； 如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。
可借助右图理解记忆：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。
当BCA C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称；② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。
将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率)10(<<=e a ce ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e a be 。
显然：当a b 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。
题型1:椭圆定义的运用例1.已知1,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______.例2.如果方程222x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.例3.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为题型2： 求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点2),(A B --；(2)经过点(2，－3)且与椭圆229436x y +=具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 题型3:求椭圆的离心率例1、ABC ∆中，30,2,o ABCA AB S ∠===若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆的离心率为 .例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1.已知实数,x y 满足22142x y +=,则22x y x +-的范围为 例2.已知点,A B 是椭圆22221x y m n+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=,则λ=题型5：焦点三角形问题例 1.已知12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求12PF PF 的值. 例2.已知12,F F 为椭圆C:22184x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为 .例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1e 2= ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.题型6: 三角代换的应用例 1.椭圆221169x y +=上的点到直线l:90x y +-=的距离的最小值为___________．例2.椭圆221169x y +=的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1.当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？例2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围；题型8：弦长问题例1.求直线24y x =-被椭圆224199x y +=所截得的弦长. 例2.已知椭圆2212x y +=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积； 题型9：中点弦问题例1. 求以椭圆22185x y +=内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例2.中心在原点，一个焦点为1(0,50)F 的椭圆截直线32y x =- 所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例3.椭圆221mx ny +=与直线1x y += 相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点．若22AB = ，OC 的斜率为22（O 为原点），求椭圆的方程． 巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且o1=90BDB ∠,则椭圆的离心率为2.设12,F F 为椭圆2214x y +=的两焦点，P 在椭圆上，当12F PF ∆面积为1时，12PF PF ⋅的值为3.椭圆221369x y +=的一条弦被()4,2A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若12,F F 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若122112::1:2:3PF F PF F F PF ∠∠∠=, 则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)a c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．双曲线基本知识点线标准方程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a b x a y定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。